2021-2022高中数学必修五期末模拟试卷(带答案)

一、选择题2a，blga＋lgb＝1，则

5的最小值为（）a b2A． 2

C． D．22102210a，b11

1

16

的最小值为（）a b a1 b1A．16 B．25 C．36 D．49fxloga

x31（a0且a1）AA在直线mxny40上，其中mn01

2的最小值为（）23

43

nC．2 D．44的是（）yx4x

ysinx

40xsinxyex4ex

D．y x21 2x213在ABCabcABCx213ABC仅有一个解，则a的取值范围是（）

，B60，若A．0, 3

B．0,3

C．0,3

D．22 26．在ABC中，若a2，b2 3，A，则B等于（）A．30 B．30 或C．D．60或23已知ABCA，B，Ca，b，cb2B45，若三角形有a的取值范围是（）23A．a2 B．0a2 C．2a

D．2a2小华想测出操场上旗杆OA的高度，在操场上选取了一条基线BC，请从测得的数据①BC12m，②B处的仰角60°，③C处的仰角45，④cosBACA．10 3m

中选取合适的，计算出旗杆的高度为（）3 68B．12m C．12 2m D．12 3m3 689．20201217159分，嫦娥五号返回器携带月球样品成功着陆，这是我国首次实现了地外天体采样返回，标志着中国航天向前又迈出了一大步．月球距离地球约38万千米，有人说：在理想状态下，若将一张厚度约为0.1毫米的纸对折n次其厚度就可以超过到达月球的距离，那么至少对折的次数n是（）（lg20.3lg3.80.6）A．40 B．41 C．42 D．43已知数列n

的前n项和Sn

Sn

2an

1.若对任意正整数n都有

S 0n1 n恒成立，则实数的取值范围为（） 1

1

1A．,1

B． ，

C．，

D．，a

2a3a

3n1

3

4

，定义T 1 2n n

为 的最优”，现已知数列n的“Tn

3n，记数列an

nSn

（）S2020SA．2019 B．2020 C．2021 D．2022已知等比数列n

中，若4aa1 3

,2a2

成等差数列，则公比q（）A．1 B．1或2 C．3 D．1二、填空题x，y

21

3已知实数 ，正实为 ．

满足ax

by

2，且x y

，则a2b的最小值x的不等式ax25xb0的解集为{x|2x3}，则ab的值是 ．xy10．已知实数 满足 ，则15 x,y x2y．已知实数 满足 ，则x1

yx

的最大值．已知在锐角ABC 的面积

，且2 1

2ABC所2 332 3对边分别为a，b，c，则边c最小值.

tanA tanB sinA△ABC中，内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知A则tanB= .

，b24

c22

a2，在钝角ABC 中，已知a2，b4，则最大边c的取值范围．设数列n

是等比数列，公比q

2，Sn

为n

的前n

项和，记Tn

9S S n 2na（nN*），则数列

最大项的值．n

n1已知数列n

nSn

，点San

N*n2y

4x24x1

的图像上，a1，数列1

通项.三、解答题某村计划建造一个室内面积为8001米宽的通道，沿前侧内墙保留3米宽的空地．设矩形温室的一边长为x米，请用S表示蔬菜的种植面积，并求出x的取值范围；当矩形温室的长、宽各为多少时，蔬菜的种植面积最大？最大种植面积为多少．.xx2aa2.

xa30．已知ABC 的内角B,C的对边分别为a,b,c，2cosA求角A的大小；

abcosCccos若a

3，求11的取值范围.b c如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路lAB（AB是圆O的直径）．规划在公路lP、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均的半径．已知点AB到直线lACBD（CD为垂足），AB10AC6，BD12（单位：百米）．PBAB垂直，求道路PB的长；P和Q中能否有一个点选在D.已知数列n

的前n

，且an 1

1，an1

2Sn

1nNn满足b3

9，b1

272b.5求数列n

，bn

的通项公式；设数列n

的前n项和为Tn

，且cn

abn

，求T.n

：a，

，…，

2满足：①

1；n 1 2 n 1aakaakk

,n1

.

Aaan 1 2

a.n.直接写出SAn3n

的所有可能值；nnSAnn

0的充要条件是a

0；3（）若SA3n

0SA

的所有可能值的和.【参考答案】***试卷处理标记，请不要删除一、选择题1．D解析：D【分析】a b25应用对数运算得到ab1025a b25a b

即可求其最小值.【详解】∵lgalgb1，即lgab1，a b25∴ab10，而a0,ba b25∴252a b

2当且仅当a2,b5时等号成立.∴25的最小值为2.a b【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时，须满足的三个条件：”“一正就是各项必须为正数；二定值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；”个定值就不是所求的最值，这也是最容易发生错误的地方2．A解析：A【分析】由11

1b

a4(a1,b1)，代入4

16

化简，利用基本不等式可求函a b数最小值.

a1

a1 b1【详解】由11

1b

a (a1,b1)，代入4

16得到：4a116(a1)a b a1 a4a116(a1)4 16 4 16

4 16(a1)

16a1 b1 a1

a 1a1

a1当且仅当：故选：A【点睛】

4a1

1)即a

3.本题考查了均值不等式在求最值问题中的应用，考查了学生转化与划归，数学运算的能力，属于中档题.3．C解析：C【分析】由对数函数的图象得出A点坐标，代入直线方程得m,n式后可求得最小值．【详解】x31xf(2)1，∴A(2,1)，点A在直线mxny40上，则2mn40，即2mn4，∵mn0，2mn4，∴m0,n0，∴12

1(2mn)1

2

14

n4m

1nm nnm n

2m n 4

m n 4

m n

4 ， n当且仅当 4m，即m1,n2时等号成立．nm n故选：C．【点睛】本题考查对数函数的性质，考查点在直线上，考查用基本不等式求最小值．是一道综合题，属于中档题．4．C解析：C【分析】逐个分析每个选项，结合基本不等式和函数性质即可判断.【详解】A项，yx4没有最值，故A项错误；xB项，令tsinx，则0t1yt4，由于函数在0,1上是减函数，tB所以f(x) f(1)5，故项错误；Bmin4 4 4C项，yex4exex 2 ex 4，当且仅当ex ，ex ex ex即ex2yex4ex的最小值为4，故C项正确；D项，y x21

2x21

2 2，当且仅当x21 ，2x2122即x21 2时，等号成立，所以函数y x21项错误．【点睛】本题考查基本不等式的应用，属于基础题.5．A解析：A【分析】

x2

的最小值为2 2，故D根据b

B60，由正弦定理得到absinA2sinAy2sinA的sinB图象，将问题转化为ya与y2sinA的图象只有一个交点求解.【详解】因为b 3，B60，a由正弦定理得

b ，sinA sinB所以absinA2sinA，sinB因为A0,120，y2sinA的图象如图所示：因为ABC 仅有一个解，3所以ya与y2sinA的图象只有一个交点，3所以0a故选：A【点睛】

a2，本题主要考查正弦定理的应用以及三角函数的图象的应用，还考查了数形结合的思想方法，属于中档题.6．D解析：D【分析】由正弦定理，求得sinB【详解】

bsinA，再由ab，且B180aa由题意，在ABC 中，由正弦定理可得

b ，即sinB

bsinA sin302 3a 2 22 3

sinA sinB3，3又由ab，且B180，B60B，故选：D.【点睛】本题主要考查了正弦定理的应用，其中解答中熟记三角形的正弦定理，准确运算是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.7．C解析：C【分析】直接利用正弦定理计算得到答案.【详解】a b 2sinA

sinB

，故sinA22222

a2 2，三角形有两解，2 222 2故2 sinA22 2

a 1，解得2a2 .故选：C.【点睛】本题考查了利用正弦定理解三角形，意在考查学生的计算能力和转化能力.8．D解析：D【分析】设旗杆的高度OAh.选，表示出，在BOC中，由余弦定理列方，在BAC.【详解】设旗杆的高度OA

h.选①②③⑤，则

OCh

OB h，，3，，在BOC中，由余弦定理得BC2OB2OC22OBOCcosBOC，h2 h 3即122h2 2h

，解得h12 3； 3选AB

3 22h，AC 2h，3在中，由余弦定理得BC2AB2AC22ABACcosBAC， 2

2h

2h 36即122

2h 2 2h

，解得h12 3.故选：D．

3 3 8【点睛】本题主要考查了余弦定理在解三角形的应用，考查了仰角的概念，考查了学生对概念的理解和运算求解能力，属于中档题.9．C解析：C【分析】设对折n次时，纸的厚度为an

，则an

是以a1

0.12为首项，公比为2的等比数列，求出a

的通项，解不等式annn

0.12n

38104106即可求解【详解】设对折n次时，纸的厚度为an

，每次对折厚度变为原来的2倍，由题意知an

是以a1

0.12为首项，公比为2的等比数列，所以a 0.122nn

0.12n，令a 0.12nn

38104106，即2n3.81012，所以lg2nn12.642，0.3

lg3.812，即nlg20.612，所以至少对折的次数n是42故选：C【点睛】关键点点睛：本题解题的关键是根据题意抽象出等比数列的模型，求出数列的通项，转化为解不等式即可.10．C解析：C【分析】a S

,n

S先利用

求出数列

的通项公式，于是可求出

n，再利用参变量分n S S,n2 nn n S S 离法得到

Sn

，利用数列的单调性求出数列Sn

的最小项的值，可得出实数的取值范围．【详解】n1S1

n12a1

1，即a1

2a1

1，得a1

n11；当n2时，由S 2a 1，得S 2a 1，两式相减得a 2a 2a ，得n n n1 n1 n n n1a 2a ，n n1a n

a

a 12n12n1an1

，所以，数列

为等比数列，且首项为1，公比为2，.n n.S 2an n

122n112n1

1 n 1由S

Sn1

0，得

S 2n1n

2112

21 1 Sn1

2n11 2n11 2

2n11SS所以，数列 S

S单调递增，其最小项为

211

1， n1

S 221 3 323 因此，实数的取值范围是1，故选3 【点睛】

S,n1本题考查利用数列前n项和求数列的通项，其关系式为a

，其次考查了n S S,n2n n数列不等式与参数的取值范围问题，一般利用参变量分离法转化为数列的最值问题来求解，考查化归与转化问题，属于中等题．11．D解析：D【分析】根据Tn

13a2ana

3n1

n，且Tn

3n，得到a1

2

3n1an

n3n，然后利用数列通项与前n项和的关系求得a 2n1，再利用等差数列求和公式求.n【详解】∵T n

a3a 1 2n

3n1

n，且Tn

3n，∴a3a1 2

3n1an

n3n，当n2时，有a1

3a2

3n2an1

13n1，3n1an

n13n113n1.∴a 2n1（n2）.nn1a1

3适合上式.∴a 2n1.n则数列a

是以3为首项，以2为公差的等差数列.n∴S2020

2202012020 20222020.2S∴ 20202022.S2020【点睛】本题主要考查数列通项与前n项和的关系以及等差数列的定义和求和公式的应用，属于中档题.12．B解析：B【分析】用等比数列的通项公式和等差中项公式求解.【详解】因为4aa1 3

,2a2

成等差数列，所以2a3

4a1

2a2

，即2aq21

4a1

2aq，1化简得q2q20，解得q1或q 2.故选B.【点睛】本题考查等比数列与等差数列的综合运用.二、填空题【分析】由条件化简可得利用均值不等式求最小值即可【详解】正实数满2足取对数可得所以所以由均值不等式知当且仅当即时等号成立故答案为：【点睛】易错点睛：利用基本不等式求最值时要注意其必须满足的三个条件：（2解析：2【分析】由条件化简可得a2b1，利用均值不等式求最小值即可.8【详解】正实数a，b满足axby2,取对数可得xlog2,ylog2，a b2 1所以 2logx y 2所以a2b1，8

alog2

blog2

a2b3，a2b2由均值不等式知，a2b2 a2b22当且仅当a2故答案为：【点睛】

b，即a222

b .4222 4422易错点睛：利用基本不等式求最值时，要注意其必须满足的三个条件：”“一正就是各项必须为正数；二定值，则必须把构成积的因式的和转化成定值；”.237【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题解题的关键是根据一元二次不等式与对应方程之间的关系求出的值7【解析】由题意知23是方程ax25xb0的两个根，52a b2a

a1 ab7.b6即答案为7.【点睛】本题考查一元二次不等式的解法与应用问题，解题的关键是根据一元二次不等式与对应方程之间的关系，求出a，b的值连线的斜率从而找到最大值时的最优解得到最大值【详解】根据约束条件可以画出可行域如下图阴影部分所示目标函数可以看成是可行域内的点和的连线78【分析】根据约束条件，画出可行域，目标函数可以看成是可行域内的点x,y和3,0的连线的斜率，从而找到最大值时的最优解，得到最大值.【详解】xy10根据约束条件x2y8根据约束条件x1如下图阴影部分所示，

可以画出可行域，目标函数

y 可以看成是可行域内的点xy和3,0的连线的斜率，x3因此可得，当在点A时，斜率最大x2y8

x1联立 ，得 7x 7A1,2

y2 70所以此时斜率为2

7，7故答案为.8

13 8【点睛】.16．2【分析】先化切为弦结合正余弦定理将角化边再由面积公式求得构造函数再用导数求得最值【详解】由得即结合正弦定理得再由余弦定理可得整理又由余弦定理可得代入上式得又锐角的面积所以时所以设函数求导可得由得所解析：2【分析】先化切为弦，结合正、余弦定理将角化边，再由面积公式求得c2

4 3cosA，3sinAfx【详解】

2cosx 20x .2sinx由2 1

2 2cosAsinBcosBsinA 2，得 ，tanA tanB sinA sinAsinB sinA即2cosAsinBcosBsinA2sinB，结合正弦定理得cosAacosB，b2c2a2 a2c2b2再由余弦定理可得 a ，整理3c2b2a24bc.2ac又由余弦定理可得b2a22bccosAc2，代入上式得c2bc2cosA，2 34 312 34 3又锐角ABC 的面积bcsinA ，所以bc 时，所以c2

4 3cosA3sinA

2 3 3sinA，fx

2cosx 0x

fx12cosx，由sinx 2 sin2xfx12cosx0x，sin2x 3 所以在0,3上单调递减，在 , 上单调递增， 3 2fx

3.于是c2

4 3(2cos

4，即c2，当且仅当A 时，3 3 3sinA等号成立.故答案为：2【点晴】结合正、余弦定理将角化边，构造函数求最值是本题解题的关键.17．3【分析】由题意结合余弦定理得进而可得再由余弦定理即可求得利用平方关系求得进而求得【详解】由余弦定理可得即又所以所以所以所以所以所以故答案为：3【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用考查了同角三角函数解析：3【分析】由题意结合余弦定理得c

b，进而可得a2 232 2

b，再由余弦定理即可求得53510cosB10A

，利用平方关系求得sinB31010 310

，进而求得tanB

sinBcosB

3. ，由余弦定理可得a2b2c22bccosA即b2a2 c2，421 1 22又b2a2

c2，所以c2 2bcc2，所以c b，2 2 351 4 a2b2 c2b2 b2 b2，所以a b，51 4 2 9 9 3cosB

5 89b29b2b225b9b29b2b225b22b10所以 2ac 10，3 31cos1cos2B所以tanB

，3310sinB3，cosB故答案为：3.【点睛】本题考查了余弦定理的综合应用，考查了同角三角函数关系式，考查了运算求解能力与转化化归思想，属于中档题.18．【分析】利用三角形三边大小关系余弦定理即可得出【详解】因为三角形两边之和大于第三边故解得故答案为：【点睛】本题考查了三角形三边大小关系余弦定理考查了推理能力与计算能力属于中档题解析：(2 5,6)【分析】利用三角形三边大小关系、余弦定理即可得出．【详解】5因为三角形两边之和大于第三边，故cab6．5cosC2242c2224c(2 5,6)．

0，解得c2 ．故答案为：(2 5,6)．【点睛】本题考查了三角形三边大小关系、余弦定理，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．19．【解析】数列是等比数列公比为的前项和当且仅当时取等号又或时取最大值数列最大项的值为故答案为3【解析】数列an

是等比数列，公比q2Sn

为n

的前n项和，9S S

a(12n) a(122n) 9 1 111T n 2n

(nN)

12 12 8n a T 92nn1 n a12n2n82n2

2n 2n2n 2n8

4 ，当且仅当2n

时取等号，2nnNn1或2

取最大值T1

9243．数列

最大项的值为3．n故答案为3．20．【分析】把数列递推式中换为整理得到是等差数列公差然后由等差数列的通项公式得答案【详解】由题意可得：∴∴两边除以并移向得出是等差数列公差故当时当时不符合上式故答案为：【点睛】本题考查了数列递推式考查了 1,n anS【分析】S

44n34n

7,nN*,n2把数列递推式中an

换为sn

sn

，整理得到{

1}是等差数列，公差d2，然后由等差数n列的通项公式得答案．【详解】由题意可得：a

4S2n

n2n 4S 1n∴S S

4S2n ,

n2，n∴ss

n1 4Sn4ss

10．两边除以s

1，并移向得出

4,(n 2)，n n1

nn1

nn1

S Sn n1S{1}是等差数列，公差d4，Sn11S a1 1

1．，114(n1)4n3，SnSn

1 4n3当n 2时，

S

1 4 ．1n n n11

4n3 4n7

4n34n7n1a1

1不符合上式．1,n1a

n 4n34n7,nN*,n2故答案为：an【点睛】

4n34n7,nN*,n2本题考查了数列递推式，考查了等差关系的确定，考查了运算求解能力，属于中档题．三、解答题21．（1）Sx480024x400；（2）40米时， x 蔬菜的种植面积最大，最大种植面积为648m2．【分析】根据矩形温室的一边长为xm再由解析式即可列出关于x的不等式，从而得出x的取值范围；.【详解】解：（1）矩形的蔬菜温室一边长为x

米，则另一边长为

800x 米，因此种植蔬菜的区域面积可表示Sx48002， x xx40由800 得：4x400；x

20x1600x（2）Sx480028082x1600x1600x x x 808160，x1600x404,400时等号成立．x因此，当矩形温室的两边长、宽分别为40面积为．【点睛】本题考查了函数模型的选择与应用，以及利用基本不等式求函数的最值，属于中档题．22．见解析【分析】x2aa2

xa30变形为(xa)(xa20，分三种情况讨论，分别求解不等式的解集，即可得到答案． 将不等式x2a2a30变形为xaxa2 0.a<0或a1a<a2，所以不等式的解集为{x|xaxa2}；a=0或a1时，a=a2=0，所以不等式的解集为{x|xRxa}；0<a<1a>a2，所以不等式的解集为{x|xa2x；【点睛】步骤：（1）若二次项含有参数，应先讨论参数是等于00，然后整理00的关系，判断方程的根的个数；.23．（1）A

；（2）3

23,23 【分析】（1）利用正弦定理边化角可化简已知关系式求得cosA，结合A的范围可求得结果；3sinB（）解法一：利用正弦定理边化角可整理得到112b c2

66sin2B

，利用B的范围可62 62 求得sinB的范围，代入整理可求得结果； 6 6b2c21 1bc解法二：利用余弦定理和基本不等式可求得bc3，整理得到11 b2c21 1bcb c合二次函数的性质可求得所求的范围.【详解】由正弦定理得：2cosA sinA

sinA.sinBcosCsinCcosB sinBCBCA，sinBCsinA，2cosA1，即cosA1，2A0,，A.3

a b c

3 2解法一：由正弦定理知，sinA sinB sinC

sin ，3sinB

1 1 1 1 sinBsin

sinB 3 3sinB 6

.b c 2sinB 2sinC 2sinBsinC 12sinBsinB

3 sin2B

62A ，B0,.

3 3令B

，则

，则sin1 .6 6 6

2,1 11

3sin

2 3sin 2 3 2 3,3sin则b c3sin

1

1 4sin1 1 3 .sin2

22

cos2

4sinsin 解法二：a 3，Abc时取等号），

，由余弦定理知：b2c2bc32bcbc（当且仅当3bc331

1，11b

3 bc1 3 bc1

bc

b2c21 1bc1b2c21 1bc12 3132 3b c bc bc 331 1 2 3 的取值范围为b c 3

,. 【点睛】方法点睛：求解与边长相关的取值范围类问题通常有两种方法：①利用正弦定理边化角，将所求式子转化为与三角函数值域有关的问题的求解，利用三角恒等变换和三角函数的知识来进行求解；②式的形式或配凑成函数的形式来进行求解；应用此方法时，需注意基本不等式等号成立的条件.24．（1）15（百米P和QD.【分析】过AAEBDEBD、cosPBD的值，进而可求得PB的长，即为所求；PD处和点QD处两种情况讨论，分析出两种情况下线段PB、QA存在点到点O的距离小于圆O.【详解】过AAEBDE.由已知条件得，四边形ACDE为矩形，则DEBEAC6，AECD8，8 4 PB

BD 12

15PBAB，cosPBDcosBAE10因此道路PB的长为15（百米）；

5， cosPBD 4 .5PD处，由E在圆上，则线段BE上的点（BE）到点O的距离均小于圆O的半径，PD处不满足规划要求；②若Q在D处，连接AD，由知AD AE2ED210，cosBAD

AD2AB2BD27

BAD从而 2ADAB 25

为锐角.线段AD上存在点到点O的距离小于圆O的半径.因此，Q选在D处也不满足规划要求.综上，P和Q均不能选在D处.【点睛】思路点睛；解三角形应用题的一般步骤：阅读理解题意，弄清问题的实际背景，明确已知与未知，理清量与量之间的关系．根据题意画出示意图，将实际问题抽象成解三角形问题的模型．根据题意选择正弦定理或余弦定理求解．.3 2n125．（1）an【分析】