2015年全国新课标2卷高考文科数学试题及答案

20152015普通高等学校招生全国统一考试II卷文科数学第一卷、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。(1)已知集合A=・|一1<x<2}B=410<x<3}贝l」AYB=A.(-1，3)B.(-1，0)C.(0，2)D.(2，3)2+i⑵若a实数，且=3+i,则a=1+iA.-4B.-3C.3D.4(3)根据下面给出的2004年至2013年我国二氧化碳年排放量(单位：万吨)柱形图，以下结论中不正确的是逐年比较，2008逐年比较，2008年减少二氧化碳排放量的效果最显著;2007年我国治理二氧化碳排放显现成效；2006年以来我国二氧化碳排放量呈减少趋势；2006年以来我国二氧化碳年排放量与年份正相关。—*—►―tf—►(4)已知向量a=(0,-1),b=(-1,2),则(2a+b)・a=A.-1B.0C.1D.2⑸设S是等差数列ta的前n项和，若a+a+a=3,则S=nn1355A.5B.7C.9D.11(6)一个正方体被一个平面截去一部分后，剩余部分的三视图如右图，则截去部分体积与剩余部分体积的比值为1B.7C.1D.1B.7C.1D.5(7)已知三点(7)已知三点A(1，0),B(0,3),C(2,3),则AABC外接圆的圆心到原点的距离为5A.3J21圆心到原点的距离为5A.3J21B.丁4D.3(8)右边程序框图的算法思路来源于我国古代数学名著《九章算术》中的“更相减损术”。执行该程序框图，若输入的a,b分别为14,18，则输出的a为A.0B.2C.4D.14⑼A.0B.2C.4D.14⑼已知等比数列匕｝满足an1=4(a-1),贝Ua=C42A.2B.1C.2D.(10)已知A,B是球O的球面上两点，ZAOB=90。,C为该球面上动点，若三棱锥O-ABC体积的最大值为36,则球O的表面积为A.36nB.64nC.144nD.256n(11)如图，长方形的边AB=2,BC=1,O是AB的中点，点P沿着边BC,CD，与DA运动，记ZBOP=x,将动点P到A,B两点距离之和表示为函数f(x),贝f(x)的图像大致为BABA(12)设函数f(x)=ln(l+|x|)--,则使得f(x)>f(2x-1)成立的x的范围是1+X2A.(1，A.(1，-)B.(-©3)丫(1，+Q(-1，1)C.(-3,3)D.(-g,-3)Y(3,+8)第二卷、填空题：本大题共4个小题，每小题5分已知函数f(x)=ax3一2x的图像过点(-1,4)，则a=。x+y—5W0,若x,y满足约束条件<2x—y—1>0,贝Uz=2x+y的最大值为。x—2y+1W0,1已知双曲线过点(4,J,3),且渐近线方程为y=±-x,则该双曲线的标准方程为(16)已知曲线y=x+Inx在点(1,1)处的切线与曲线y二ax2+(a+2)x+1相切，则a二三、解答题：解答应写出文字说明,证明过程或演算步骤。(17)(本小题满分12分)AABC中，D是BC上的点，AD平分ZBAC,BD二2DC.(I)求Sn—；(II)若ZBAC二60。,求ZB.sinZC18.(本小题满分12分)某公司为了了解用户对其产品的满意度从A,B两地区分别随机调查了40个用户，根据用户对其产品的满意度的评分，得到A地区用户满意度评分的频率分布直方图和B地区用户满意度评分的频率分布表.频率A地区用户满意度评分的频率分布直方图组距」0.0400.0350.0300.0250.0200.015—一一0.0100.005「一_——[]O405060708090100满意度评分B地区用户满意度评分的频数分布表满意度评分分组[50,60)[60,70)[70,80)[80,90)[90,100]频数2814106

（I）在答题卡上作出B地区用户满意度评分的频率分布直方图,并通过此图比较两地区满意度评分的平均值及分散程度,（不要求计算出具体值,给出结论即可）频率组距频率组距0.0350.0300.0250.0200.0150.010B地区用户满意度评分的频率分布直方图0.005B地区用户满意度评分的频率分布直方图（II）根据用户满意度评分，将用户的满意度评分分为三个等级:满意度评分低于70分70分到89分不低于90分满意度等级不满意、卄-Vr.满意非常满意估计那个地区的用户的满意度等级为不满意的概率大,说明理由.19.（本小题满分12分）如图,长方体ABCD-兔BfD中AB=16,BC=10,AA］二8,点E,F分别在AB,DC1111个正方形.1上,名E二DF=4.过点e,F分别在AB,DC1111个正方形.1（I）在图中画出这个正方形（不必说明画法与理由）;（II）求平面a把该长方体分成的两部分体积的比值.20.（本小题满分12分）已知椭圆C:+的离心率为密，点C,75）在c上.a2b22（I）求C的方程；（II）直线l不经过原点O,且不平行于坐标轴,l与C有两个交点A,B,线段AB中点为M,证明:直线OM的斜率与直线l的斜率乘积为定值.

21.(本小题满分12分)已知f(x)=Inx+a(1-x).讨论f(x)的单调性；当f(x)有最大值，且最大值大于2a-2时，求a的取值范围.请考生在22、23、24题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分，作答时请写清题号(本小题满分10分)选修4-1：几何证明选讲如图O是等腰三角形ABC内一点，OO与△ABC的底边BC交于M,N两点,与底边上的高交于点G,且与ABAC分别相切于E,F两点.证明EF//BC.若AG等于00的半径，且AE=MN=2、；'3,求四边形EDCF的面积.(本小题满分10分)选修4-4：坐标系与参数方程Ix=tcosa,小小在直角坐标系xOy中，曲线Ci：］y=tsina,(t为参数，且t丰0)，其中0"＜兀，在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C:p=2sin0,C:p=2j3cos0.23求C与C交点的直角坐标；23若C1与C相交于点A,C］与C相交于点B,求IAB最大值.(本小题满分10分)选修4-5：不等式证明选讲设a,b,c,d均为正数，且a+b=c+d.证明:若ab>cd，则苗+4b>4c+4d；丁匸+Jb>4c是|a-b\<|c-d|的充要条件.20152015普通高等学校招生全国统一考试II卷文科数学答案20152015普通高等学校招生全国统一考试II卷文科数学答案一、选择题1、选A2、解：因为2+ai=(3+i)(1+i)=2+4i,所以a=4.故选D3、选D4、选B5、解：在等差数列中，因为a+a+a=3,所以a=1,S==5a=5,故选A.13535236、解：如图所示，选D.7、解：根据题意，三角形ABC是等边三角形，设2羽外接圆的圆心为D,则D(1，丁)所以，OD|'7<21「3=丁.故选B.8、解：18-14=4,14=4=10,10-4=6,6-4=2,4-2=2，所以a=b=2，故选B.9、=4(a4-D'所以'a2=4(a—1),解得a=2,又a=aq3，所以q=2,所以a=aq=x2=.故选c.44441214210、解：因为A,B都在球面上，又/A0B=90。,C为该球面上动点，所以三棱锥的体积的最大值为万x—R2xR=—R3=36，所以R=6，所以球的表面积为326S=4皿R2=144n,故选C.11、解：如图，当点P在Bc上时，0ZBOP=x,PB=tanx,PA=、‘4+tan2x,IPA+PB=tanx+\；4+tan2x,当x=时取得最大值1+75，4以A,B为焦点C,D为椭圆上两定点作椭圆，显然，当点P在C,D之间移动时PA+PBvl+、§.又函数f(x)不是一次函数，故选B.12、解：因为函数f(x)=ln(1+|xI)——,是偶函数，xe[0,+s)时函数是增函数1+x2110f(x)>f(2x-1)|x|>|2x-1|,「.x2>(2x-1)2,解得1<x<1.故选A.二、填空题13、答：a=-214、解：当x=3,y=2时，z=2x+y取得最大值8.15、解：设双曲线的方程为x2-4y2=k(k丰0),点(4,,3)代入方程，解得k=4..双曲线的标准方程为二-y2=1416、解：y'=1+切线的斜率为2,切线方程为y=2x-1.x将y=2x-1与y=ax2+(a+2)x+1联立得ax2+ax+2=0,由A=a2—8a=0,解得a=8或a=0.a=0时曲线为y=2x+1与切线平彳丁，不符。所以a=8.四、解答题17、解：(1)由正弦定理得sn^B=ABsinZCABAC再由三角形内角平分线定理得-DCBDAC再由三角形内角平分线定理得-DCBDsinZB=1sinZC2(II)0ZBAC=60。,・•・ZB+ZC=120。・/R1由⑴得sn—=sinZC=2sinZB,.sin(120o-ZB)=2sinB,展开得sinZC2tanZB=「ZB330。tanZB=「ZB330。.频率18、解：(1)B地区频率分布直方图如图所示B地区用户满意度评分的频率分布直方图组距0.0400.0350.0300.0250.0200.0150.0100.005O5060708090100满意度评分比较A,B两个地区的用户，由频率分布直方图可知：A地区评分均值为45x0.1+55x0.2+65x0.3+75x0.2+85x0.15+95x0.05=67.5分B地区评分均值为55x0.05+65x0.2+75x0.35+85x0.25+95x0.15=76.5分A地区用户评价意见较分散，B地区用户评价意见相对集中。(2)A地区的用户不满意的概率为0.3+0.2+0.1=0.6,

B地区的用户不满意的概率为0.05+0.20=0.25，所以A地区的用户满意度等级为不满意的概率大。19、解：(I)在AB上取点M,在DC上取点N,使得AM=DN=10,然后连接EM,MN,NF,即组成正方形EMNF,即平面a。(II)两部分几何体都是高为10的四棱柱，所以体积之比等于底面积之比,即S4+107=AMEA1_==—S6+129EMBB1c迈20、解、(I)如图所示，由题设得一=,a242又点的坐标满足椭圆的方程，所以——+厂=1，a2b2联立解得：y2a2二8,b2y2a2二8,b2二4,所以切线C的方程为咛+匚=x,y)，11(x,y),点M的坐标为(m,x,y)，1122om贝l」x2+2y2=&x2+2y2=&1122上面两个式子相减得：、.一y—y1x+XTOC\o"1-5"\h\z2(y2—y2)+(x2—x2)二0.变形得一1二一1—22121x—x2y+y21122mmX==—2n22mmX==—2n2nk-k=，lom1X=(一)X=——.(定值)x—xm2nm22121、解：已知f(x)=Inx+a(1—x).(1)0f'(x)=1—a.x当a<0时，函数f(x)在(0,+s)上是增函数；当a>0时，函数f(x)在(0,1)上是增函数，在(丄,+^)上是减函数.aa(II)由(1)知，当a>0时，函数/(x)在x=-时取得最大值f(丄)=a—1—Ina.aa由a—1—lna>2a—2,理^得lna+a—1<0.

1设g(x)=Inx+x一1,贝则g(x)=1+,0a>0x>0,「.g'(x)>0,g(兀)在(0,+x)是增x函数。又g(1)二0,上述不等式即g(A)<g⑴,.0<A<1,即AG(0,1).选做题：22、(I)证明：由切线的性质得AE=AF，所以△AEF是等腰三角形,又AB=AC,AEAF所以——=——,・•・ZAEF=ZABCEF〃BC.ABAC(II)解：.S四边形EBCFxsin60。一xsin60。=连接OE,则OE丄AE,0AG.S四边形EBCFxsin60。一xsin60。=:.OA=2R,・4R2=R2+(2^3)2,・R=2,・OM=20MD=2MN=、3,・・0DJAD2R+15，・・ABcos30。疔0OE丄AB,・ABAD=30。，ABAC=60。・AABC,AAEF都是等边三角形.Ix=Tcosa,小小23•在直角坐标系x0Y中'曲线c1：L=Tsina，“为参数'且T丰0)，其中0"＜兀,在以O为极点,x轴正半轴为极轴的极坐标系中，曲线C:p=2sin0,C:p=2x/3cos0.23⑴求q与C3交点的直角坐标;(II)若q与J相交于点A,q与C相交于点B,求|AB\最大值.解：⑴曲线C2：p=2sin0,C3：P=2压0s0.的直角坐标方程是JC1：X2+Y2-Y=0；C2：X2+Y2-^3X=°TOC\o"1-5"\h\z,3Lx=0,VYx=0,VY=0.2・c,C交点的直角坐标为(0,0)、(二，-).31222Y=■2(II)曲线C］的极坐标方程为p=a(pGR,pz0,0<a<k).=4sin(a-罟).因此点A的极坐标为(2sina,a),点B的极坐标为(2A/3cosa=4sin(a-罟).所以|AB\=2sina-2j3cosa•••当a=辛时,|AB|取得最大值，最大值为4.24、证明：(I)因为a+、：b)2=a+b+2\：ab,(c十*d'=c+d+2、】cd,由题设知a