2002年第13届希望杯数学邀请赛(初一)第2试试题及答案

2002年度初一第二试“希望杯”全国数学邀请赛一、选择题:(每小题5分,共50分)以下每题的四个选项中,仅有一个是正确的,请将表示正确答案的英文字母填在每题后面的圆括号内.1.2002+(-2002)-2002x(-2002)=2002=().(A)-4004(B)-2002(C)2002(D)6006下列四个命题:如果两个角是对顶角，则这两个角相等.如果两个角相等，则这两个角是对顶角.如果两个角不是对顶角,则这两个角不相等.如果两个角不相等，则这两个角不是对顶角.其中正确的命题有().(A)1个(B)2个(C)3个(D)4个爸爸给女儿园园买了一个(圆柱形的)生日蛋糕，园园想把蛋糕切成大小不一定相等的若TOC\o"1-5"\h\z干块(不少于10块)，分给10个小朋友.若沿竖直方向切成这块蛋糕，至少需要切()刀.(A)3(B)4(C)6(D)9当x取1到10之间的质数时，四个整式:x2+2,x2+4,x2+6,x2+8的值中，共有质数()个(A)6(B)9(C)12(D)165.Ifaisanoddnumber,thentheremustexistanintegernsuchthat2-1a=().(0ddnumber奇数;theremustexist一定存在;suchthat使得)(A)3n(B)5n(C)8n(D)16n6•如图，直线上有三个不同的点A、B、C,且ABHBC•那么，到A、B、C三点距离的和最小的点().(A)是B点；(B)是线段AC的中点；(C)是线段AC外的一点；(D)有无穷多个7.下面四个命题中一定不正确的命题是().2(A)3a2b7和3b2a7是同类项；(B)3x-1=0和3+=0是同解方程x-1(C)a-3和3-a互为倒数；(D)x3-b和-x3-b互为相反数TOC\o"1-5"\h\z&如图,0为直线AB上的一点,0M平分ZA0C,0N平分ZB0C,则图中互余的角有().(A)1对(B)2对(C)3对(D)4对9•如图，点A、B对应的数是a、b,点A在-3,-2对应的两点(包括这两点)之间移动，点B在-1、0对应的两点(包括这两点)之间移动,则以下四式的值,可能比2008大的是().(A)b-a；D.(a-b)211(A)b-a；D.(a-b)2B.；C.—;

b-aab10.Letabetheaverageofalloddprimenumberslessthan%。."Theinteger,bostclosetoa,is()(average平均值；oddprimenumber奇质数).(A)23(B)24(C)25(D)26二、填空题:(每小题6分,共60分)11.2002年8月,将在北京召开国际数学家大会,大会会标如图所示.它是由四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成的一个大正方形.若大正方形的面积是13,小正方形的面积是1,则每个直角三角形的两条直角边的立方和等于.数学小组中男孩子人数大于小组总人数的40%且小于50%,则这个数学小组的成员至少有人.甲、乙两同学从400米环形跑道上的某一点背向出发,分别以每秒2米和每秒3米的速度慢跑.6秒钟后,一只小狗从甲处以每秒6米的速度向乙跑,遇到乙后,又从乙处以每秒6米的速度向甲跑,如此往返直至甲、乙第一次相遇.那么小狗共跑了米.小红的妈妈将一笔奖金存入银行,一年定期,按照银行利率牌显示:定期储蓄一年的年利率是2.25%,利息税是20%,经计算,小红的妈妈可在一年后得到税后利息108元,那么小红的妈妈存入的奖金是元.如图所示,边长为3厘米与5厘米的两个正方形并排放在一起.在大正方形中画一段以它的一个顶点为圆心,边长为半径的圆弧.则阴影部分的面积是平方厘米•（兀取3）.一辆新型家庭轿车油箱的容积为50升,加满油由北京出发前往相距2300公里的第九届全国运动会举办地广州,已知汽车行驶100公里耗油8升,为保证行车安全,油箱内至少应存油6升,则在去广州的途中至少需要加油次.图所示的是蜂巢的一部分,从中间阴影算起,有27层,每个正六边形的小室中放进一个幼蜂,那么这个蜂巢总计可以放只幼蜂.已知x=2,y=-l,z=-3是三兀一次方程组mx-ny-z=7<2nx-3y-2mz=5x+y+z=k的解,贝Vm2—7n+3k=19.5位数2x9y1是某个自然数的平方，贝^3x+7y=.20.研究发现,某种感冒药含有使人感到困倦的物质,如果成年人按规定剂量服用,服药后3小时血液中这种物质的含量最高（每亳升血液中含6微克,1微克=10—6克）,随后逐步减少,在9小时的时候,血液中这种物质的含量降到每毫升3微克,当每毫升血液中该物质的含量不少于4微克时,人会有困倦感,那么服用这种药后人会有困倦感的时间会持续小时.（设人体对该药物的吸收与释放是均匀的）

2002年度初一第二试“希望杯”全国数学邀请赛答案：一、1.2002+(-2002)-2002X(-2002)三20021=0-2002x(-2002)x2002=2002・•・选(C)①、④是正确命题.・•・选(B).如图方法切选(B).4.1-10之间的质数有2,3,5,7,但2是偶数,所以可用质数为3,5,7.当x=3时，x2+2=11,x2+4=13,x2+6=15,x2+8=17,其中15不是质数当x=5时，x2+2=27,x2+4=29,x2+6=31,x2+8=33,其中15不是质数.当x=7时，x2+2=51,x2+4=53,x2+6=55,x2+8=57,其中51、55、57不是质数.所以共有6个符合条件，选(A)5.设a=2n+1,则有a2-1=(2n+1)2-1=4n(n+1)Vn(n+1)是两个连续整数的乘积，一定能被2整除;即2|n(n+1),8|4n(n+1)选(C)6•根据两点之间线段最短，与点A、C距离最短的点应在AC线段之间，而B恰在线段AC上，所以点B是符合条件的点•选(A).7.a-3和3-a互为相反数，所以一定不是互为倒数.选(0&Vzaom=zmoc,zbon=zcon・•・ZA0M+ZB0N=90°ZA0M+ZC0M=90°ZC0M+ZB0N=90°ZCOM+CON=90°.共4对.选(D).V-3WaW-2-1WbW0・•・2Wb-aW3,A不符合1b-a是假分数，・•・<1B不符合b-a(a-b)2W9・•・D不符合选(C).比50小的奇质数有3,5,7,11,13,17,19,23,29,31,37,41,43,47,其和为326.2326三14=237,其最近的整数部分为23选(A).设短直角边为x,则长直角边为(x+1)(x+1)2+X2二(\''13)2.*，X=2，x=-3(舍)填35.12.设小组总人数为X,男生为y.4050・x<y<x100100

21

即一x<y<x52〜2

y21

即一x<y<x52〜2

y>—xJ1I2x>2y把y取1、2、3整数,经验证，当y=3时，6<x<耳,整数x为7,所以数学小组成员至少为7人，填7.13•设甲、乙同学跑了x秒，则小狗跑了（x-6）秒.2（x-6）+3（x-6）=400-2x6-3x6x=8080-6=74（秒）74X6=444（米）填444.14.设小红妈妈存入奖金x元2.25而X1+f1-竺］I100丿x二108x=6000填6000.15.根据已知可得,S=SAABC梯形BCDE.•・S-S=S—S，即sAABC梯形BCFE梯形BCDE梯形BCFE,1小25X3・•・阴影部分面积=丁兀R2=4=SAcdfAaef=18.754填18.7516.根据题意，轿车由北京到广州需要油8X（2300三100-1）+6=182（升）16183丁50=3(次).所以需要加油4次.填4.17.根据图形及题意，可得蜂巢一圈：1+5=6=1X6二圈：12=2X6三圈：18=3X6第27层增加：(27-1)6个蜂巢.・•・共有蜂巢1+(1+2+3+-26)X6=1+(27X13)X6=2106+1=2107(个)填210718.把x=2,y=-1,z=-3分别代入方程组，得'R=-2解得<m=7n=-10'R=-2解得<m=7n=-10<4n+3+6m=5,2-1-3=R・•・m2-7n+3R=72-7X(-10)+3X(-2)=113应填11