高中必修五数学数列讲义

高中必修五数学数列讲义高中必修五数学数列讲义高中必修五数学数列讲义高中必修五数学数列讲义第二章数列第一：数列及其通公式一．数列的见解1．数列的定：；2．表示法：；3．数列的分：；4．通公式：；5．推公式的见解：；注意：①数列与会合有本的区；②与数的区；③{an}与an的区；④不是每一个数列都有通公式；⑤an是n的函数。二．数列通公式的求法1．依据数列的有限，写出数列的通公式。1．已知数列{an}的前几，写出数列的一个通公式（1）1，4，9，16，⋯⋯；an=;（2）2,4,6,8,⋯⋯；an=;3927813,LL,n（3）1,3,1,3,1,;2345a=6（4）9，99，999，9999，⋯⋯；an=;（5）7，77，777，7777，⋯⋯；an=;2（6）7，-77，777，-7777，⋯⋯；an=;（7）0.5,0.55,0.555,0.5555,⋯⋯；an=;（8）1．-1，1，-1，⋯⋯；an=;（9）1，0，1，0，⋯⋯；an=;（10）11，101，1001，10001，⋯⋯；an=;（11）11,22,33,44,⋯⋯；an=;2345（12）1,3,7,5,LL；an=;24816（13）2,1,10,17,26,37，⋯⋯；an=;37911132．数列1，3，2，6，5，15，14，x,y,z，122，⋯⋯，中x,y,z的挨次是（）A42，41，123B13，39，123C24，23，123D28，27，1233．数列1，1，2，3，5，8，⋯⋯；的第7是。1为奇数）4．数列{an}中，an，nn1（n2)为偶数）(n{an}的前5是。5.已知函数f(x)x-1，anf(n)(nN*)x(1)求：an1；（2）{an}是增数列是减数列？什么？32．已知数列的前n项和求数列的通项公式（1）已知数列{an}的前n项和为Sn2n2n1，求数列{an}的通项公式；（2）已知数列{an}的前n项和为Sn2n2n，求数列{an}的通项公式。注意：1.用数列的前n项和Sn求通项an的公式是：；2.什么时候运用an=Sn-Sn-1求出的公式拥有通用性：。练习：(3)已知数列{an}的前n项和为Sn(1)n1n,则通项an=;（4）已知数列{an}的前n项和为Sn32n则通项n=;,a（5）已知数列{an}的前n项和为Snlog1(1n),则通项an=;10（6）已知数列{an}的前n项和为Sn11L1n2n122n,则通项an2=;注意：（1）公式表示的是数列的前n项和与通项之间的关系。（2）要注意不要忽略n=1的情况，这是大家易犯错的地方。43．用递推公式求数列的通项公式（1）数列{an}中，a12,anan1(n2,3,4,L），则它的前5项1an1是。（2）数列{an}中，a11,a22,an2an1an,则a7。（3）数列（4）数列

{an}{an}

中，知足中，知足

a12,an1an2，求数列{an}的通项公式；a12,an1ann，求数列{an}的通项公式；（5）数列（6）数列

{an}{an}

中，知足中，知足

a12,an12an，求数列{an}的通项公式；a12,an1nan，求数列{an}的通项公式；n1第二节：等差数列.1.定义：假如一个数列从第二项起，每一项与它前一项的差等于同一个常数，那么这个数列就叫等差数列；这个常数叫做等差数列的公差，公差平常用字母d表示。2.通项公式：ana1(n1)d或anam(nm)d3.等差中项：a,A,b成等差数列，A叫a,b的等差中项（注：随意两个数都有ab等差中项）A24.证明一个数列是等差数列的方法：一般用an1and（常数），而不用其余等价形式，若的确没法证明an1and，有时也可采纳证明an1ananan1,(n2)来达成。5.等差数列的性质：5（1）d0，an单增；d0，an单减；d0，是常数列。（2）等差数列中随意连续的三项也成等差数列，反之亦然。（3）一个数列是等差数列，则通项公式可写成anknb（k,bR)，反之亦然。一个数列是等差数列，则其前n项和可写成SnAn2Bn（A,BR)，反之亦然。（4）数列{an}是等差数列，若m+n=p+q，则amanapaq（5）数列{an}是等差数列，项数m,p,n成等差数列，那么am,ap,an也成等差数列。（6）数列{an}是等差数列，则Sm,S2mSm,S3mS2m仍成等差数列。二.等差数列的前n项和：n(a1an)或Snn(n1)Snna1d22练习与应用：通项公式、前n项和公式的基本运算1．在等差数列{an}中，a5=10,a12=31,求首项a1与公差d.2.在等差数列{an}中，a2=-5,a6=a4+6,那么a1=.3.在等差数列{an}中，a15=8,a20=20,则a25=.4.在等差数列{an}中，a2+a5+a8=9,a3a5a7=-21,求通项an.5.在等差数列{an}中，a15=8,a60=20,则a75=.6Sm,S2mSm,S3mS2m仍成等差数列6.在等差数列{an}中，S10=310，S20=1220，求Sn与通项an.若m+n=p+q，则amanapaq6．在等差数列{an}中，a3+a4+a5+a6+a7=450,则a2+a8=.3,a15是方程x2-6x-1=0的两个根，求a7+a8+a9+a10+a11=.8．在等差数列{an}中，a32，则该数列的前5项和为（）（A）10（B）16（C）20（D）329.在等差数列{an}中，Sn表示前n项和，且a2a818a5，则S9的值为（）（A）18（B）60（C）54（D）2710.等差数列{an}，S918,Sn240,an430,(n9)，则项数n为（）11．在等差数列{an}中，前4项的和为21，后4项的和为67，前n项的和为286，则项数n=.12.在等差数列{an}中，Sn表示前n项和，且S120,S130，当Sn获得最大值时的n值为（）（A）6（B）7（C）12（D）不可以确立13.若{an}是等差数列，首项a10，a23a240，a23a240，则使前n项和Sn0建立的最大自然数n是（）（A）48（B）47（C）46（D）45714（04年重庆卷.文理a10,a2003a20040,a2003.a2004是：（）A4005B4006

9）若数列{an}是等差数列，首项0，则使前n项和Sn0建立的最大自然数nC4007D400815.等差数列{an}，{bn}的前n项和为Sn，Tn，且Sn7n1,求a11.Tn4n27b1116.设Sn是等差数列{an}的前n项和，若A：1B：2C：1D：-12

a55，则S9的值为（）a39S517．在等差数列{an}中，am=n,an=m,且m≠n,则am+n=.18.已知等差数列{an}，Sn是其前n项和，关于不相等的正整数m,n，有Snm,Smn，则Smn的值为.其奇数项和、偶数项和1、若等差数列共有偶数项2n项（奇数项、偶数项各n项）：即S奇a1a3a5a2n1S偶a2a4a6a2n则S偶S奇nd，S偶S偶an1（中S奇S2nS奇an间一对）2、若等差数列共有奇数项2n1项（奇数项比偶数项多1项）：即则

S奇a1a3a5a2n1a2n1S偶a2a4a6a2nS奇S偶an1（an1为中间项），S偶S奇S偶n（项数之比）S2n1n1S奇19..等差数列{an}共有2n-1项，全部奇数项的和为132，全部偶数项的和为120，则n=.8假如等差数列{an}共有10项，其奇数项之和为15，偶数项之和为30，则其公差为。21．假如等差数列{an}的项数是奇数，a11，{an}的奇数项的和是175，偶数项的和是150，求这个等差数列的公差d。Sn的最值问题22.等差数列{an}中，an=2n-10,则Sn的最小值时n=.23.等差数列{an}中，an=2n-11,则Sn的最小值时n=.24．在等差数列{an}中,a125,S3S8,则前n项和Sn的最小值为（）A：-80B：-76C：-75D：-7425.已知等差数列{an}，Sn是其前n项和，且S5S6,S6S7,S7S8，则以下结论错误的选项是（）（A）d<0（B）a70（C）S9S5（D）S6与S7均为Sn的最大值.第三节：等比数列一。等比数列及其性质91。定义：（略）an1q(q0)（有既是等差又是等比的数列吗？）an2。通项公式：ana1qn1；（anamqnm）3。等比中项：a,G,b成等比数列，G叫a,b的等比中项。注：随意两个实数都有等差中项，但不是随意两个实数都有等比中项，只有两个实数同号时才有等比中项，等差中项只有一个，但等比中项有两个。4。证明数列是等比数列的基本方法：an1q(q0)an5。相关性质：（1）数列{an}是等比数列，若m+n=p+q，则amanapaq（2）正项等比数列的对数列是等差数列，等差数列的指数列是等比数列。（3）数列{an}是等比数列，则a1a2Lam，am1am2La2m，a2m1a2m2La3m成等比数列吗？（4）数列{an}是等比数列，则a1a2Lam，am1am2La2m，a2m1a2m2La3m还是等比数列。练习与应用：1。数列{an}是等比数列，则在①{anan1}；②{anan1}；③{anan1}；④{an3}；⑤{nan}；⑥{lgan}这6个数列中仍成等比数列的是。102。数列{an}是等比数列，a34,a716，求公比q。333。等差数列a,b,c三项的和为12，且a,b,c+2成等比数列，求a的值。4。数列{an}是等比数列，a1a3a5a7a932，求a55。数列{an}是等比数列，a19，an1，q2，则这个数列的项数为（）833A3B4C5D66。等比数列{an}中,an>0,a2a4+2a3a5+a4a6=25,则a3+a5=()A:5B:10C:15D:207。等比数列{an},a516,a88,a11（）A：-4B：±4C：-2D：±28。等比数列{an}，a3a8124,a4a7512，公比q为整数，则a10。9.等比数列{an}中，a1a230,a3a460,则a5a6（）A：90B：120C：15D：8010。等比数列{an}中，a9a10a,(a0),a19a20b,则a99a100（）9B：(b)910D：(b)10A：b8C：b9aaaa11。{an}是各项为正数的等比数列，a5a69，则log3a1log3a2log3a10=11（）A：12B：10C：8D：2log3512．已知数列{an}是各项都为正数的等比数列，设bnlog2an，求证数列{bn}是等差数列。13。已知等比数列{an}的a316，且a1a2a10265，求{an}的通项公式.14。各项均为正数的等比数列{an}中，若a4a710，则lga1lga2lga10；15．{an}为等比数列，（1）q2,S9977，求a3a6a99（2）前n项的和为Sn48,前2n项之和S2n60，求S3n12二。等比数列的前n项和。a1(1qn)a1anq1)Sna1a2Lan1q(q1qna1(q1)1．等比数列{an}中，a6a4216，a3a18，Sn40，求q和n。2．等比数列{an}中，a34,S312，求a1和q。3．等比数列{an}中，Sn49，S2n112，则S3n=。4．等比数列{an}中，a11,an512,Sn341,求q。5．求数列1,3,9,27,L,3n1,L的前n项和。6．求1,a21,(a21)2,L,(a21)n1,L的前n项和242n7．求2,22,L,2n,L，求前2k项的和。yyy8．求1,a,a2,L,an1,L的前n项和。139．等比数列{an},前n项和为48,前2n项和为60,前3n项的和为()A:183B:108C:75D:6310．{an}成等差数列，a1,a5,a13成等比数列，则该等比数列的公比为（）A：1B：2C：1D：124311．{an}成等差数列，{bn}成等比数列，q1,bi0(i1,2,,n)，若a1b1，a11b11，则（）A：a6b6B：a6b6C：a6b6D：a6b6或a6b612．x,a1,a2,y成等差数列，x,b1,b2,y成等比数列，则(a1a2)2的取值范围是b1b2（）A：[4,)B：（0，4）C：(,0][4,)D：(,0)[4,)13．一个项数是偶数的等比数列，它的偶数项的和是奇数项和的2倍，又它的首项为1，且中间两项的和为24，则此等比数列的项数为（）A．12B．10C．8D．6第四节数列的综合应用一、数列乞降14（一）．公式法1．求1，4，7，10，⋯，（3n-2）,⋯的前n和。2．求数列22,24,L,22n,L，求前2k的和.yy2yn3．求S1aa2Lan（二）．分乞降1．乞降（1+2）+（3+4）+⋯+（2n-1+2n）2．(x-2)+(x2-2)+⋯+（xn-2）3.(a1)(a22)L(ann)154.乞降(x121n1y)(xy2)L(xyn)5.122334Ln(n1)6.1325Ln(2n1)（三）．裂项乞降1.乞降Sn1111223Ln(n1)2.11L(2n113351)(2n1)3..数列{an}成等比数列,各项都为正数，且q≠1,求证11L1n1lga1lga2lgan1lganlga1lganlga2lga34.1111)2334n(n5.11(2n135571)(2n3)6．11(3n114472)(3n1)167.1141512)1323n(n8.111613)14253n(n9．求1111212312n1（四）．位相减、其余1．135L2n1222232n2.12222323n2n3.352n12222n4．乞降x3x25x3L(2n1)xn5．1+2×3+3×7+⋯+n(2n-1)176.已知数列{an+1}是等比数列，a11，q2，求a12a23a3nan放及其余1．12223242L992100222＋132＋142＋12．数列，，，⋯⋯的前10和（）。22－132－142－1（A）17（B）1111（C）1143（D）118955121321321113.乞降Sn223L11nn1114.求S11532n12n135.求f(x）4x2，求f(1)f(2)f(1998):4x19991999199911L126.求：132n2227.1n(n1)1223Ln(n1)(n1)222181118．2(n11)132n2n二、用已知数列的前n项和求数列的通项公式（前文已有）三、用递推公式求通项1．已知数列{an}，知足，a1=2,an+1=an+2,求{an}的通项公式。2。已知数列{an}，知足，a1=2,an+1=an+2n,求{an}的通项公式。3。已知数列{an}，知足，a1=2,an+1=an+2n,求{an}的通项公式。．已知数列n，知足，1n+1n+1，求{an的通项公式。4{a}a=2,a=an(n}1)点击：凡是拥有an+1=an+f(n)形式都可运用此法，此中f(n)表示可乞降的数列。5．已知数列{an}，知足，a1=2,an=3an-1,（n≥2）求{an}的通项公式。6．已知数列{an}，知足，a1=1,an1nan求{an}的通项公式。n1．已知数列n}知足，a1,2n1anan1(nN,n2)，求{an的通项公式。7{a}19规律：。8．已知数列{an}，知足，a1=2,an+1=2an+1,求{an}的通项公式。9．已知数列{an}，知足，a1=1,an+1=3an+1,求{an}的通项公式。点击：an1kanb型通项公式可用此法。10*．a15,an12ann5，求{an}的通项公式。11*.已知数列{an}a11,an12an2n，求{an}的通项公式。*已知数列n}a11,an13an2n，求{an}的通项公式。12.{a13*.a15,an12ann5，求{an}的通项公式。点击：a15,an1kanf(n)型通项公式可用此法。递推公式的变形1．已知数列{an}，知足，a1=1,an12an1anan0，求{an}的通项公式。2．已知数列n}，知足，1an15an求{an}的通项公式。2{aa=1,5an203．项为1的正项数列，(n1)an21nan2an1an0，求数列的通项公式。四．Sn与an的互相转变1．已知数列{an}知足，a11,an2SnSn1,(n2)，（1）问数列{1}能否为等2Sn差数列。（2）求Sn和an.2．已知数列{an}知足，Sn2ann，求数列{an}的通项公式。3．已知数列{an}，知足log2(1Sn)n1，求通项an.4．已知数列{an}知足，S14，当n2时，an1(SnSn1),求Sn和an.25．正数数列{an}，2Snan1，求数列{an}的通项公式。216．（05，山东）已知数列{an}，a15，前n项和为Sn，且Sn12Snn5(nN*)，（1）求数列{an}的通项公式。（2）求a12a23a3nan几个必然娴熟掌握的综合题目1.已知数列{an}是等差数列，前n项和为Sn且a1a2a33；a7a98求数列{an}的通项公式.（2）设数列{bn}知足，bn1，求数列{bn}的前n和SnTn.2.（05济南2模）已知数列{an}的前n项和Sn是n的二次函数，且a12,a22,a36an.求Sn和na.3.已知数列{an}知足，a12a23a3nann(n1)(n2)，求数列{an}的通项公式。224.数列数列{an}，知足a11，当n2时，a1a2a3ann2，求数列{an}的通项公式。5.设函数f(x)x，数列{an}中，a11，n2时，前n项和Sn知足Snf(Sn1)2x1（1）求数列{an}的通项公式；（）设bSn，求{bn的前n项和T。2n16.已知点列Pn(an,bn)(nN)在直线L:y2x1上，且P1为L与y轴的交点，数列an是公