近世代数论文

几个重要的群的结构分析「摘要」三个极其重要的群。本文讨论了这三个群的相关性质，分析了这三个群之的关系，并讨论了七，A4等Sn,An中典型的群，得到了一些好的结论。关键词：对称群性质关系定义1非空集合X到自身X的映射称为X的变换，X到X的双射称为X的对称。当X为有限集时，X的对称有称为X的置换，X的所有对称做成的集合关于映射的合成成群，它称为X的对称群，记为SymX，习惯上吧SymX记为S，显然ISl=n!。定义2S.中所有偶置换所作出的集合，称为A”(n次交错群)。A”为S.的子群。定义3K=((1)，(12)(34)，(13)(24)，(14)(23)｝称为Klein4四元群。性质1 Sn(nN3)为非交换群。证 nN3时，(12)，(13)eS，但(12)(13)=(132)#(13)(12)=(123)则S.(nN2)为非交换群。性质2S广＜(12)，(13)，…，(1n)＞，且S.中阶大于三的元素总是成对出现。证S二(123…十)，而任一置换都能写成对换之积，且iN1,jN1时，(ij)=(1i)(1j)(1i)，贝US=＜(12)，(13)，…，(1n)＞。引理1有限群G之子群H在G中之指数等于IGI的最小素因子，则H为G的正规子群。性质3 nN2时，:S:A]=2证任取定(ab)ES,V(ab)A中全为奇置换，二AA(ab)A二6是显然的。设a是Sn的任一奇置换，...(ab)a为偶置换，则(ab)ae气，故ae(ab)A。这就说明S二AU(ab)A是不交并，即S中奇，偶置换各一半，即[S疽A]=2O性质4A^为Sn的正规子群，故S〃均为非单群。证由引理1及性质3,即得A^为Sn的正规子群。性质5nN3时，S的中心只含单位元。证 每一个n次对称群Sn都与一个只含0与1的矩阵群Mn同构，而Mn的中心只含单位元，从而当nN3时Sn的中心只含单位元。性质6A=<(123),(124),•••,(12n)>证当i^j时，(1j)(1i)=(1ij),并且当i,j都不为2时又有(1ij)=(12j)(12j)(12i)(12j)，而(1i2)=(12i)(12i)，这就说A=<(123,(124),•••(12n)>。性质7A^(n#4)为单群。性质8klein四元群K为交换群。证K的结构为｛eabc｝，则ab=c,ac=b,bc=a,则K为交换群。性质9K是的A4一个可交换子群.证明：令e=(1)，a=(12)(34)，b=(13)(24)，c=(14)(23)则a2=b2=c2=e，即((12)(34))2=((13)(24))2=((14)(23))2=(1),且ab=(12)(34)(13)(24)=(14)(23),ac=(12)(34)(14)(23)=(13)(24),bc=(13)(24)(14)(23)=(12)(34)可列出乘法表如下：eabceeabcaaecbbbceaccbac性质10klein四元群K为的A’正规子群，亦为的七的正规子群。证K对A’的指数[A4：K]=2,所以K是A’的正规子群。因为K是A.的一个可交换子群，所以K是Sn的子群.任取。e。二(ij)(st)则显然onQ-1=(0⑴。(j))(o(s)o(t))eK，所以K是的S正规子群。性质11七为为非交换群，且其结构只有:14,20,30,40],[12,22,30,40],[10, 22,30, 40 ], [11, 20 , 31, 40 ], [10, 20, 3。，41]。性质12 4次对称群S4存在且只存在30个子群；其中，除去两个平凡的子群之外，共有9个2阶循环群；4个3阶循环群；3个4阶循环群，4个Klein四元群；4个S3(在同构意义之下)，3个8阶子群以及12阶子群A4。2阶子群：H1=((1),(12)),H2=((1),(13)),H3={(1),(14)),H4=((1),(23)},H5=((1),(24)},H6=((1),(34)},H7=((1),(12)(34)}H8=((1),(13)(24)},H9=((1),(14)(23)}。3阶子群：H10=((1),(123),(132)},H11=((1),(124),(142)}；H12=((1),(134),(143)},H13=((1),(234),(243)}。4阶子群：H14=((1),(1234),(1234)2=(13)(24),(1234)3=(1234)-1=(1432)},H15=((1),(1243)2=(14)(23),(1243)3=(1243)-1=(1342)},H16=((1),(1324)2=(12)(34),(1324)3=(1324)-1=(1423)),H17={(1),(12),(34),(12)(34)),H18={(1),(13),(24),(13)(24)),H19={(1),(14),(23),(14)(23)),H20={(1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}=K。6阶子群：H21={(1),(12),(13),(23),(123),(132)},H22={(1),(12),(14),(24),(124),(142)},H23={(1),(13),(14),(34),(134),(143)},H24={(1),(23),(24),(34),(234),(243)}。8阶子群：H25={(1),(13),(24),(1234),(1432),(12)(34),(13)(24),(14)(23)},H26={(1),(14),(23),(1243),(1342),(12)(34),(13)(24),(14)(23)},H27={(1),(12),(34),(1324),(1423),(12)(34),(13)(24)(14)(23)}。12阶子群：A4={(1),(123),(124),(134),(132),(142)(143)(234),(243),(12)(34),(13)(24),(14)(23)}性质13 对称群七的正规子群只有{(1)},七，A4,K。证明：1.交错群A’的指数(G：H)=2,所以A’是七的正规子群。2.由性质9,K是七的正规子群。3。设H是七，A’单位群和K以外的的正规子群，则有：i)H至少含有一个奇置换，若(23)eH,有(12)(23)(12)-1=(13)eH,(13)(23)(13)-1=(12)EH,(1234)(13)(1234)-1=(14)EH,即H={(12),(13),(14)}(矛盾)。同样可证H不含(12),(13),(14),(24),(34)，如果(1234)eH，则(12)(1234)(12)=(1324)eH,(13)(1234)(13)=(1432)eH,(14)(1234)(14)=(1423)eH,(23)(1234)(23)=(1324)eH,(34)(1234)(34)=(1243)eH，但是(1324)(1234)(1234)=(12)EH与(12)不属于H矛盾。ii)H至少含有下列的偶置换：(123),(132),(124),(142),(234),(243),(142),(143),但是，若(123)EH贝0(34)(1234)(34)-1=(12)EH故H=((123),(124)}=A/若(234)EH,^U(132)(234(132)-1=(124)EH,(14)(234)(14)-1=(123)EH,如此可知A4EH,而由Lagrage定理，A^与S4之间无非平凡子群(矛盾)。因此可得S4只有入4和K为非平凡的正规子群。性质14对称群S关于K的商群S/K与S构.4 4 3证(12)K=((12),(34),(1423),(132)},(13)K=((13),(1432),(24),(1234)),(23)K=((23),(1234),(1342),(14)},(123)K=((123),(234),(142),(132)},(132)K=((132),(143),(234),(124)}(1)K=((1),(12)(34),(13)(24),(14)(23)},易知S4=A4U(12)A<又A「KU(123)KU(132)K,(12)(123)=(23),(12)(132)=(13),则有S4=A4