高三数学知识点：特点是解法多样

5/5高三数学知识点：特点是解法多样实验中学王连笑数学考试的第四个学科特点是解法多样。教育部考试中心在解读全国高考(Q吧)数学考试大纲的说明中指出“一般数学试题的结果虽确定唯一,但解法却多种多样,有利于考生发挥各自的特点,灵活解答,真正显现其水平。〞在各套试卷的各题型中,都有不少试题能够一题多解。【例1】(2019年天津卷,理10)设两个向量-=(+2,2-cos2)和-=(m,-+sin),其中,m,为实数。假设-=2-,那么-的取值范围是()。(A)[-6,1](B)[4,8](C)[-∞,1](D)[-1,6]【解】此题给出两个共线向量和三个参数,m,,需要确定-的取值范围,这种题目也不太常见,因为是选择题,我们可以从不同的角度用不同的方法来解决。解法1:可以根据选项提供的数据,用逆向化策略和特殊化策略,通过选取特殊值进行排除。-设-=4,那么4m+2=2m,m=-1,=-4。由第二个等式得16-cos2=-1+2sin,即17=cos2+2sin这是不可能的,因而排除(B),(D)。再设-=-8,那么-8m+2=2m,m=-,=--,由第二个等式--cos2=-+2sin,即-=cos2+2sin=-(sin-1)2+2≤2这同样是不可能的。因而排除(C)。应选A。解法2：如果-是一个整体,那么可以对和m分别求出取值范围,再进行整合。由解法1,有消去得4m2-9m+4=cos2+2sin,由于-2≤cos2+2sin=-(sin-1)2+2≤2,那么有-2≤4m2-9m+4≤2,解得-≤m≤2(m≠0)。由=2m-2得--≤≤2,进而可求得-6≤-≤1,应选A。以上两个解法运用了特殊与一般的数学思想(解法1),函数与方程思想和分解与组合的思维方法(解法2)。【例2】(2019年全国Ⅰ卷,理22)数列{an}中a1=2,an+1=(--1)(an+2),n=1,2,3,…(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)假设数列{bn}中b1=2,bn+1=-,n=1,2,3…,证明：-【解】(Ⅰ)an的通项公式为an=-[(--1)n+1],n=1,2,3…。解：用数学归纳法证明。(ⅰ)当n=1时,因-2,b1=a1=2,所以-(ⅱ)假设当n=k时,结论成立,即-当n=k+1时,bk+1--==-0又--=3-2-所以bk-1--(3-2-)2(bk--)≤(--1)4(a4k-3--)=a4k+1--。也就是说,当n=k+1时,结论成立。根据(ⅰ)和(ⅱ)知-【例3】(2019年辽宁卷,理22)函数f(x)=e2x-2t(ex+x)+x2+2t2+1,g(x)=-f'(x)。(I)证明：当t2-时,g(x)在R上是增函数;(II)对于给定的闭区间[a,b],试说明存在实数k,tk时,g(x)在闭区间[a,b]上是减函数;(III)证明：f(x)≥-。【解】(I)f'(x)=2e2x-2t(ex+1)+2x,g(x)=-f'(x)=e2x-t(ex+1)+x,g'(x)=2e2x-tex+1=2(ex--)2+1--,因为t2-,那么1--0,所以,g'(x)0,所以,当t2-时,g(x)在R上是增函数。(II)此题等价于存在实数k,当tk时,在闭区间[a,b]上g'(x)由g'(x)=2e2x-tex+10,t2ex+e-x令h(x)=2ex+e-x,由于h(x)是闭区间[a,b]上的连续函数,所以,h(x)一定有最大值,设该最大值为k,那么必有tk,于是,当tk=(2ex+e-x)max时,有g'(x)0,即g(x)在闭区间[a,b]上是减函数;(III)证明：把f(x)看作t的函数,设F(t)=2t2-2(ex+x)t+e2x+x2+1,那么F(t)=2(t--)2+-(ex-x)2+1≥-(ex-x)2+1。设H(x)=ex-x那么H'(x)=ex-1所以,H(x)的最小值为1,从而H(x)=ex-x≥1于是,F(t)=-(ex-x)2+1≥-,即f(x)≥-。【例4】(2019年重庆卷,理,文)各项均为正数的数列{an}的前n项和Sn满足S11,且6Sn=(an+1)(an+2),n∈N。(Ⅰ)求{an}的通项公式;(Ⅱ)设数列{bn}满足an(--1)=1并记Tn为{bn}的前n项和,求证：3Tn+1log2(an+3),n∈N。【解】(I)由a1=S1=-(a1+1)(a1+2),解得a1=1或a1=2,由假设a1=S11,因此a1=2,又由an+1=Sn+1-Sn=-(an+1+1)(an+1+2)--(an+1)(an+2),得(an+1+an)(an+1-an-3)=0,即an+1-an-3=0或an+1=-an,因an0,故an+1=-an不成立,舍去。因此an+1-an=3,从而{an}是公差为3,首项为2的等差数列,故{an}的通项为an=3n-1。(II)证明：用比拟法。由an(--1)=1可解得bn=log2(1+-)=log2-;从而Tn=b1+b2+……+bn=log2(-·■……-)。因此3Tn+1-log2(an+3)=log2(-·■……-)3·■。令f(n)=(-·■……-)3·■,那么-=-·(-)3=-。因(3n+3)3-(3n+5)(3n+2)2=9n+70,故f(n+1)f(n)。特别地f(n)≥f(1)=-1,从而3Tn+1-