随机变量和其分布市公开课金奖市赛课一等奖课件

第二章

随机变量及其分布2.1随机变量及其分布函数第1页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity内容提要随机变量定义1分布函数定义和性质2第2页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity随机变量

设E是随机试验，Ω是样本空间.若对每个样本点ω∈Ω,都有一个确定数X(ω)与之对应，则称Ω上实值函数X(ω)为随机变量（randomvector,r.v.）随机变量定义1注：X(ω)取值含有随机性.第3页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity举例例1：测试灯泡寿命，样本空间为

Ω={t:t∈[0,+∞},用X表示灯泡寿命，则X就是随机变量，它随随机试验结果不一样而取不一样值：{X=20}表示灯泡寿命是20单位时间，{X≤100}表示灯泡寿命不超出100.

例2:掷两枚硬币，以X表示出现正面次数，则X是一随机变量：{X=2}表示出现两次正面；{X≥1}表示最少出现一次正面.

第4页注：分布函数是定义在R上一个实函数.DepartmentofMathematics,TianjinUniversity随机变量分布函数2随机变量用来表示随机事件,而随机事件出现有一定概率.分布函数：设X是一个随机变量，对任意x∈R,令

F(x)=P(X≤x),x∈R,称F(x)为随机变量X分布函数.第5页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity分布函数性质1.规范性：

即0≤F(x)≤1,F(-∞)=limx->-∞F(x)=0,F(+∞)=limx->+∞F(x)=1.2.单调不减性：

即对任意x1<x2,有F(x1)≤F(x2).3.右连续性：

即F(x+0)=F(x).第6页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity分布函数几何意义：

分布函数F(x)表示随机变量X落在区间

（-∞,x]上概率.任何事件概率能够由分布函数表示：P(x1<X≤x2)=P(X≤x2)-P(X≤x1)=F(x2)-F(x2);P(X=a)=P(X≤a)-P(X<a)=F(a+0)-F(a-0);P(x1<X<x2)=P(X<x2)-P(X≤x1)=F(x2)-F(x1)-P(X=x2)P(x1≤X≤x2)=F(x2)-F(x1)+P(X=x1);P(X>a)=1-F(a);P(X≥a)=1-P(X<a)=1-F(a)+P(X=a).

第7页第一章

随机事件与概率2.2离散型随机变量概率分布第8页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity内容提要离散型随机变量定义1离散型随机变量分布律2例题3常见离散型随机变量分布4第9页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity离散型随机变量:

只能取有限个或可列个值随机变量称为离散型随机变量.离散型随机变量定义1例：第10页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity离散型随机变量分布律2离散型随机变量概率分布律：

设X为离散型随机变量,全部可能取值为x1,x2,…,且P(X=xk)=pk,k=1,2,….则称上式为离散型随机变量X（概率）分布律（列）.分布列也能够用表格表示为：Xx1x2…xk…PXp1p2…pk…第11页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity概率分布律性质：

（1）pk≥0k=1,2,….

（2）p1+p2+…+pk+…=1.反之，若存在序列{qk,k=1,2,…}满足以上两条性质，那么该序列一定是某一离散型随机变量概率分布律.第12页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例1.对目标进行射击，知道击中为止，设每次命中率为p.求射击次数X分布律，并求P(X≤2).例题3例2.设离散型随机变量分布列为P(X=k)=λbk(k=1,2,3,4,0<b<1).求λ.例3.已知r.v.全部取值为1,2,3,4.且P(X=k)正比于k值.求：（1）X分布律及分布函数F(x)；（2）P(X<3),F(3).第13页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity常见离散型随机变量分布40-1分布：设X分布律为(0<p<1):X01PX1-pp则称X服从参数为p0-1分布（两点分布，伯努利分布），记为X～B(1,p).例1.掷两粒骰子，以X表示出现点数，那么X服从不是两点分布.不过假如以X表示是否出现双六，则X服从0-1分布，且p=1/36.第14页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity常见离散型随机变量分布4二项分布：设X分布律为(0<p<1):q=1-p,则称X服从参数为n,p二项分布，记为X～B(n,p).独立重复n次伯努利试验，那么事件发生次数服从二项分布.n=1时，二项分布就是0-1分布.能够证实等式是成立.第15页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例2.加工一件产品为一级品概率为0.2.现加工20个，求（1）这20个产品中一级品分布律；（2）这20个产品中有5个一级品概率.例3.设X服从参数为2,p二项分布.已知P(X≥1)=5/9,那么成功率为p4重伯努利试验中最少有一次成功概率是多少？第16页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity常见离散型随机变量分布4泊松分布：设X去一切非负整数值，其分布律为:则称X服从参数为λ泊松分布，记为X～P(λ).稀有事件发生适合用于泊松分布.泊松分布概率值能够经过查表求得.第17页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例4.某电话交换台每分钟接到电话呼唤次数服从参数为4泊松分布.求（1）每分钟恰有8次呼唤概率；（2）每分钟呼唤次数大于10次概率.泊松定理：设pn=λ/n,λ>0是常数，则对任意非负整数k,有证实：第18页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例5.汽车站天天有大量汽车经过，设每辆车在一天某时间内出事故概率为0.0001，在该天该段时间内有1000辆车经过，问出事故次数大于2次概率是多少?注：泊松定理通常在n≥10,p≤0.1时就能够使用；当n≥20,p≤0.05时就近似很好了.第19页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity常见离散型随机变量分布4超几何分布：设X分布律为:则称X服从参数为M,N,n超几何分布，记为X～H(M,N,n).其中k取值范围为k=0,1,2,…,min(n,k).直观意义：第20页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity常见离散型随机变量分布4几何分布：设X分布律为:P(X=k)=(1-p)k-1p,k=1,2,…则称X服从参数为p几何分布.n重独立重复伯努利试验中，记每次试验A发生概率为p,以X表示A首次发生时试验次数，则X服从几何分布.几何分布无记忆性：记X服从参数为p几何分布，则对任意正整数m,n,有P(X>m+n|X>m)=P(X>n).第21页第二章

随机变量及其分布2.3连续型随机变量及其分布第22页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity内容提要连续型随机变量定义1概率密度函数性质2常见连续型随机变量分布3第23页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity定义：设随机变量分布函数为F(x),若存在非负可积函数f(x),使得对任意x∈R,都有

则称X为连续型随机变量，并称f(x)为X概率密度函数.连续型随机变量定义1第24页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity注：由高等数学知识可知：连续型随机变量分布函数一定是处处连续，且在f(x)连续点处，有概率密度名称由来：第25页含有以上二性质任一函数f(x)必是某连续型随机变量密度函数.

DepartmentofMathematics,TianjinUniversity(1)f(x)≥0;(2)

.概率密度函数性质2第26页(3)对任意实数a,b（a<b）,有P(a<X≤b)=F(b)-F(a)=DepartmentofMathematics,TianjinUniversity(4)对任意实数a,P(X=a)=0.(5)所以可求X落在任一区间内概率.(6)由F(x)也可确定f(x).第27页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例1:在区间[0，a]上任意投一点，以X表示该点坐标，设该点落在[0,a]内任意小区间概率与该小区间长度成正比.求X分布函数.第28页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity均匀分布

若随机变量X概率密度函数为则称X服从区间[a,b]上均匀分布，记为X～U[a,b].

常见连续型随机变量分布3第29页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例2:设K在[0，5]上服从均匀分布，求方程4x2+4Kx+K+2=0有实根概率.（1）f(x)图形：（2）F(x)表示式：（3）均匀分布描述一个几何概型.第30页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity指数分布

设随机变量X概率密度为则称X服从参数为λ指数分布,记为X～EXP(λ).第31页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例3:某动物寿命X服从参数为0.01指数分布.求(1)该动物寿命在50-150岁概率；(2)该动物寿命不少于100岁概率；(3)已知该动物现100岁，求它寿命不少于200岁概率.(1)f(x)图形：(2)F(x)表示式：(3)指数分布描述各种寿命,服务时间等.第32页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity正态分布

设随机变量X概率密度为其中μ，σ>0为常数.则称X服从参数为μ,σ2正态分布,记为X～N(μ,σ2).第33页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity(1)f(x)图形及特征：(2)F(x)表示式：(3)μ,σ对图形影响：(4)x=μ时，F(μ)=1/2.(5)f(x)关于μ对称，F(μ-x)=F(μ+x).(6)令μ=0,σ2=1时，称X服从标准正态分布，即X～N(0,1).此时记

第34页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity(7)对任意X～N(μ,σ2),做变换Y=(X-μ)/σ,则Y～N(0,1).

例1.连续性随机变量X概率密度函数为（1）求近似值；（2）若已知，求c

第35页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例2.(3σ标准)设随机变量X～N(μ,σ2),(1)求P(μ-σ<X<μ+σ);(2)求P(μ-2σ<X<μ+2σ);(3)求P(μ-3σ<X<μ+3σ);例3.设轴长度X～N(10,0.01).若轴长度在（10-0.2,10+0.2）内算合格，求4根轴中：（1）恰有3根合格概率；（2）最少有3根合格概率.第36页第二章

随机变量及其分布2.4随机变量函数分布第37页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity内容提要离散型随机变量函数分布1连续型随机变量函数分布2第38页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例1.设随机变量分布律为离散型随机变量函数分布1X-2-1013PX1/51/61/51/1511/30求Y=2X与Y=X2分布律.例2.设X分布律为P(X=k)=1/2k(k=1,2,…)求Y=sin(πX/2)概率分布律.方法总结：第39页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例3.设X概率密度函数为fX(x),求Y=kX+b(k>0)概率密度函数.步骤:（1）先求函数Y=g(x)分布函数FY(y)，（2）对分布函数FY(y)求导得fY(y).连续型随机变量函数分布2第40页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity例4.设X～N(μ,σ2),求Y=kX+b（k≠0）概率密度函数.（1）写出Y分布；（2）当k=1/σ,b=-μ/σ时，Y分布.连续型随机变量函数分布2第41页DepartmentofMathematics,TianjinUniversity定理1.设连续型随机变量X含有概率密度函数f(x)，若y=g(x)是严格单调且可导函数，则Y=