20202021全国中考数学一元二次方程组综合中考真题汇总附解析

2020-2021全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题汇总附答案解析2020-2021全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题汇总附答案解析1/212020-2021全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题汇总附答案解析2020-2021全国中考数学一元二次方程组的综合中考真题汇总附答案解析一、一元二次方程1．随着经济收入的不断提高以及汽车业的快速发展，家用汽车已越来越多地进入一般家庭，汽车花销成为新亮点．抽样检查显示，截止2008年终全市汽车拥有量为万辆．已知2006年终全市汽车拥有量为10万辆．（1）求2006年终至2008年终我市汽车拥有量的年平均增添率；（2）为保护城市环境，要求我市到2010年终汽车拥有量不高出万辆，据估计从2008年终起，此后每年报废的汽车数量是上年终汽车拥有量的10%，那么每年新增汽车数量最多不高出多少辆？（假设每年新增汽车数量相同）【答案】详见解析【解析】试题解析：（1）主要观察增添率问题，一般用增添后的量增添前的量增添率）解决问题；（2）参照增添率问题的一般规律，表示出2010年的汽车拥有量，尔后依照要点语列出不等式来判断正确的解．试题解析：（1）设年平均增添率为x，依照题意得：10（）2，解得﹣（不合题意舍去），答：年平均增添率为；（2）设每年新增汽车数量最多不高出y万辆，依照题意得：2009年终汽车数量为×90%+y2010年终汽车数量为（×90%+×90%+y∴（×90%+y×90%+y≤，∴y答：每年新增汽车数量最多不高出2万辆．考点：一元二次方程—增添率的问题2．如图，抛物线y=ax2+bx+c与x轴交于点A和点（1，），与y轴交于点（，3），其对称轴l为﹣1．（1）求抛物线的解析式并写出其极点坐标；（2）若动点P在第二象限内的抛物线上，动点N在对称轴l上．①当PA⊥，且PA=NA时，求此时点P的坐标；②当四边形PABC的面积最大时，求四边形面积的最大值及此时点P的坐标．【答案】（1）﹣（），极点坐标为（﹣，4）；（2）①点（﹣2﹣1，2）；②P（﹣32，154）【解析】试题解析：（1）将、C的坐标代入已知的抛物线的解析式，由对称轴为x1即可获取抛物线的解析式；（2）①第一求得抛物线与x轴的交点坐标，尔后依照已知条件获取PD=OA，从而获取方程求得x的值即可求得点P的坐标；②四边形ABCP=SOBCAPD梯形PDOC，表示出来获取二次函数，求得最值即可．试题解析：（1）∵抛物线2yaxbxc与x轴交于点A和点（1，0），与y轴交于abc0a1{c3点（0，3），其对称轴l为x1，∴，解得：，∴二次函数的{b2b1c32a解析式为223yxx=2(x1)4，∴极点坐标为（﹣1，4）；（2）令2230yxx，解得x3或x1，∴点A（﹣，），B（1，），作PD⊥x轴于点D，∵点P在223yxx上，∴设点（x，223xx），①∵PA⊥NA，且PA=NA，∴△PAD≌△，∴OA=PD，即2232yxx，解得x=21（舍去）或x=21，∴点（21，2）；②设，y)，则yx22x3，∵SABCP=SOBCAPDSPDOC四边形梯形=1212OB?OC+12AD?PD+111(PD+OC)?OD=31+(3x)y(y3)(x)=222333

xy222=3332x(x2x3)=222392xx6=2233752(x)，228∴当x=32时，四边形ABCP最大值=758，当x=32时，223yxx=154，此时P（32，154）．考点：．二次函数综合题；．二次函数的最值；．最值问题；4．压轴题．3．某中心城市有一楼盘，开发商准备以每平方米7000元价格销售，由于国家出台了有关调控房地产的政策，开发商经过两次下调销售价格后，决定以每平方米5670元的价格销售．（1）求平均每次下调的百分率；（2）房产销售经理向开发商建议：先宣告下调，再下调，这样更有吸引力，请问房产销售经理的方案对购房者可否更优惠？为什么？【答案】（1）平均每次下调的百分率为10%．（2）房产销售经理的方案对购房者更优惠．【解析】【解析】（1）依照利用一元二次方程解决增添率问题的要求，设出未知数，尔后列方程求解即可；（2）分别求出两种方式的增添率，尔后比较即可.【详解】（1）设平均每次下调，则7000（﹣x）2，解得：1=10%，=190%（不合题意，舍去）；答：平均每次下调的百分率为10%．（2）（1﹣5%1﹣）=95%×85%=80.75%，（﹣x）=（1﹣）．∵80.75%＜81%，∴房产销售经理的方案对购房者更优惠．4．已知、2是关于x的﹣元二次方程（﹣6）x2+2ax+a=0的两个实数根．（1）求a的取值范围；（2）若（1+1）（2）是负整数，求实数a的整数值．【答案】（1）≠;2）a的值为、8、9或12．【解析】【解析】（1）依照一元二次方程的定义及一元二次方程的解与鉴识式之间的关系解答即可；（2）依照根与系数的关系可得x2﹣2aa6a，12=，由（x）（x）x2+1=a666﹣是正整数．依照a是整数，即可求得a的值2．是是负整数，即可得a6a6【详解】（1）∵原方程有两实数根，∴，∴2（2）∵x、x2是关于x的一元二次方程（﹣）x

+2ax+a=0的两个实数根，∴x2﹣，xx=，∴（+1）（2）1+x+1=﹣﹣．∵（+1）（2）是负整数，∴﹣是负整数，即是正整数．∵a是整数，∴a﹣6的值为、、3或，∴a的值为7、、9或12．【点睛】此题观察了根的鉴识式和根与系数的关系，能依照根的鉴识式和根与系数的关系得出关于a的不等式是解此题的要点．5．已知关于x的一元二次方程（﹣）（x﹣4）﹣m．（1）求证：对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）若方程的一个根是，求m的值及方程的另一个根．【答案】（1）证明见解析；（）m的值为±2，方程的另一个根是5．【解析】【解析】-4ac证明判断即可；（1）先把方程化为一般式，利用根的鉴识式△=b（2）依照方程的根，利用代入法即可求解m的值，尔后还原方程求出另一个解即可.【详解】（1）证明：，∵（﹣3）（x﹣）﹣m22∴x﹣7x+12﹣m

，∴△（﹣7）2∵m2﹣（12﹣m2）=1+4m2，∴△＞，∴对任意实数m，方程总有2个不相等的实数根；（2）解：∵方程的一个根是2，2=0，解得m=±，

∴4﹣14+12﹣m2∴原方程为x﹣7x+10=0，解得x=2或x=5，即m的值为±，方程的另一个根是5．【点睛】此题主要观察了一元二次方程根的鉴识式，熟练掌握一元二次方程的根的鉴识式与根的关系是要点.2＞0时，方程有两个不相等的实数根；

当△=b2-4ac=0时，方程有两个相等的实数根；

当△=b2＜0时，方程没有实数根.

当△=b2﹣x+a﹣1=0．6．已知关于x的一元二次方程x（1）当a=﹣11时，解这个方程；（2）若这个方程有两个实数根x1，x，求a的取值范围；（3）若方程两个实数根1，2满足[2+x（﹣x）][2+x（1﹣2），求a的值．【答案】（1）13,x24（2）5≤（3）-44【解析】解析：（）依照一元二次方程的解法即可求出答案；（）依照鉴识式即可求出a的范围；（）依照根与系数的关系即可求出答案．详解：（）把a=﹣11代入方程，得x2﹣x﹣12=0，（x+3）（x﹣），或x﹣，∴x=﹣3，2=4；（）∵方程有两个实数根，2，∴△1）﹣×a﹣）5

：a；

4（）∵，2是方程的两个实数根，222211a1，2x2a1，11a，2x2a1．∵1（1﹣1）][2+x2（﹣x）]=9，∴222xx2xx9，把11222211a，2x2a1代入，得：[2+a﹣1][2+a﹣1]=9，即（），解得：a=﹣，a=2（舍去），所以a的值为﹣．点睛：此题观察了一元二次方程，解题的要点是熟练运用鉴识式以及根与系数的关系．7．图1是李晨在一次课外活动中所做的问题研究：他用硬纸片做了两个三角形，分别为△ABC和△DEF，其中∠B=90A=45BC=，∠F=90EDF=30EF=2．将△DEF的斜边DE与△ABC的斜边AC重合在一起，并将△DEF沿AC方向搬动．在搬动过程中，、E两点向来在AC边上搬动开始时点D与点A重合)．（1）请回答李晨的问题：若CD=10，则AD=；（2）如图，李晨同学连接FC，编制了以下问题，请你回答：①∠FCD的最大度数为；②当FC∥AB时，AD=；③当以线段AD、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边时，AD=;④△FCD的面积s的取值范围是.【答案】（1）；（）①60；③；④.【解析】试题解析：（1）依照等腰直角三角形的性质，求出AC的长，即可获取AD的长.（2）①当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，据此求解即可.②过点F作FH⊥AC于点H，应用等腰直角三角形的判断和性质，含30度角直角三角形的性质求解即可.③过点F作FH⊥AC于点H，AD=x，应用含30度角直角三角形的性质把FC用x来表示，依照勾股定理列式求解.④设AD=x，把△FCD的面积s表示为x的函数，依照x的取值范围来确定s的取值范围.试题解析：（1）∵∠B=90A=45BC=，∴AC=12.∵CD=10，∴AD=2.（2）①∵∠F=90EDF=30DEF=60.∵当点E与点C重合时，∠FCD的角度最大，∴∠FCD的最大度数=∠DEF="60."②如图，过点F作⊥AC于点，∵∠EDF=30EF=2，∴DF=.∴，FH=.∵FC∥AB，∠A=45FCH="45."∴HC=.∴DC=DH+HC=.∵AC=12，∴AD=.③如图，过点F作FH⊥AC于点，设，由②知，FH=，则HC=.在Rt△CFH中，依照勾股定理，得.∵以线段、FC、BC的长度为三边长的三角形是直角三角形，且FC为斜边，∴，即，解得.④设AD=x，易知，即.而，当时，；当时，.∴△FCD的面积s的取值范围是.考点：1.面动平移问题；2.等腰直角三角形的判断和性质；平行的性质；4.含30度角直角三角形的性质；勾股定理；6.由实责问题列函数关系式；求函数值.8．如图，在RtABC中，∠B90，AC，BC6cm，现有两点P、Q的分别从点A和点B同时出发，沿边AB，BC向终点C搬动．已知点P，Q的速度分别为2cm/s，/s，且当其中一点到达终点时，另一点也随之停止搬动，设P，Q两点移动时间为xs．问可否存在这样的x，使得四边形APQC的面积等于2？若存在，请求出此时x的值；若不存在，请说明原由．【答案】假设不成立，四边形APQC面积的面积不能够等于16cm2，原由见解析【解析】【解析】依照题意，列出BQ、PB的表达式，再列出方程，判断根的情况.【详解】解：∵B90，AC10，BC6，∴AB8．∴BQx，PB82x；假设存在x的值，使得四边形APQC的面积等于16cm2，则1168x82x16，22整理得：x24x80，∵1632160，∴假设不成立，四边形APQC面积的面积不能够等于16cm2．【点睛】此题观察了一元二次方程的应用，熟练掌握方程根的鉴识方法、理解方程的意义是此题的解题要点.2﹣2x+m﹣2＝0有两个不相等的实数根．

9．已知关于x的方程x(1)求m的取值范围；(2)若是m为正整数，且该方程的根都是整数，求m的值．【答案】＜3；(2)m＝2．【解析】【解析】（1）依照题意得出△＞0，代入求出即可；（2）求出m=1或，代入后求出方程的解，即可得出答案．【详解】（1）∵方程有两个不相等的实数根．∴△＝﹣4(m﹣＞．∴m＜；（2）∵m＜3且m为正整数，∴m＝1或．当m＝1时，原方程为x2﹣2x﹣1＝．它的根不是整数，不吻合题意，舍去；2当m＝2时，原方程为x﹣2x＝0．∴x(x﹣＝0．∴x＝0，x＝2．吻合题意．综上所述，m＝2．【点睛】此题观察了根的鉴识式和解一元二次方程，能依照题意求出m的值和m的范围是解此题的要点．10．工人师傅用一块长为10dm，宽为6dm的矩形铁皮制作一个无盖的长方体容器，需要将四角各裁掉一个正方形．（厚度不计）求长方体底面面积为12dm2时，裁掉的正方形边长多大？【答案】裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.【解析】试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm，则制作无盖的长方体容器的长为（10-2x）dm，宽为（6-2x）dm，依照长方体底面面积为12dm2列出方程，解方程即可求得裁掉的正方形边长.试题解析：设裁掉的正方形的边长为xdm，由题意可得(10-2x)(6-2x)=12，2-8x+12=0，解得x=2或x=6(舍去)，

即x答：裁掉的正方形的边长为2dm，底面积为12dm2.11．关于x的一元二次方程(k-2)x2-4有两个不相等的实数根．(1)求k的取值范围；22(2)若是k是吻合条件的最大整数，且一元二次方程x-4x+k=0与x+mx-1=0有一个相同的根，求此时m的值．【答案】（1）＜4且≠.）m=0或m=83.【解析】解析：（1）由题意，依照一元二次方程的定义和一元二次方程根的鉴识式列出关于k的不等式组，解不等式组即可求得对应的k的取值范围；（2）由（1）获取吻合条件的k的值，代入原方程，解方程求得x的值，尔后把所得x的2即可求得对应的m的值.

值分别代入方程x详解：(1)∵一元二次方程(k-2)x2-4x+2=0有两个不相等的实数根，∴△=16-8(k-2)=32-8k＞0且≠0.解得：＜4且k≠2.(2)由可知，吻合条件的：k=3，2将k=3代入原方程得：方程x

-4x+3=0，解此方程得：x，x=3.2，有1+m-1=0，解得m=0.

把x=1时，代入方程x2，有9+3m-1=0，解得m=把x=3时，代入方程x83.∴m=0或m=83.点睛：（）知道20)axbxca中，当△=240bac时，方程有两个不相等的实数根；当△=b24ac0时，方程有两个相等的实数根；△=240bac时，方程没有实数根1小题的要点；（2）解第2小题时，需注意相同的根存在两种情况，解题时不要忽略了其中任何一种情况.12．解方程：（x）2（2+x）＝．【答案】1＝﹣2，2＝1【解析】【解析】2＝，将原方程变形整理为y﹣6＝0，求得y的值，尔后再解一元二次方程即可．

设x【详解】＝y，则原方程变形为y﹣6＝0，

解：设x解得1＝﹣3，2＝．①当y＝2时，x+x＝2，即x﹣2＝0，解得1＝﹣2，2＝；②当y＝﹣3时，x2+x＝﹣，即2＝，2∵△＝1﹣×﹣12＝﹣11＜0，∴此方程无解；∴原方程的解为1＝﹣2，＝．【点睛】此题观察了换元法和一元二次方程的解法，设出元化简原方程是解答此题的要点.13．阅读下面内容：我们已经学习了《二次根式》和《乘法公式》，聪颖的你能够发现：当＞0，b＞0时：2∵（ab）﹣2ab≥0∴a+b≥2ab，当且仅当时取等号．请利用上述结论解决以下问题：（1）请直接写出答案：当＞0时，1x的最小值为．当x＜0时，x+1x的最大值为；（2）若2710xxx1，（＞﹣1），求y的最小值；（3）如图，四边形ABCD的对角线AC、BD订交于点O，△AOB、△COD的面积分别为4和，求四边形ABCD面积的最小值．【答案】（1）；﹣．（）y的最小值为9；（3）四边形ABCD面积的最小值为25．【解析】【解析】（1）当＞0时，依照公式≥2ab（当且仅当时取等号）来计算即可；当x＜0时，﹣＞0，1x＞0，则也能够按公式a+b≥2ab（当且仅当时取等号）来计算；（2）将y2710xxx1的分子变形，分别除以分母，张开，将含x的项用题中所给公式求得最小值，再加上常数即可；（3）设△BOC，已知△AOB，△COD，由三角形面积公式可知：△BOC：△COD△AOB：△AOD，用含x的式子表示出△AOD，再表示出四边形的面积，依照题中所给公式求得最小值，加上常数即可．【详解】（1）当＞0时，x1x2x1x2；当＜0时，﹣＞0，1x＞0．∵﹣x1x2x1x2，∴则x1x（﹣x1x2，∴当＞0时，x1x的最小值为．当x＜0时，x1x的最大值为﹣．故答案为：2，﹣2．（2）∵x＞﹣1，∴x+1＞，∴y2710xxx12(x1)5x14x1=（x+1）445≥2x15=4+5=9，∴y的最小值为．x1x1（3）设△BOC，已知△AOB，△COD=9则由等高三角形可知：△BOC：△COD=S△AOB：△AOD，∴x：9=4：△AOD，∴△AOD36x，∴四边形ABCD面积=4+9+x36x13+2x36x25．当且仅当时，取等号，∴四边形ABCD面积的最小值为25．【点睛】此题观察了配方法在最值问题中的应用．对不能够直接应用公式的，需要正确变形才能够应用．14．已知关于x的方程2k1x2k3xk10有两个不相等的实数根1，x2．1求k的取值范围．2可否存在实数k，使方程的两实数根互为相反数？【答案】(1)13k且k1；(2)k不存在,原由见解析12【解析】【解析】2+（﹣3）有两个不相等的实数根1，2．得出其鉴识

（1）由于方程（﹣）x式△＞，可解得k的取值范围；（2）假设存在两根的值互为相反数，依照根与系数的关系，列出对应的不等式即可求出k的值．【详解】2（1）方程（﹣1）x（2k﹣）有两个不相等的实数根1，2，可得：k﹣△=﹣12k+13＞，解得：＜1312且（2）假设存在两根的值互为相反数，设为1，2．∵x2，∴﹣3k1，∴32．又∵＜1312且kk不存在．【点睛】2=0的两根此题主要观察了根与系数的关系，属于基础题，要点掌握1，x2是方程x时，+x﹣，xx．15．阅读资料：各样方程的解法求解一元一次方程，依照等式的基本性质，把方程转变成x=a的形式。求解二元一次方程组，把它转变成一元一次方程来解：求解一元二次方程，把它转变成两个一元一次方程来解。求解分式方程，把它转变成整式方程来解。各样方程的解法不尽相同，但