2022年教师资格证考试高中数学模拟押题试卷2套(附答案解析)

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准考证号 2021年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力（高级中学）终极模拟卷（一）注意事项：120150分。请按规定作答。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）1.设函数（）在x0处连续，且m（x2）2，则（ 。x0 x2.1且f2. 0且f2.1且f

.0且f22.经过点且与平面6x3y5z20垂直的直线方程为（ 。A.x2 y3 z5

x2 y3 z5 6 3 5 6 3 5x2 y3 z5C.

x2 y3 z5 6 3 5 6 3 5若级数u收敛，则下列级数中收敛的是（ 。nn1.（unn1

（un1

）n1000.

u . n

1000un1 n1 n232人参加社区服务，则选中的2数学学科知识与教学能力（高级中学）1页（7页）同学的概率为（ 。A.0.6B. 0.5C.0.4D. 0.32 0 1已知矩阵A3 1 x可相似对角化，则x的值为（ 。 3C.

4 0 5

4D.–42 1已知矩阵A5 x有一个特征值为2 1 .25C.

B.D.《普通高中数学课程标准（2017年版》中逻辑推理的主要表现是（ 。学结构与体系掌握推理基本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流发现和提出问题，建立和求解模型，检验和完善模型，分析和解决问题空间想象认识事物有一组邻边相等的平行四边形是菱形，这个定义方式属于（ 。公理定义B. 属加种差定义C.递归定义D. 外延定义二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）X的概率密度为（x0≤x≤，其他。数学学科知识与教学能力（高级中学）第2页（共7页）（1）（2分）（2）XF（x（3分）（3）P｛1.5x2.（2分）z=x2+y2–1在点（2，1，4）处的切平面方程及法线方程。设t

是互不相同的数,r≤n。1 2 r 证明αt…tni …r）是线性无关的。i i i数学学科知识与教学能力（高级中学）第3页（共7页）谈谈在教学中如何看待统计概念的定义。简述高中课程的基本理念有哪些。三、解答题（本大题1，10）2 1 1已知矩阵A3 0 a与对角矩阵Λ相似，求a的值，并求可逆矩阵P， 使P1APΛ

0 0 3数学学科知识与教学能力（高级中学）第4页（共7页）四、论述题（本大题1，15）结合实例说明学生是怎样学习数学概念的。五、案例分析题（本大题1，20）阅读案例，并回答问题。案例：师生共同探索归纳总结出同底数幂的乘法法则后，进入知识巩固环节，教师出示例题知2x ，2y 512，求2xy的值。解决本题时，需要学生能理解同底数幂的乘法法则，将公式逆用，由于题目本身相对简单，大多数学生能获得解题思路并求得结果。 （注学生的回答是2xy2x×2y165128192）一位学生出现了不同的声音，他的思路是先设法求x，y的值，然后代入求2xy的值。数学学科知识与教学能力（高级中学）第5页（共7页）教师点评2y524，你有本事求得y的值吗？如果2y456312y问题：分析上述教学片段，指出教学过程中师生教学行为的可取之处（10分）（10分）六、教学设计题（本大题1，30）计片段。【教师甲】么样的位置关系呢？规定：空间中直线为a，平面为α，则a与α有哪几种位置关系？并完成下表：公共点

直线a在平面α内 直线a与平面α相交 直线a与平面α平行数学学科知识与教学能力（高级中学）第6页（共7页）【教师乙】复习导入：回顾直线与平面的位置关系。的三种语言进行投影，并指出平行关系是立体几何中重点研究对象之一，今天我们请完成下列任务：分析两位教师引入“直线与平面平行的判定”概念设计方案的特点（8分）分析“直线与平面平行的判定”的重难点（8分）在教学中，当引入一个新的数学概念之后，往往通过例题、习题加深对概（14分）数学学科知识与教学能力（高级中学）第7页（共7页）机密★启用前姓名

准考证号 2021年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力（高级中学）终极模拟卷（二）注意事项：120150分。请按规定作答。一、单项选择题（本大题共8小题，每小题5分，共40分）设｛x｝是数列，下列命题中不正确的是（ 。n若lim

a

x ann

n2n

n

2n1

a，则limxan2n

n

2n1

nn若lim

a

x ann

n3n

n

3n1

a，则limxan3n

n

3n1x≤

nn已知函数abcos

在x0处可导，则（ 。xA.a2B. a2.ab1 .a b 0xOy

x10x的几何意义是（ 。y 01y A.关于原点对称B. 关于x轴对称数学学科知识与教学能力（高级中学）第1页（共7页）C.关于y轴对称D. 关于y=x对

1 1 1 2已知线性方程组

2

，β1， 31 2 1 31

1 1 1 β 3，则k等于（ 。2 A.1C.2

B.–1D.–2X（σ）σPXσ应该（ 。单调增大B. 单调减少C.保持不变D. 增减不定X，YE（X）=2，E（Y）=1，D（X）=3E［X（XY–2］（ 。A.–3C.–5

B.3D.5高中数学课程分为必修课程、选择性必修课程和选修课程。高中数学课程内容突出（）课程内容。函数、图形与几何、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动函数、图形与几何、概率与统计、综合与实践命题p和命题p的逆否命题的关系是（ 。同真同假B. 同真不同假C.同假不同真D. 不确定数学学科知识与教学能力（高级中学）第2页（共7页）二、简答题（本大题共5小题，每小题7分，共35分）求双曲线y2 z2b2 c2

1y轴旋转一周所得的旋转曲面方程。1 0

0 0 1 a 0 A=

，b=。00 0 1 a 0 0 a 0 0 1 0 （1）（3分）（2）已知线性方程组AX=b有无穷多解，求a，并求AX=b的通解。（4分）数学学科知识与教学能力（高级中学）第3页（共7页）X的分布函数为FX

x，1≤x，x≥。（1）求PXP0X≤P2X

5（4分）22（2）求概率密度f（3分）X你认为教师课堂教学的基本要求有哪些？举例说明数学抽象核心素养的含义、内容及表现是什么。数学学科知识与教学能力（高级中学）第4页（共7页）三、解答题（本大题1，10）设直线yax与抛物线y=x2所围成图形的面积为S1

，它们与直线x1所围成图形的面积为S，并且a1。2试确定a的值，使S1

S达到最小，并求出最小值（4分）2x（6分）四、论述题（本大题1，15）结合实例谈谈你的看法。数学学科知识与教学能力（高级中学）第5页（共7页）五、案例分析题（本大题1，20）阅读案例，并回答问题。案例某学生在以下做题目。abab1，求a12b12的最小值的解析过程如下： a babab1ab 12

1

1 1 2a b

a2b2 4≥2ab 4≥

48 a b

a2 b2 aba12b128。 a b 问题：指出学生的错误之处（6分）分析学生的错误原因（7分）（7分）数学学科知识与教学能力（高级中学）第6页（共7页）六、教学设计题（本大题1，30）请以“直线的点斜式方程”为课题，完成下列教学设计。设计本节课的教学目标（6分）设计本节课的教学重难点（6分）（18分）数学学科知识与教学能力（高级中学）第7页（共7页）2021年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力（高级中学）终极模拟卷（一）解析一、单项选择题【答案】D根据题意可得0，由导数的定义有limx0

（x）x2

lim

t

）2（其中tx2。故正确答案为D。【答案】A【解析】本题主要考查空间解析几何的相关知识。平面6x3y5z20的法向量为n=6，–3，–5，所求直线的方向向量与平面x的法向量平行，由点向式直线方程可知，所求直线的方程为6

y3 z53 。3 故正确答案为A。【答案】B【解析】本题主要考查级数的相关知识。根据题意可知，limunn

0un n

0lim10000，由级数收nuD两项错误。举反例，由n1

n1收敛但1C项错误。n2 nn1故正确答案为B。【答案】D【解析】本题主要考查排列组合的相关知识。2名男同学为，3名女同学为

，从以上5名同学中任选2人共1 2 1 2 3有AA，AB，AB，AB，AB，AB，AB，BB，BB，BB10种可能，选中的2人都12 11 12 1

21 2

2 3 12 13 2 3是女同学的情况共有BB，BB，BB3种可能，则选中的2人都是女同学的概率为12 13 2 31P 10

0.3。故正确答案为D。【答案】A【解析】本题主要考查特征值与特征向量的相关知识。2 0 1

2 1EA3 1 x 4 0 5

4 5

，所以A的特征值为，1，。因为A可相似对角化，所以rE321，其中EA1 0 13 0 x，故x3。 4 0 故正确答案为A。【答案】A【解析】本题主要考查特征值和特征向量的相关知识。2x，A0，得5–2x=0x=2.5。A。【答案】B【解析】本题主要考查课标的相关知识。《普通高中数学课程标准（2017年版本形式和规则，发现问题和提出命题，探索和表述论证过程，理解命题体系，有逻辑地表达与交流。故正确答案为B。【答案】B【解析】本题主要考查数学概念的相关知识。数学概念的定义方法有：属加种差定义法、发生式定义法、逆式定义法、约定式定被定义概念，即被定义概念具有而它的属近属为平行四边形，种差为一组邻边相等，属于此种定义法。故正确答案为B。2二、简答题【参考答案】

k 2 1（1）

（）x （x）x 2x2x 2k2 1，所以k2。 0 0（2）x0

（）

00x2

（）

f（x）dx x1x1xx2

xx

x

1X02 4 x，x2

≤x≤44x。（）P1.5≤x≤2.（2.–10.【参考答案】

116。x2y2z1，n

。切平面方程为

x2 y1 z4（x（yz0，即4x2yz60。法线方程为 。4 2 1

kk

…

1 2 r设kα

k

…k

0，即t

t

…t

11 22 rr11 2 2 r

……tn1ktn1k…tn1k。1 1 2 2 r r当r=n时，方程组未知量的个数与方程的个数相同，且由范德蒙德行列式可知，系1 1 …1t t …t1 2 n tt 0

数行列式t2 t2 …t2 （ ），所以方程组有唯一的零解，

，，，1 2 n j i

1 2 r…… …tn1 tn1 …t

1≤ij≤n1 2 n线性无关。【参考答案】3高中统计的学习，本质上是统计活动的学习，而不是概念和公式的学习。统计内容的题的解决来理解统计的思想，而不是死记公式和定义。因此，教学统计内容时应注意：关注三种抽样方法的区别和不同的使用范围；侧重于了解统计图能告诉我们何种信息和理解不同统计图的特点；让学生了解数据的数字特征的作用和意义。【参考答案】《普通高中数学课程标准（2017年版》指出，高中数学课程的基本理念包括：学生发展为本，立德树人，提升素养；优化课程结构，突出主线，精选内容；把握数学本质，启发思考，改进教学；重视过程评价，聚焦素养，提高质量。三、解答题【参考答案】由λEA

3λ2 ）λ21）λ21130λ0aλ

λλ2，得到矩阵A的特征值为3，3，–1。AA32的特征向量，那么r3E1，1 1 1 1 1 1 3EA3 3 a0 0 a3，所以a3。 0 0 0 0 0 0 对于3，解齐次线性方程组01 1 1 1 1 1

1

101即3EA3 3 30 0 0，解得基础系01

1

0。

1 2 0 0 0 0 0 0 对于1，解齐次线性方程组E0

43 1 1 3 1 0 1即EA3 1

0 0 1，解得基础解系

3。 3 00 0 4 0 0 0 01 1 1

3 令P（ααα）1 0 3，得P1P 3 。1 2 3 0 1 0 四、论述题【参考答案】数学概念的学习可分为两种基本形式：概念的形成和概念的同化。其本质属性，从而形成新概念。如学习函数的单调性的概念可采用如下的步骤：y=2x，yy=x21的图象，并且观察图象的变化规律。②描述完前两个图象后，明确这两种变化规律分别称为增函数和减函数。③二次函数的增减性要分段说明，提出问题：二次函数是增函数还是减函数？④能否用自己的理解说说什么是增函数，什么是减函数？⑤［yx21在（0，∞）上的单调性为例］的单调性？⑥提问学生什么是“随着”？如何刻画“增大”以及“任取”？进而得到增（减函数的定义。的准确定义，深入地认识单调性。概念相互联系、相互作用以领会它的意义，从而获得新概念。如，学习等比数列的概念2项起，每一项与它的前一项的比值等于同一常数。那么这个数列叫做等比数列。这个常数叫做等比数列的公比，公比通常用字母q表示（q≠0（如等差数列的概念）区别开来，并相互贯通组成一个整体，纳入原有的概念体系之中，最后通5五、案例分析题【参考答案】程中，教师鼓励学生进行独立思考，并对学生的不同解题方法给予肯定，同时指出学生思路的不足之处，激发学生学习数学的兴趣。在教学过程中语气不好，没有尊重学生的创新思想，束缚了学生的创新思维，违背了新课程标准对学生发展能力的要求。学生思考，合作探究此种方法的可行性，然后师生一起总结解题方法。六、教学设计题【参考答案】教学活动是师生积极参与、交往互动、共同发展的过程。有效的教学活动是学生学与教师教的统一，学生是学习的主体，教师是学习的组织者、引导者和合作者。数在教学的过程中教师应注重培养学生良好的数学学习习惯，使学生掌握恰当的数学学习方法。注重以学生的认知发展水平和已有的经验为基础，面向全体学生，采用启发式和因材施教的教学方法。学生在生动活泼、主动探索的数学课程中，更容易吸收知识，但也应注重多种学习方式相结合，除接受学习外，动手实践、自主探索和合作交流同样是学习数学的重要方式。教师甲、乙的做法都符合素质教育的要求，但是教师甲和教师乙引入的方式不同，各有优点。教师甲通过生活中的常识引导学生发现直线与平面的位置关系，容易激发学生学习的积极性。概念的总结也让学生来完成，把课堂尽可能多地还给学生，以此来体现自主学习、主动参与的理念。教师乙的做法是通过师生互动回忆旧知识，帮助学生巩虽然没有给学生预设情境，但是却建立了旧知识与新知识的联系，也是一种符合新课标6要求的引入方法。教学重难点教学重点：直线与平面平行的判定定理的引入与理解。与逻辑思维能力的培养。①如果一条直线不在平面内，则这条直线与平面平行；②过直线外一点可以作无数个平面与这条直线平行；③过平面外一点只能作一条直线与这个平面平行。ABCDEF分别是ABAD的中点。求证：EF//平面BCD。AAEFαBDC练习如图，在正方体ABCD ABCD中，E，F分别是BC，CD的中点，求证：EF//平面BDDB。

111 1 1 111D F1 CA 11 B1D CEBPVACPVB和AC，应该怎样画线？VEP EP FHA72021年下半年中小学教师资格考试数学学科知识与教学能力（高级中学）终极模拟卷（二）解析一、单项选择题【答案】D【解析】本题主要考查极限的相关知识。如果数列｛x｝收敛于a，那么它的任一子列也收敛，且极限也是a。对于Anlimx=a｛x｝a｛x

｛x ｝都是｛x｝的子列，所以有xn n

2n 2n+1 nlimx

=lim

a，A项正确。同理，C项正确。对于B

｝的极限都等n2n

n

2n+1

2n 2n+1a，且

｝lim

=a，B项正确。对于2n 2n+1

nnDlim

=lim

=a，但是

｛

｝的并集没有包含｛x｝的所有项，所以n3n

n

3n

3n 3n+1 n不能推出limx=a，D项不正确。nn本题为选非题，故正确答案为D。【答案】A【解析】本题主要考查连续与可导关系的相关知识。由可导必连续可知：（）在x0处连续，则）

）

limx0

abcosx

mx ）0，故ab0。又因为（）在x0处可导，则x0f

），即

abcosx0

x0

1

abcos

bsinx x0

x

xx2x0xx2

x0 2xlimbcosx1，解得b2a2。x0 2故正确答案为A。C【解析】本题主要考查矩阵变换的相关知识。T

x10xx，所以关于y轴对称。y yy01 8故正确答案为C。【答案】D【解析】本题主要考查线性方程组的相关知识。已知线性方程组是非齐次的，方程组有解，则系数矩阵的秩等于增广矩阵的秩，由此可以求出k。因为已知线性方程组

kββ1

kββ1

的增广矩阵初等行变换，1 1 12k1 11 12k1 111 2k1（|ββ

121 k3010 4010

kββ有 1 2 1 解r|β1

111k1 020 k2 0 0 0k10βr2，则k100，得k2。2故正确答案为D。【答案】C【解析】本题主要考查正态分布的相关知识。因为PX<，所以P|X|1，该概率与σ无关，σ σ 故保持不变。故正确答案为C。【答案】D【解析】本题主要考查数学期望的相关知识。由题意随机变量X，Y不相关，且E（X）=2，E（Y）=1，D（X）=3，则E（XY（X2（Y2（X（X（X2（X）（Y2（X。故正确答案为D。【答案】C【解析】本题主要考查课标的相关知识。《普通高中数学课程标准（2017年版必修课程和选修课程。高中数学课程内容突出函数、几何与代数、概率与统计、数学建模活动与数学探究活动四条主线，它们贯穿必修、选择性必修和选修课程。数学文化融入课程内容。故正确答案为C。【答案】A【解析】本题主要考查命题的相关知识。命题p和命题p的逆否命题互为逆否命题，而互为逆否命题的两个命题同真同假。9故正确答案为A。二、简答题【参考答案】x2x2z2

代替zy2z21绕y轴旋转一周所得的旋转曲面y2方程为b2

x2c2

b2 c21a01a0001a0001aa001（1）|A|=

1 a 0=10 1 aa

a 0 01 a 01a4。0 0 1 0 1 a当a0，故AXbX1 a

0 01 1

0 01

a 0 0 1 0 1解，故a

a 01 0

a 01

1 a 0 1 0 0 1

a0 0

1 a0

0 1 a 0 a 00 1a 00

0

0 1a

0 a3 1aa2 1 a 0 0 1 0 1

0 1 。0 0 1 a 0 0 0 0 1a4aa2 可知，要使原线性方程组有无穷多解，则有1a40及aa20a1。11001110010110100110000001 0

0 10

10 1 0 11 0 1，可知对应的齐次线性方程组的基础解系为 ，非齐次方程的特解为0 0

1 100 0 0

11 0 1 01 1 1 ，故其通解为k ，其中k为任意常数。0 1 00 1 0 10【参考答案】X（）PXPX≤F2；XP0X≤FF101；XP2X5P2X

5F5ln5ln2ln5。2 2

2 X 2 X 2 4 dF（

≤xe，由于f（x）的连续点处有X f（x），即概率密fxXX dx X【参考答案】教师课堂教学的基本要求有：

其他。创设良好氛围，激励学生学习；围绕教学目标，开展教学活动；突出思维训练，培养思维能力；重视学生发展，组织学生活动；运用多种教学方法，选用恰当教学方式。【参考答案】数学抽象主要表现为：获得数学概念和规则，提出数学命题和模型，形成数学方法与思想，认识数学结构与体系。通过高中数学课程的学习，学生能在情境中抽象出数学概念、命题、方法和体系，三、解答题【参考答案】因为a1，所以可分成0a0两种情况，分别画出两种情况下的图形如图所11示，求出S1

S的最小值后，即可确定a的值。2yy=x2SS1y=ax2yy=x2SS1y=ax20Oa1xyy=x2S1S2aOy=axa≤01x（1）0a1SS

axx）x

x2

a3 a 1，令1 2 0 a 3 2 3Sa21

0a

1。又S1

0S1

22是极小值，即22222 2 6222 a0SSS1 2

a

axx）x0

a3 a 16x2 62 3S1a21

a20Sa0S取得最大值，无最小值，此（2 2 2222时S1。比较可知，S12 是最小值，此时a1。2223 61121 112

211（2）x22x2x4xx2xx14 2 d

30 。0 四、论述题【参考答案】象性要坚持抽象与具体相结合的原则。数学概念的抽象性与具体对象的直观性是有联系的，高度的抽象不是一下子达到的，它需要一个从具体到抽象，又从相对具体到比较抽象的发展过程，因此认识数学的抽象性要以具体形象为基础。引入比较抽象的概念时，往往需要从具体实例出发。如在立体几何学习中，运用一系列的数学符号表达面面平行或线面平行（垂直）的判定；在三角形的内角和的证明过程中，不仅仅是通过测量角的度数，而是需要通过一些逻辑证明方法证明三角形内角和是180数学教学中处理抽象与具体之间的关系的手段：①直观教学：通过实物直观、模型直观、图形直观和言语直观，让学生形成鲜明的表象，为他们掌握基础理论提供必要的感性材料。例如，在讲授三角函数值只与角度有12直观地体会所学知识点，将抽象的概念更直观地纳入到自身认知结构中。使抽象的概念、关系得以直观化、形象化。分析、归纳，逐步增强他们的抽象思维能力。使抽象问题具体化。例如，通过几何画板展示