函数基本性质复习

函数复习知识精要：1、函数的定义在某个变化过程中有两个变量X、y,如果对于x在某个实数集合D内的每一个确定的值，按照某个对应法则f,y都有唯一的确定的实数值与它对应，那么y就是x的函数，记作y■f(x),x■D，x叫做自变量，x的取值范围D叫作函数的定义域，和x的值相对应的y的值叫做函数值，函数值的集合叫做函数的值域。(1)定义域：函数y■f(x),x■D中，自变量x的取值范围叫做函数的定义域。(2)确定定义域的原则①当函数y■f(x)用表格给出时，函数的定义域是指表格中实数x的集合;②当函数y■f(x)用图象给出时，函数的定义域是指图象在x轴上的投影所覆盖的实数x的集合；③当函数y■f(x)用解析式给出时，函数的定义域是指使解析式有意义的函数x的集合；④当函数y■f(x)由实际问题给出时，函数的定义域由实际问题的意义确定。(3)确定函数的定义域的依据①若f(x)是整式，则定义域是全体实数；②若f(x)是分式，则定义域为使分母不为零的全体实数；③若f(x)是偶次根式，则定义域是为使被开方数不为零的全体实数；函数f(x)■x0的定义域是例1.求函数f(x)■*Xj.3x.2■(x■2)0的定义域。1■2x解题策略：使函数的表达式有意义，通常是指分式的分母不能为零，偶次根式的

■I■I2■0解：满足事：■0部■2■0，解得：x■1或x■2，且xW-1，且x■0，且x■2,2所以,函数的定义域为»||/,0|例2、(上海)对定义域分别是Df、々的函数y■以x…■g(x”规定:时(xgxx■D且x■DTOC\o"1-5"\h\zfg函数h(x)■■fxx■D且x■Dfgg(x)x■D且x■Dfg1()设函数f(x)■gx(-x2与出函数hx的解析式;x■!()求问题()中函数h(x)的值域。解：()函数f解：()函数f(x)■—的定义域为D

xMx(■x2的定义域为I)一I)一)；——,x■・■,xnlx■()当■时，若x■1,则h(x)■4,其中等号成立时，x■2;若x■1,则h(x)■0,其中等号成立时，x■0;当x・1时，h(x)■1.■函数h(x)的值域是■■0,或或x・4・(4)值域问题求函数值域的常用方法有：利用二次函数的最大值或最小值而得；利用不等式的性质或者基本不等式而得；利用二次方程的判别式“△三0”而得；利用函数式的变形和自变量的取值范围而得;利用函数图象观察而得。例3、求下列函数的值域(3)y■x■T■、:1■■2■(1)y■xB-1-■■2■(2)y=—xB(3)y■x■T■、:1■■2■(4)y八.-,,x■vTlx解：()y■x■-1-■x■2■■2■2(x■2)_-^■2■2■2■4x■2x■2x■2当切仅当—L且2,即，即时，等号成立。x■2_■域值为・，■・卜(2)方法1：因为x2+2x+2恒正，所以原函数等价于yx2+(2y-1)x+2y+1=0,当y=0时，x=1；当y/0时，△=(2y-1)2-4y(2y+1)三0,即4y2+8y-1<0所以，-1-彳忘W-1+=，产0.综上所述，y£[-1-*,-1+年]方法2：当x=1时，y=0；当x/1时，1■x2・2x.2■(x»)■—■4；yx■Tx■T当x>1时，y三"，所以，w-1+与；

当x<1时，1■■（-）■—]■4W2，所以，-1—-W

y1■x2当x■・时当■1■x■2时当x■・时当■1■x■2时当■2时■Kx■1（）y■xHH7（x■2）2■x■11■Ix■2・：■2xn在直角坐标系内作图象，由下图可知，■■函数的值域为■,■・(4)y=vx■<117■v12(x»Bx)・J2，显然yN1,，y£[1,<2]注意：对于我们刚开始学习求解简单的函数的值域时，一般采用这些方法就可以了，随着我们学习的初等函数增多，还可以用到其他的一些方法。在第()题中，题设条件，保证了，若自变量的限制，则—+■x■2■—■2.xI2x■2由1y■2Hx■2■，|.2可得值域：■■”■第()题是作图法求值域。2、函数的性质(1)奇偶性偶函数:如果对于函数y=f(x)定义域D内任意实数a,都有f(-a)=f(a),那么就把函数y=f(x)叫做偶函数.奇函数：如果对于函数y=f(x)定义域D内的任意实数合,都有f(-a)=-f(a),那么把函数y=f(x)叫做奇函数.关于函数奇偶性的几个重要结论①具有奇偶性的函数，其定义域关于原点对称(函数具有奇偶性的必要不充分条件).②函数f(x)是奇函数■曲线y=f(x)关于原点对称函数f(x)是偶函数■曲线y=f(x)关于y轴对称③若f(x)的定义域关于原点对称，则F(x)=f(x)+f(-x)是偶函数,G(x)=f(x)-f(-x)是奇函数.④若函数f(x)的定义域关于原点对称，则f(x)可以表示成一个偶函数与一个奇函数的和f(x)=1"(X)■f(4)]■1"(X)■/(i)]其中y=1[f(x)+f(-x)]为偶函数,y=1[f(x)-f(-x)]为奇数.^2^2例4、设f(x)为奇函数,g(x)为偶函数，且f(x)-g(x)=—1(X■0,1,1ft),求电)和g(x)的X2■X解析式.解题策略:将变量x代换为-x,通过f(x),g(x)的奇偶性有f(-x)=-f(x),g(-x)=g(x)这样与原等式联系方程求解f(x)和g(x).TOC\o"1-5"\h\z解：由f(x)-g(x)=—1有f(-x)-g(-x)=—1,X2■XX2Ix又f(x)为奇函数,g(x)为偶函数,■-f(x)-g(x)=；.■f(x)-g(x)=—1①联立■X2■XJJf(x)-g(x)=②X2■X

①-②，得f(x)=①-②，得f(x)=■1x(xBl)(x・1)(x■■,0,1)①+②,得g(x)=(x■1)(xHl)(x■■,0,1)注意:求出函数的解析式，还应指出函数的定义域例5、已知函f(x)对一切x,■R,都有f(x)+f(y)=f(x^y-).求证:f(x)为奇函数.1■xy解题策略:从奇函数定义域进行考虑解:显然f(x)的定义域是R,它关于原点对称在f(x)+f(y)=f(x^y.)中，令x=y=0得：1■xyf(0)+f(0)=f(0),得f(0)=0再令y=-x得f(x)+f(-x)=f(0)f(-x)=-f(x),f(x)是奇函数.注意①判断函数的奇偶性的一般步骤为:验证函数y=f(x)的定义域是否关于原点对称?若定义域关于原点不对称，则该函数为非奇非偶函数;若定义域关于原点对称，继续考察f(x)=■f(-x)成立与否?若f(-x)=-f(x)，则f(x)为奇函数，若f(-x)=f(x),则f(x)为偶函数，若f(-x)=■f(x)都不成立，则f(x)是非奇非偶函数.②若奇函数f(x)在处有意义，则f(0)=0.(2)单调性：对于给定区间上的函数f(x)，如果对于属于这个区间的自变量的任意两个值％X，当X■X时，都有f(x)■f(x)，那么就说函数f(x)在这个区间上1,21212是增函数;当X■X时，都有f(X)■f(X)，那么就说函数f(x)在这个区间上是减1212函数.如果函数f(x)在某个区间上是增函数或者减函数，那么就说函数f(x)在这一个区间上是单调函数，这个区间叫做函数f(x)的单调区间.注意：函数的单调性只是函数的局部性质，函数在定义域内可以不是单调函数，但可能存在单调区间。如：y■X2(二次函数)在R内不是单调函数，但在图像上可以看出，在(■・0)内为单调递减函数，在(0,・・内为单调递增函数，具备单调区间。又如：y■-(反比例函数)，在定义域(■・0)・(0,・)上上不为单调函数，但是在X(■・0)内为单调减函数，在(0,・■内也为单调减函数，可是它本身在定义域内不为单调减函数。所以说，函数的单调性只是函数的局部性质。关于函数单调性的几个重要结论(1)若函数y=f(x)和y=g(x)在公共区间都是增(减)函数,则函数y=f(x)+g(x)在D内是增(减)函数.⑵若两个正值函数y=f(x)ffy=g(x)在公共区间D内都是增(减)函数,则函数y=f(x)f(x)在区间D内是增(减)函数.⑶若两个负值函数y=f(x)»y=g(x)在公共区间D内都是增(减)函数,则函数y=f(x)i(x)在区间D内是减(增)函数.注意：关于复合函数，有“同增异减”」y■f(u)与u■g(x”增减性相同(反)，函数是增(减)函数-一2例6、证明:函数f(x)=x+—(x>0)在x■(0,<2)上单调递减，在［。2,■■上单调递增X解题策略:用定义证明函数在指定区间上的单调性.证明：设0<X■X■<212TOC\o"1-5"\h\z…22则f(x)-f(x)=X■—■X■—121X2X122(x■x)=(X■X)■2112XX12(X■xxX■2)-12)(12XX12TX■x<0,0<X<<2,0<x■22,xX■2,xX■0,12121212(X■X)(xX■2)12>0XX12■f(x1)-f(x2)>0,即f(x1)>f(x2)■函数f(x)=x+-在x■(0,<2)上单调递减X…22则f(x)-f(x)=X+--X■—21X2X12(x■x)(xx■2)―12^2XX12",x-x<0,x■y'2,x八'2,xx■<2,xx■012121212(X■X)(xx■2)12^2■0XX12■f(X1)-f(X2)■0,即f(XJf(X2)一2,■函数f(x)=x+—在X■[<2,■■上单调递增X注意:一般地，对于函数f(x)=ax+b(3>0内>0双>0在区间(0，4:b)上单调递减，在区间［1b,■■上单调递增.aab耐克函数：y■ax■—(a■0,b■0)的图像与性质X

例7、已知奇函数f(x)在定义域(-2,2)上单调递增，解不等式:f(2x-2)+f(x2■)■0解题策略:利用函数单调性脱掉不等式f(2x-2)+f(x2■1)<0中的函数关系符号“f”解:f(2x-2)+f(x2■)■0■f(2x-2)<-fx2■)Tf(x)是奇函数,■f(2x-2)<f(1-x2).又f(x)为单调递增函数,■2x-2<1-x2■x■2■1■x2■■x■1联立X■2x■2■2■基■x■2为■x2H■2»记■x■<3解不等式，得0<x<1注意:利用函数的单调性，常常能将抽象的不等式转化为具体的不等式，若f(x)是增函数，则f(x)■f(x)■x■x,若f(x)是减函数，则f(x)■f(x)■x■x12121212［用复合函数的单调性判断函数的单调性问题］例8、判断函数j■,1的单调性解：函数的定义域是电■■函数J■函数J■⑤在・，■1上是增函数，u■1在(，+■)上是减函数，x■I■I上是减函数例9、判断函数y■-1的单调性x2解：函数的定义域是{|x■R,且x■0}设u■1xu■1在(■0、(，+■)上是减函数，xy■u2在(■0上是减函数，在(，+■)上是增函数当x■(■0时，UK■)这时—是增函数X2当x■(,+■)时，Ul(,+■)这时—是减函数x2(3)周期性对于函数f(x)(x■D)，如果存在一个非常零常数T,使得x取D内每一个值时，都有等式f(x+T)=f(x),那么这个函数f(x)叫做周期函数，常数T叫做函数f(x)的周期，对于一个周期函数f(x)来说，如果在所有的周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数叫做这个函数的最小正周期.例、设为上的函数且对于x■R上的函数且对于x■R都有证明为周期函数解题策略通过变量换元进行分析证明■是以为周期的周期函数注意证明一个函数是周期函数往往从周期函数的定义出发进行论证证明一个函数是非周期函数常常运用反证法例、是定义在上以为周期的函数对k■Z用I表示区间k已知当x■I时(X求在上的解析式0k解题策略通过函数的周期性转化到区间上分析解设函数在区间k的图象上任意一点因为的周期为所以点在函数2,X■(■」]的图象上■y■(x■2k)2,x■(2kHl,2kHl]即fx)=(x■2k)2,x■(2k»,2k■1].注意:本题结合图象分析会更加直观.()函数的奇偶性和单调性综合应用例2已知f(x)■小■^，求证：x()f(x)在定义域上为增函数；()方程f(x)■0有唯一解。，一一1.—1.——x■x解：f(x)■f(x)・、：x■一■x■、:x・、:x■T—■0TOC\o"1-5"\h\z121x2x12xx1212()定义域为(0,H.,对于任意的x1■x2■0，，所以f(x)在定义域上为增函数。()易知x■1是方程f(x)■0的解，若，则由于f(x)在定义域上为增函数，()1若，则()1所以，方程f(x)■0有唯一解x■1o例.判断函数y■«1-1)2在区间(0,..上的单调性。x解：将原函数分解为：y・IU,u■(t■1)2,t■1,■t■1在x■(0,H■上是减xx函数，且t■0;u■(t■1)2在t■(0,n■上是增函数；而yaiu在任何区间上都是减函数。所以原函数在x■©■■上是增函数。22ax■a■ax■as例、设f(x)■——2——,g(x)■2——(a■0且a■1)()判断并证明f(x)与g(x)的奇偶性；()分别计算f⑵g⑶■f(3)g⑵与g⑸的值，并判断它们之间的关系，由此推出一个一般的关系式并给出证明；()由()所得的一般结论，判断是否与已经学过的什么公式类似？若是，试写出一个。对照学过的公式，关于f(x)与g(x)还能得到什么与②不同的关系式？若存在，请你写出其中的一个。解.f)x)和g(x)的定义域R关于原点对称，又又.)■胃■fx),g(』)■■f(x)为偶函数，g(x)为奇函数.f(2)g(3)■f(3)g(2)f(2)g(3)■f(3)g(2)a2■abe23IaiBa3■aiB2.(a4■1)(a6■1).(a6■1)(a4■1)4a54a5■g(5)一般关系式amm■a*mm)f(m)g(n)■f(n)g(m)■—-——证明f(m)f(m)g(n)■f(n)g(m)■amIaim-~2■—■—(amm■amm■a1m断■a■mm)■—(amm■amm■aimm■a由所得的一般结论与在三角函数中学过的两角和的正弦公式令f(x)■cosx,g(x)■sinx,则cos・・in■■cos■■lin■■$[□(■■■).关于f(x)与g(x)所得到的与②不同的关系式为f2(x)■g2(x)■1巩固提高.已知函数f(x)的定义域是R，且f2■・fx・，若f(x)是奇函数，则f(x)的周期B。A.2B.4C.6D.8解析：由f(x)为奇函数知^(i)■■/(x),又f(2■x)■■/(x■2),■f(x)■叫(i)・・f(2■(x■2))■f(x■4)..已知函数f(x)的定义域是R,且f(2■x)■■f(x■2),若f(x)是偶函数，则f(x)的周期是DA.2B.4C.6D.8由f(x)为偶函数知f(Hr)■f(x),又f(2■x)■!(x■2),f(x)■f(Hr)■f(2■(x■2))■■f(x■4),同理f(x■4)■■f(x■8),f(x)■f(x■8).3.下列函数是奇函数的是(D)A.f(x)=x2+1B.f(x)=x2(xT)xx—1C.f(x)=2D.f(x)=x+1x分析:f(x)=x2+2_的定义域D=(—8,0)u(0,+°°)XVf(-l)=o,3=2・・・f(—l)Wf(l)且f(—1)W—f(l)・・.f(x)=a曰既不是偶函数，又不是偶函数。X—1f(x)=x&x—1)的定义域口=(-8,1)U(1,+°°),不关于原点对称X—1・・.f(X)=X2(Xe非奇非偶函数。X—1C.f(x)=2的定义域D=(—8,+oo)*.*f(—x)=2=f(x)，f(x)是偶函数D.f(x)=x+』的定义域D=(—8,o)U(0,+°°)XVf(—x)=(—x)+-J—=~X——=—)=一f(x)-XXX.・・f(x)是奇函数故选C.函数的单调增区间是(C)。2.已知函数y=f(x)是奇函数，且x>0时，f(x)=x2+2,则当x<0时，函数f(x)的解析式为(B)A.f(x)B%2B2B.f(%)HB¥2B2C./(x)・B¥2・2D.f(x)B2解：x<0时，一x>0f(—x)=(—x)2+2=x2+2：y=f(x)是奇函数f(—x)=—f(x)即x<0时，f(x)=—f(—x)=—仅2+2)=—x2—2故选B6.若函数f(x)=ax2-(3a-l)x+a2在，是增函数，求实数a的取值范围(C)A.0B(2BlB.a<0C.OBaBlD.无法判断

解：当a=0,f(x)二x在是增函数;■B0当a>0时，要使f(x)在氐是增函数，则品”.1■OBall;■]2a当a<0时，由二次函数图象可知，f(x不能在是增函数.综上所述，a的取值范围为[0,1].故选C.已知函数/(x)对任意实数x,满足下列哪个条件，函数的周期为4m。(D)A.f(x+m)=—f(x)B.f(x+m)=f(x—m)f(x+m)=f(x+m)=—f(x+m)=f(x+m)=—分析：选项A因为f(x+m)=—f(x)所以,f(x+2m)=f[(x+m)+m]=f(x+m)=f(x)所以f(x)是以2m为周期的周期函数.选项B因为f(x+m)=f(x—m)令x—m=t,则x+m=t+2m于是f(t+2m)=f(t)对于R恒成立,所以f(x)是以2m为周期的周期函数.选项C由已知f(x+2m)=f[(x+m)+m].l・f(xBm)lBf(xBm)l.l・f(x).l・f(x)l.l・f(x)l・f(x)=f(x)

所以f(x)是以2m为周期的周期函数.选项D由已知f(x+2m)=f[(x+m)+选项D..1■f(x■m)1■f(x■m)・■I1"f(x)1.1"f(x)1■f(x)mJ—

f(x)于是f(x+于是f(x+4m)=-1f(x■2m)=f(x)故选D所以故选D所以f（x）是以4m为周期的周期函数.8、求下列函数的值域（1）y■x（1）y■xHE(3)y■'x■2x2解（1）y■■7x■■时,L■0,Bx■■时,L■0,By■1

xHl值域为■,1・・■・(2)令t■<21x,x■2Bt2,.y■2Bt2■t■!J■4_9t■0,By■49值域为;・，4jj⑶y■『■2x2・E(x叫2■2・5■F又y■『■2x