高等数学自考1.1 函数与极限课件

第一章函数与极限分析基础第一节函数一、函数的概念定义设给定非空数集D,如果按照某个对应法则，对于D中的每一个数x，都有唯一确定的实数y与之对应，则称y是定义在D上的x的函数。记作函数的两个要素：定义域和对应法则函数的表示法：解析法、表格法和图像法

自变量因变量定义域

分段函数：一个函数，在其定义域的不同部分可用不同的解析式表示，这种形式的函数称为分段函数。常见的分段函数有例1符号函数y=sgnx=，它的定义域是D=.。。。1-1例3取整函数y=，表示不超过x的最大整数，它的定义域D=.。。。。。。012

-2-1。yx二、函数的几种特性１、函数的奇偶性：设函数的定义域D关于原点对称若，有f(-x)=f(x),则称f(x)为D上的偶函数；若,有f(-x)=-f(x),则称f(x)为D上的奇函数。例如函数与都是奇函数；函数与都是偶函数。

结论：奇函数图形关于原点对称；偶函数图形关于ｙ轴对称。２、函数的周期性：,满足f(x+T)=f(x),称T为函数f(x)的周期。通常说周期函数的周期是指最小正周期。３、函数的有界性：若,使得。则称函数f(x)在D上有界；否则称为无界。例如：函数与都是以为周期的有界函数；函数与都是以为周期的无界函数。４、函数的单调性：则称函数在区间上单调递增；则称函数在区间上单调递减。例如：在上单调递减；在上单调递增。在不是单调的。0xy外函数，u=叫做内函数，u叫做中间变量。注：两个函数构成复合函数的关键是内函数的值域一定要在外函数的定义域中。例如定义域；定义域;由于的值域故不能把中间变量代入，如果要使复合函数有意义，必须把限制在，为此必须限制的定义域为于是得复合函数例求函数的反函数。解：由可解得，交换x、y的位置，得所求函数的反函数为，其定义域为（0，1）。四、初等函数１、基本初等函数：常量函数ｙ＝C（C为常数）；指数函数；幂函数例如：多项式函数，

是初等函数。

有理分式函数其定义域是R中去掉使的根后的数集，也是初等函数。在工程技术上常常要用到称为双曲函数的初等函数，其定义为：双曲正弦函数0xyy=shx双曲余弦函数

双曲正切函数双曲余切函数0xy1y=chx0xy-11y=thx双曲函数的性质1.双曲正弦函数是上的奇函数，在区间上是严格递增函数；2.双曲余弦函数是上的偶函数，在区间上是严格递减函数，在上是严格递增函数；3.启发与讨论：是否为初等函数？内容小结：函数分段函数复合函数反函数基本初等函数初等函数第二节数列的极限一、数列极限的定义数列：按一定规律排列的一串数称为数列，简记作。数列也可作是定义在正整数集合上的函数称为数列的通项。问题：当项数ｎ无限增大时，数列的变化趋势？例１数列当ｎ无限增大时，趋于确定常数１。例5观察下列数列的变化趋势，并写出收敛数列的极限(1)(2)分析：(1)当n依次取1，2，3，4，5，…等正整数时，数列的各项依次为２，，当，；(2)当n依次取1，2，3，4，5，…等正整数时，数列各项依次为1，0，－1，0，1，…，当不能无限地趋于一确定的常数a，因此数列极限不存在。解：(1)(2)数列的极限不存在，即数列发散。二、数列极限的性质定理1.1

如果一个数列有极限，则此极限是唯一的。定理1.2

将一个数列添加或减少有限项，不影响其极限是否存在，也不影响其极限值（如果极限存在）。定理1.3

收敛的数列必有界；有界的数列不一定收敛。例如数列都是有界的数列，但都是发散的。例６求极限分析：

型，可用“抓大头法”。解例７求极限分析：先求和，再求极限。解：由内容小结1.数列极限的定义及应用；2.收敛数列的性质；惟一性，有界性3.单调有界准则；4.数列极限的四则运算法则。定义1

设函数，如果无限增大时函数无限趋近于某个固定的常数a，则称x趋于时，f(x)以a为极限，记作。注：直线y＝a为曲线y＝f(x)的水平渐近线。两种特殊情况若x取正值，且无限增大时，即，f(x)的值无限趋近于常数a。若x取负值，且无限增大时，即f(x)的值无限趋近于常数a。注：直线y＝a仍是曲线y＝f(x)的渐近线。二、时函数的极限引例讨论当时，函数的变化趋势。解此函数在ｘ＝１处无定义，但是当时，函数因此当函数f(x)以2为极限。

总结：函数在某一点的极限与函数在该点处的函数无关。定义设函数f(x)在点的附近（点可以除外）有定义，如当则称A为函数f(x)当x时的极限，记作或者

在，的概念中，x是既从左侧趋于，也是从右侧趋于

的情形，这就产生了左极限和右极限。解：根据单侧极限的定义

由于。。时函数f(x)的极限不存在。三、极限的运算法则定理1.6则(1)若(2)（K为常数）；(3);(4)注：法则(1)、(3)可以推广到有限个具有极限的函数的和与积的情况且法则对于情形也是成立。例2求分析：属于型，不能直接用四则运算法则求极限，但用除分子与分母，则可用极限的四则运算法则求得极限。解：总结：“抓大头法”常用于例3求极限其中m、n各为正整数。分析：用“抓大头法”。解：。例4求分析：型，是不定型，要先通分，再求极限。解：四、函数极限存在的判别法，两个重要极限定理

1.7（迫敛定理）设函数的某个邻域内(可除外)满足条件且则有。例5计算分析：由于，而解：由迫敛定理，有＝0定理1.8

极限0ABC证如图作一单位圆。设由平面几何可知，即或由于用－x代替x时，都不变，下面证明因为即，而由迫敛定理得即所以所以例6求（m、n为整数）。解：例7求解：例8求解：定理1.9

极限证当由迫敛定理作变量代换令y＝－x说明

此极限公式也可表示为另一种形式例8求解例9求解令t＝－x则当例10求解五、无穷小量和无穷大量1、无穷小量定义若时，函数，则称函数f(x)为时的无穷小量。例如：，函数时为无穷小，函数当时为无穷小。说明

除0以外任何很小的常数都不是无穷小量。无穷小量的性质性质１

有限个无穷小量的和也是无穷小量。性质２

有限个无穷小量的乘积仍是无穷小量。性质３

常数乘以无穷小量仍是无穷小量。性质４

有界函数乘以无穷小量仍是无穷小量。例如由性质4可得2、无穷大量定义若时，函数，则称函数f(x)(或)为(或)时的无穷大量。记作或注无穷大量不是一个很大的数，它描述的是函数的一种状态，若函数趋于无穷大，则必无界。。例如时无穷大量。说明若，则直线为曲线y＝f(x)的垂直渐近线。3、无穷小量与无穷大量的关系定理

如果当时，f(x)为无穷大量,则为无穷小量；反之，如果当时，f(x)为无穷小量，且为无穷大量。说明据此定理，关于无穷大的问题都可以转化无穷小来讨论。例11求解因为的倒数时是无穷小所以４、无穷小量的比较

引例当都是无穷小，而两个无穷小量之比的极限的各种不同情况，反映了不同的无穷小量趋于0的速度的多样。定义设是同一变化过程中的两个无穷小量，(1)如果，则称为同阶无穷小量。记作如果，则称f(x)与g(x)为等价无穷小量，

如果，则称f是比g高阶的无穷小量，记作

记作(4)如果，则称f是比g低阶的无穷小量。例如，所以，当时

为同阶无穷小量。，所以，当时，所以当时，是比x高阶的无穷小；X是比低阶无穷小量。思考与练习填空题2、极限的运算法则；3、无穷小量与无穷大量；4、无穷小量的比较。内容小结1、函数极限的概念；六种情形

第四节函数的连续性一、函数连续的概念定义设函数的某一邻域内有定义，如果当自变量的增量趋于零时，相应的函数值的增量也趋于零，则称f(x)在点处连续。函数f(x)在点连续的另一种形式的定义定义设函数f(x)在点的某个邻域内有定义，若则称函数f(x)在点处连续。左连续右连续注：函数在某点连续的充要条件是函数在该点既是左连续又是右连续。定义如果一个函数在某个区间上的每一点都连续，则称这个函数为该区间上的连续函数。例1证明函数在定义域内连续。证明

设x为函数定义域上的任意一点，则因为所以因此在定义域上连续。例2讨论函数在x＝0处的连续性。解左连续右连续所以函数f(x)在x＝0处连续。二、函数的间断点设函数f（x）在点的某去心邻域内有定义，则下列情形之一函数f(x)在点不连续。

(1)在处没有定义；

(2)虽在处有定义，且存在，但

(3)虽在有定义，但不存在。这样的点称为间断点。下面举例来说明函数间断点的几种常见类型例3函数在点x＝2处没有定义，所以x＝2是该函数的间断点，但，如果补充定义：令x＝2时，y＝4，所给函数在x＝2成为连续，则称x＝2为该函数的可去间断点。例4符号函数，当时，左、右极限都存在，但不相等，故不存在，所以点x＝0是函数的间断点，则称x＝0为函数f(x)的跳跃间断点。例5函数在x＝0没有定义，且都不存在，则称x＝0是f(x)第二类间断点。小结：间断点分两类：如果是函数f(x)的间断点，但左极限及右极限都存在，则称为f(x)的第一类间断点；在第一类间断点中，左、右极限相等者称为可去间断点，不相等者称为跳跃间断点。不是第一类间断点的任何间断点，称为第二类间断点。三、连续函数的基本性质定理1.10

（连续函数的四则运算）

设f(x)、g(x)均在处连续，则（1）处连续；（2）处连续；（3）若处连续。例如由定理可知在其定义域上连续。定理1.12（复合函数的连续性）设函数处连续，函数在处连续，且且则复合函数处连续。即说明

：定理的条件中内函数在处连续可以减弱为内函数在时极限存在，函数的符号与极限号可以交换次序。即

例5求解定理1.13

（反函数的连续性）若函数在某区间上是严格单调且连续，则它的反连续在对应的区间上也严格单调且连续。例如反三角函数它们的定义域内都是连续的。定理1.14

一切初等函数在其定义域内是连续的。注：初等函数在定义域上某点的极限值等于函数在该点的函数值。例6求解例7求分析：属于型，先有理化，再求极限。解四、闭区间上连续函数的性质定理1.15(最大值最小值定理)

若函数f(x)在闭区间上连续，则在上至少存在两点，使对上一切的x，都有,其中和分别称为f(x)在