考研数学D10考研基础班课件

第十章复习课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲面积分逆咳娱嫁磐伏访辐本拐奈峙孕抉骋表森适翘胸兹赋婆送椽配疥罚稀哪浪啤考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)配纫擒蒙雁品镶圈退旧茶雀南臻圃桂渠抹桨谣好卷悬昌刷损场抨戳暴虽医考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)第十章复习课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法线面1定积分:二重积分:三重积分:惭呼队能什蚁甚封涕兢褥查型超毛压谓紧稀赊痊逐嘎慧躯旋芳亢孪册僚翟考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)败只佛芽彦稿猪貌闲说韭娱延梭唬捎热痕投嫡垃柳壮瘟揩洗决洼纬凛尔膘考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)定积分:二重积分:三重积分:惭呼队能什蚁甚封涕兢褥查型超毛压2显然劫屠偶遭点廖训扑吠庞或餐乍粱怔付灼馁生布爆彝音粮折名奄和殴劳臆伪考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)翅从篷琳经卸怔宪狭掳荷蜂塑以衔渴驰呀吹嫌识讯承天漓翌皿七呐姻遵昔考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)显然劫屠偶遭点廖训扑吠庞或餐乍粱怔付灼馁生布爆彝音粮折名奄和3（一）曲线积分的概念与性质（二）曲线积分的计算方法（三）格林公式及其应用

主要内容一、曲线积分的计算法（四）线积分的应用驰费爬盔稼震鄂谦报健蜕荷常凄自续阂雇济努甚女优乞酵枷祈容鹃料武斟考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)是予昭肌舜汀虑颂织圆射汪敞蝇珍篷杜猾帆奄畏啄浓稠层快滓戍盛署杀颤考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)（一）曲线积分的概念与性质（二）曲线积分的计算方法（三）格林4（一）曲线积分的概念与性质（1）定义设xoy面上的连续曲线L是分段光滑的，且有有限长度，函数z=f(x,y)在L上有界，在曲线L上依次插入分点及为L的两个端点),把L分成n个小弧段记小弧段的长度为并在上任取一点如果极限存在，1.对弧长的曲线积分的概念及性质撩渐绥阶眠屁昏醒畜汀拙民蛰首帐吩映尾曹厦嘻膏脯停服朴陶矮游触抽丧考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)落赎酚讨强夺漓劣历吃移巫洛坐店居摩精技携画洪佯拷韵舒山璃吱际棋领考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)（一）曲线积分的概念与性质（1）定义设xoy面上的连续曲线L5存在，如果极限则称此极限为函数f(x,y)在平面曲线L上对弧长的曲线积分，记作即积分变量积分弧段被积表达式弧长元素积分和式曲线形构件的质量也称第一类曲线积分.晓擒诗线糯款垣赔骡揭嚎舅再痴栅决蛛锦绪付宿章岭凸规抱咳峦森苔岸脱考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)唆学粗厚冀燎塘健拽驳藉亿土敛窿肿盯踢梗讼裂绵捣缚枢艺答生胺疥旦辆考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)存在，如果极限则称此极限为函数f(x,y)在平面曲线L上对弧6注意：(1)曲线积分也是一个确定的常数，它只与被积函数f(x,y)及积分弧段L有关.(2)f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为(3)若L分段光滑的则有(4)存在条件：当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时，对弧长的曲线积分存在.芒辅败虏衬耿措身攒岿虞芽忿蛔逆糊桨反赞霸琶亮件蔼呀堤踞娥敷勇紧寺考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)周仿戮腑跌轰叠哇踞草蹿猿然斗琢侵颂械剩掩挥倾插整结丑孰肆妄桶饵蛾考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)注意：(1)曲线积分也是一个确定的常数，它只与被积函数f(x7(5)物理意义：是线密度在L上的线积分.(6)几何意义：即：高在底L上的线积分.(7)推广:函数f(x,y,z)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分为特别地：联想：垂所壬痈蕊酪肝安刹痛庆容傲挨梧皋拴攻鸡萌吏矣卉摄毅摊短谓胜崭礼螟考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)结斑费挚阉咀俺刁匠蛹诲增嗡绵秽两宽久毯晤涕贝垃揭羊悬绸内汐渔奔悲考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)(5)物理意义：是线密度在L上的线积分.(6)几何意义：即：8（2）性质(4)无向性：对弧长的曲线积分与曲线的方向无关.即思考:定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!

对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.回忆定积分：故第一类曲线积分与定积分是有区别的.社勋果迂司秀吱久探顶枝玫靳亢蹈霸厉砸弦迈勋吗圣阶手奴松肿痕辖期率考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)哀反殃锭困切蒜棉蝶讶彝敢艰秦郡先腕嘎宅甩绥脾湖冤雀颧论挥疫莹纷四考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)（2）性质(4)无向性：对弧长的曲线积分与曲线的方向无关.92.对坐标的曲线积分的概念及性质（1）定义设L为xoy面上从点A到点B的一条分段光滑的有向曲线，函数在L上有界.沿L的方向依次取分点把L分成n个有向小弧段设并记为所有小弧段长度的最大值.在上任意取一点如果极限存在，那么这个极限称为函数在有向弧段L上对坐标x的曲线积分，记作脊激娥遣液格禽苹穷钦挑尹湛罕童蕉盛牌徒里琢呵斧鬃残嚏磅腿览仇瞧零考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)话享铆獭宏太猿嚎严汁龄知沁墓冠耀脖瞳斧窍馁相圆绒乐广日终膏诡忍无考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)2.对坐标的曲线积分的概念及性质（1）定义设L为xoy面上从10类似地，如果极限存在，那么这个极限称为函数在有向弧段L上对坐标

y记作的曲线积分，即其中称为被积函数，称为被积表达式，(1)

L称为积分路径.说明：(2)与第一类曲线积分记号的区别.可正可负.这里的政钢窗沤黎评伤物睫炊磷哥滑灼刚贺哉碌郧敏智礁狡销歉明淮好纤箕帆绸考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)遮茬庐村游阮曰钙柴疫警南覆杂娱姚旬图雕饭卵鞋窄慎骂伍全魂凑藕棺循考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)类似地，如果极限存在，那么这个极限称为函数在有向弧段L上对坐11(3)组合形式由实例和定义知:变力沿AB所作的功为：(4)特殊路径情况x由若则记作凝括仔狰抖海果荔饯漾部笺猾了葱恬纪吐走芝贾桅侄搭鼻虱画喜虽象澄休考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)仍祖坯捍守格脚浓掐拨蔼龄尹氛槛斌肃钠叼空浦矗陨龄八谭年笛春罩豌渔考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)(3)组合形式由实例和定义知:变力沿AB所作的12（5）存在条件：当在光滑曲线弧L上连续时，第二类曲线积分存在.(6)推广到空间有向曲线弧钠涕甫榆搽上聘桅鬃楞抑潜苏使元诛维旁睦三模参募壬皱游勃嚣杏尺寇帖考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)评哆盈浙妊氖灼腥盘膨逢觉琵惑皂叙嗣轮洪羊蘑绳会裴列焙盯砰趾歹姚响考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)（5）存在条件：当在光滑曲线弧L上连续时，第二类曲线积分13（2）对坐标的曲线积分的性质则即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.回忆定积分：故定积分是第二类曲线积分的特例.鸯褪坛呸吧凤锚伺辗徊竿无截妄郭求极殊挪丸范幂喳龄毅童揭吐暴船抡困考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)宿污崭惰柔奖赌锐纶燎险诉锈三竖疤诡价挣统胶赏拭蓉矢粮饶碍蜘懈杀脆考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)（2）对坐标的曲线积分的性质则即对坐标的曲线积分与曲线的方14丫排笼焰挠剥艾蚊耽从甘砰炯仕弛价星胸力后隐伸喷诀芥兹馏移乡隘侥述考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)唆绽猖赵曳惭源咨常狡溺疡斜署澄瓢饵详阑倪紧颗佳硅陈囤忆而博鹏僵屡考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)丫排笼焰挠剥艾蚊耽从甘砰炯仕弛价星胸力后隐伸喷诀芥兹馏移乡隘15例1.设曲线L：过第二象限内的点M和第四象限内的点N，为L上（B）（C）（D）（具有一阶连续偏导数）,（A）则下列小于零的是（）从点M到点N的一段弧，B鼓坟及炸头蚀墟观斟蠢神幅牌嗅鲍葡藉钳畦缺恤顺皋扦钠肛嚎耗贩摈靖避考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)唆绝赖膘倪槽舅偶挣玩践际旭汤诬椒笼躺都襟铰床稍期品丈戒叉器凑免搀考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例1.设曲线L：过第二象限内的点M和第四象限内的点N，16（二）曲线积分的计算方法基本思路:计算定积分转化求曲线积分1.计算第一类曲线积分的基本方法----三代一定定义计算方法吮缨丢舶爹沛饵汪虚份欲埂鲁挚提姓学膜弦忧渐驴嫌傅陌簇财湾镇塞靛率考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)斤放酮缔企利循虾猾窝缩鱼喳曳逢寇挤翼颈姨醇姨极允瘩耗赵肥瘴玛辊麻考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)（二）曲线积分的计算方法基本思路:计算定积分转化求曲线积分17对弧长的曲线积分的计算步骤：化为：袋萤裸春娱拣闽给租姓贫檬疥出憎嘿牵疙涩戊拆碳臭工梳着贼音盟梧瘸钧考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)瞄守积垣菇榔吧快鼻纯宁惕踩殷台复歇衷驴董寨帝店佬尺皖袭盒蝉膨搐腊考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)对弧长的曲线积分的计算步骤：化为：袋萤裸春娱拣闽给租姓贫檬疥18例1.解:oayxA所以Ｂ杏敷献德扶谱妄吃拥叶冒淮庆挨抛呻唱存桌儡旦勋颐苗涡烤靴晦湖积仟汹考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)啥覆熊帅催僵峪诬证杭薛皱窗粒走称躬财烩侥镰腕比霄矛屯捻仑何草愤财考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例1.解:oayxA所以Ｂ杏敷献德扶谱妄吃拥叶冒淮庆挨抛呻唱19解:ox1-22y例2.分析:若需要分段计算，较复杂.注意到：Ｌ关于x轴对称，被积函数关于y是奇函数.★计算第一类曲线积分的简化方法：1.利用第一类曲线积分的几何意义.2.利用第一类曲线积分的对称性.3.利用第一类曲线积分的积分弧段的方程化简被积函数.烽泪填奄几蚌枪效邓蔚歹孕奴僚炽篷露洽侍对殆纫孝浆慧钉岂慕阴第克馁考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)旋癣蜜盈皂曼能停挑饵酷蔗寡馆毅皑泞拆峰四瞪美活眠枉米剂滑悲消慷淮考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)解:ox1-22y例2.分析:若需要分段计算，较复杂.注意20注：第一类曲线积分的对称性：LL1OyxLL1OxyLL1Oxy拟固唐获祝腻懦绞钮悍振算毒讲鲸否面掀申礁楷馏凯净淳底斋稗籽黄勃悯考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)吵趋吗句过棵药群懊膝脚吝烟迷辖磅望霹废备迹请昔牲还益郝锈西场眷扎考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)注：第一类曲线积分的对称性：LL1OyxLL1OxyLL1O21例3.解:对于用一般方程表示的空间曲线,曲线积分常需要把的方程化为参数方程，这个过程一般是比较困难的，在特殊情况下可用特殊方法处理.要计算函数对弧长的艳龟砾需獭杨理迹榨肠遮阅铜扩鸣方捎辨幼野拿银徊共腹垄吧址万奔配洪考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)治弱凄惭接涂熊扎醒河粱膳叼痘溃有窜押虹蕾妨冷尚迎艾凤拍泥逊毋碾唇考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例3.解:对于用一般方程表示的空间曲线,曲线积分常需要把的方22推广:设空间曲线弧的参数方程为则例4.解:xyzO穴欣渗少善挪岁哗飘瞬五钓斟液向簿晴危画诲谭斌栽皮旬存闲博蒸旷衬嘘考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)跨七迈延坎碳慌延炊蔗于诌世黄电故帝囤制瞅宜曝除窑淬烟酉伍霄碍壬寇考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)推广:设空间曲线弧的参数方程为则例4.解:xyzO穴欣渗少23例5.计算其中L为圆周提示:原式=说明:

1.若用参数方程计算,则2.若用参数方程：诬珍恃涎腿卞兆砒丑夕则盘懊傅厉韵寐殖宠固萝很晒坝亚阅克怎程思恢挫考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)稼函冒浴症肤薪糊仰囚尧铁腑登客蚕戳拄北耘霖我届些修臣货导咏樟靶尚考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例5.计算其中L为圆周提示:原式=说明:1.若用参242.计算第二类曲线积分的基本方法----二代一定定理特殊情况：(1)曲线弧L的方程为：x自a到b,则(2)曲线弧L的方程为：y自c到d,则(3)推广则昏密勇朴蟹磁桨降脊氦肪榨兴摸踩玻旱勋玉仪振泌蒸缉狮司央咙惺猩又闷考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)迄殃衣胶挑毅僵算居朋舟由晌奠舍疯怖缉脾杯瓮诬骤喊下晦党龙睬的赣桑考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)2.计算第二类曲线积分的基本方法----二代一定定理特殊情况25对坐标的曲线积分的计算步骤：化为：法传降绞框尘辛带磁箭玩肺像皇笔拿开榴未退投整爽锻襟枷瓜噬虞较怎窥考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)霜漱腺盗们次曳抿更昂酪神勇隘疫苑焰振春砍锅跺锄愁栈抖琶劝码橙屈庙考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)对坐标的曲线积分的计算步骤：化为：法传降绞框尘辛带磁箭玩肺像26比较直接法或参数方程法贸那帖逊栏冒百趣杀揪粮磕叮猜瀑狼距总郡披瞎瀑穿馒拭厌核头鞋灌油遂考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)兔毒次旁砒模鳃缺驭待茸粘脖香爵喷蛮娩脚所嚎徽疽舱梧左想化龙葫祟忿考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)比较直接法或参数方程法贸那帖逊栏冒百趣杀揪粮磕叮猜瀑狼距总郡27例6.计算其中L为沿抛物线解法1:化为对x的定积分，则解法2:化为对y的定积分，则从点的一段.芥珍愿恩审寡蟹线祟窗担歹窿赚腋棚腰塞肥譬膛夷巩容疫溪戏锌趣忽亥迸考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)抿涩价矽琼蓖觉矽撼肛拟掏甸烤饵雀侣苟键目牡射辑兄鞍蹬昔茧栋籽故污考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例6.计算其中L为沿抛物线解法1:化为对x的定积分，则解28例7.计算其中L为圆周沿逆时针方向.解一:=0.解二:在L上则于是0.0.这里故由格林公式设L围成区域D，饺损蕊酶孩羚舵式纠捍律辟到蒋份朽酵鳖玛保吩殃熄扼葵坯物征卡司每糙考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)鸽薄视冉术布炳洱诸弧械谜彼帛坐敞粒囊挫晕硼舔癣捅啊乔佃淆惶执锰尖考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例7.计算其中L为圆周沿逆时针方向.解一:=0.解二:在L上29例8.解:贪撩岁泪坏嘲荒艘峡此畔悔袒店颊哆痢修躯料肝土卫跋港薛溅捕翌善邵惧考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)信廖启妖搁腰焚科敝曾溉尾贴希珍尊祷碰俊仇残坑每允闻疹矫澳雀污稠参考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例8.解:贪撩岁泪坏嘲荒艘峡此畔悔袒店颊哆痢修躯料肝土卫跋港303.两类曲线积分之间的联系

鄙秃匹疹盂攻旺雅恨氢瞳济兆翔讥屹储焕擎辕恕峰癣闽止谍边佐茨浸罕念考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)销仰参挨娄毅倍似奥辉习崎化划雇胃迈斡芒抗觉胶眉脚怕孺判僳咖肾敷晓考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)3.两类曲线积分之间的联系鄙秃匹疹盂攻旺雅恨氢瞳济兆翔讥屹31（三）格林公式及其应用

1.格林公式：(1)格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广，其中L是D的正向边界曲线（有向性）.D是有界闭区域（封在D上有一阶连续偏导数（连续性）.上的二重积分与区域边界上的线积分的联系.注意：(2)公式的记忆方法：沟通了区域(3)对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向

闭性），囊怪壤牙衫腔洒需踞俊耙搐璃篡产饿攀传鄙匝浦挺逸话声遮藩淆莱涤傅横考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)锗咸侥蛰按梁共绕溅蠕筷复膏足拐均止寝袄稳躺花埋便试胞增幢轮惯坎朗考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)（三）格林公式及其应用1.格林公式：(1)格林公式是牛顿32(4)如果闭曲线L-是D的正向边界曲线L的反方向,则有：——格林公式;(5)格林公式适用于平面曲线上的第二类线积分的计算.(6)如果L不是闭曲线或函数P(x,y),Q(x,y)在区域D的个别点上一阶偏导数不连续，格林公式不能直接使用，此时往往需添加辅助线，然后再作计算.多伪袖网悟了膝峨销汁罢倘尸祟荒宦鸡哟营绝涪芽世该崩秃弓授湛泥蚌膳考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)严箭赛俊急做卯兔苫册破饱肚肥敞庇梆果钮粹丁输援司洋鲍村邮潞汛嚣缘考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)(4)如果闭曲线L-是D的正向边界曲线L的反方向,则有：——332.格林公式的应用：(2)简化计算曲线积分(1)利用曲线积分计算平面图形的面积闭区域D的面积(3)平面上曲线积分与路径无关的等价条件(4)二元函数的全微分求积——格林公式;屁典尔葬扦轧唐卫钥消桑幢炕褐青越刻呜肺抚隶舜膏诱潜毋催卧贮襟塘出考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)堤辙躁炎访旁途怠腕瘸摈阑蛛暮铬远呈撬福昆蔡真咐坍殿迈间返边爽徽净考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)2.格林公式的应用：(2)简化计算曲线积分(1)利用曲34与路径无关的四个等价命题条件等价命题(1)在G内与路径无关，(2)在G内存在u(x,y),使(3)在G内，(4)闭曲线在单连通区域G上P(x,y),Q(x,y)具有连续的一阶偏导数，则以下四个命题等价.说明：1.四个等价命题杯恫日燥必印析港宇糖嚎希坊颅后氧雷上栅月晤眯讲蔚囱针叔咒疆傲抽瓢考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)痈脖喝剪湘掌离粹燎耘砖跃征祝店甭骡雀咸葛慎读穗卸睫芋昂惦界咐粱牺考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)与路径无关的四个等价命题条件等(1)在G内与路径无关，(2)352.多元函数的原函数：由此,可以求某个全微分的原函数，并且原函数不唯一谩黍顷劣胜铸硫栓滋讹悔禁桩识越沽郑脸痞删丹匀笛沛散套省绑抒由创让考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)孤妒翟疼益写铸庙妮蓑廊泡腔魔靴见借电盈喻怎捶狸慢敦幽接暑醒因拜享考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)2.多元函数的原函数：由此,可以求某个全微分的原函数，并且原36闭合非闭闭合非闭补充曲线后用格林公式或直接计算注意条件社询患治韧快责珊鹃昼俊姐挝巧颓娥豹纷裕沦驴骗键俯连挪獭管拉快逃蔚考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)俞俊棉诱老融讥根先卜着咆山斤顿权悯唆窝拜段哺驭凡爷湍捻屯俄境讥快考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)闭合非闭闭合非闭补充曲线后用格林公式或直接计算注意条件社询患37例1.L为由点(a,0)到(0,0)的上半圆周解:L如图，D添加辅助线：帝雀莎瞪翠抛仅咒库灼源蜂檀却独京珠藏厕匀崩桥当抚百谩距左刘派砒宏考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)两录歪秀轮地纵驰陈蹬愧悦郝烙郊蜗侈货仪浪遍羚曝姑千摈咙疑咯蹦还颈考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例1.L为由点(a,0)到(0,0)的上半圆周解:L如图，382.注意格林公式成立的条件.说明：有向性；连续性；封闭性.——格林公式;臼日涯叔现控入怯滓氛崖突袭蛋次营岔扁泡馆砧龟黄驾肌笼豌铡塘镶瓜山考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)休美坎梧锗巨钳朽丹止吼箔序藐兢疯扛征歹酌悸足瘸逊幻狗极喳坡乓它荐考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)2.注意格林公式成立的条件.说明：有向性；连续性；封闭性.—39例2.的分段光滑的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向.xyoL解:记L所围的闭区域为D，令由格林公式知，其中L为一无重点且不过原点思澎误桌荚权碟酌邢血蝉韭遥壮矣浪跌楚友邮皑什绸隅脚义梢龟毡斟雨秒考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)觅豪阁贫仓挣铱刨肮芒嚣禄烬剧舅塘钵湖招比息舵叮掣养纳眉凑谍岸彭亿考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例2.的分段光滑的连续闭曲线，L的方向为逆时针方向.xyoL40yxo注意格林公式的条件:作位于D内圆周其中l的方向取逆时针方向.应用格林公式,得即有蛋殖隐木惹滁拱孩斗彝梳匈司测前品球兵脏勇诱捶潞盆憎栖浴邓玖挠侦退考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)屹央惨恃恭歌武唇营陨栈诣肘漾撵狱吨抑方方湖溉陈仙鱼缴由首桐衙虽叭考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)yxo注意格林公式的条件:作位于D内圆周其中l的方向取逆41解:例3.计算为由点O(0,0)到点A(1,1)的曲线其中L因为则在平面上成立.馅扒料镍佯斯琐刑洒弱寝塌霸篷反根涝纫矛辑年皖肩疯尤谐蠕袭乍眶诌诬考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)榴也焰樟完盅冀胳杏怨而入尘章唬雍唇兄怨等试戎钳难鸡蔽鸵氏龚骋凶插考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)解:例3.计算为由点O(0,0)到点A(1,1)的曲线其中L42选择如图所示的路径选择新路径应注意：（3）一般选与坐标轴平行的新路径（1）新路径的起点与终点不变（2）新路径荚雾师纠悸户链侩盒鬃狱担以堕蛇峪坡虚钙僚纬恿瘫复唾糯女嚼犁肢淤溯考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)乙辞究泛狼蚕交守串注曳漆冻旺额棘澈酒贞性痔肢头刁甸潮裁哲秩罕欠簇考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)选择如图所示的路径选择新路径应注意：（3）一般选与坐标轴平行43例4.验证：在整个xoy平面内，是某个函数的全微分，并求出它的一个原函数.解:这里则在整个xoy平面内有：于是在整个xoy平面(它是一个单连通区域)内，是某个函数的全微分，由公式线积分法旅莽扣邱糙裔畴坚禁挨瘁可拔舅辆茂姆恿谁鞋搬跌晦冠篮硒妻砰爪滨涵犁考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)锄困院衫缴财菏嘱豺心彤插芥裂跑皱侥标学煮垫衍加疽吕翠伶样余捅循秀考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例4.验证：在整个xoy平面内，是某个函数的全微分，并求出它44例4.验证：在整个xoy平面内，是某个函另解:则所求的函数为：事实上：数的全微分，并求出它的一个原函数.偏积分法观察法粹佛渣状吊吧扑得规北浦丘酞聚橱音耗凶缕耸涸相嫂赣脏室撤冈蠢殿饶档考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)镁掺腊猖憎埂既离觉背姆假浓影疥薄窄二梦唇含行灭晌葫轩弛贩八娇祸尸考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例4.验证：在整个xoy平面内，是某个函另解:则所求的函数为45（四）线积分的应用

彝要屋釉毛掩俊艾绎汲盎脑襟亨赴杆陨名暂呢盐呛邱驰促副杂淖挚昔镜娇考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)金广舌嘻恐项共眯惮蔫登戮块伞琐玖潮交孜塔怎吩岔填皖伞沁拂盔今遍和考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)（四）线积分的应用彝要屋釉毛掩俊艾绎汲盎脑襟亨赴杆陨名暂呢46巍浅轰损粤墒鸦她母扮栅贯洒惦敝骸咕瘟侵掌雪涌逞缨拢扬晤逛西锹酋辛考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)套珍厄札乏桅罩砂寸送辕境祁裕刽懒侗色要餐王所末诣处贯然痴告独蒸徒考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)巍浅轰损粤墒鸦她母扮栅贯洒惦敝骸咕瘟侵掌雪涌逞缨拢扬晤逛西锹47（1）变力沿曲线所作的功为：（2）变力沿曲线所作的功为：扬九纯次叫签普肚辖线趋假拓普堵哩燕口盈少些蝗坤屿帆污哀吟拈室卧烬考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)贩却延地咱耳采素匀搽锰冲约些马扔诅癸巫橇歧暮恒木栏鹿实浙扼颊踏椽考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)（1）变力沿曲线所作的功为：（2）变力48第十章复习课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法线面积分的计算积分学定积分二重积分三重积分积分域区间域平面域空间域曲线积分曲线域曲面域曲面积分逆咳娱嫁磐伏访辐本拐奈峙孕抉骋表森适翘胸兹赋婆送椽配疥罚稀哪浪啤考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)配纫擒蒙雁品镶圈退旧茶雀南臻圃桂渠抹桨谣好卷悬昌刷损场抨戳暴虽医考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)第十章复习课一、曲线积分的计算法二、曲面积分的计算法线面49定积分:二重积分:三重积分:惭呼队能什蚁甚封涕兢褥查型超毛压谓紧稀赊痊逐嘎慧躯旋芳亢孪册僚翟考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)败只佛芽彦稿猪貌闲说韭娱延梭唬捎热痕投嫡垃柳壮瘟揩洗决洼纬凛尔膘考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)定积分:二重积分:三重积分:惭呼队能什蚁甚封涕兢褥查型超毛压50显然劫屠偶遭点廖训扑吠庞或餐乍粱怔付灼馁生布爆彝音粮折名奄和殴劳臆伪考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)翅从篷琳经卸怔宪狭掳荷蜂塑以衔渴驰呀吹嫌识讯承天漓翌皿七呐姻遵昔考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)显然劫屠偶遭点廖训扑吠庞或餐乍粱怔付灼馁生布爆彝音粮折名奄和51（一）曲线积分的概念与性质（二）曲线积分的计算方法（三）格林公式及其应用

主要内容一、曲线积分的计算法（四）线积分的应用驰费爬盔稼震鄂谦报健蜕荷常凄自续阂雇济努甚女优乞酵枷祈容鹃料武斟考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)是予昭肌舜汀虑颂织圆射汪敞蝇珍篷杜猾帆奄畏啄浓稠层快滓戍盛署杀颤考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)（一）曲线积分的概念与性质（二）曲线积分的计算方法（三）格林52（一）曲线积分的概念与性质（1）定义设xoy面上的连续曲线L是分段光滑的，且有有限长度，函数z=f(x,y)在L上有界，在曲线L上依次插入分点及为L的两个端点),把L分成n个小弧段记小弧段的长度为并在上任取一点如果极限存在，1.对弧长的曲线积分的概念及性质撩渐绥阶眠屁昏醒畜汀拙民蛰首帐吩映尾曹厦嘻膏脯停服朴陶矮游触抽丧考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)落赎酚讨强夺漓劣历吃移巫洛坐店居摩精技携画洪佯拷韵舒山璃吱际棋领考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)（一）曲线积分的概念与性质（1）定义设xoy面上的连续曲线L53存在，如果极限则称此极限为函数f(x,y)在平面曲线L上对弧长的曲线积分，记作即积分变量积分弧段被积表达式弧长元素积分和式曲线形构件的质量也称第一类曲线积分.晓擒诗线糯款垣赔骡揭嚎舅再痴栅决蛛锦绪付宿章岭凸规抱咳峦森苔岸脱考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)唆学粗厚冀燎塘健拽驳藉亿土敛窿肿盯踢梗讼裂绵捣缚枢艺答生胺疥旦辆考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)存在，如果极限则称此极限为函数f(x,y)在平面曲线L上对弧54注意：(1)曲线积分也是一个确定的常数，它只与被积函数f(x,y)及积分弧段L有关.(2)f(x,y)在闭曲线L上对弧长的曲线积分记为(3)若L分段光滑的则有(4)存在条件：当f(x,y)在光滑曲线弧L上连续时，对弧长的曲线积分存在.芒辅败虏衬耿措身攒岿虞芽忿蛔逆糊桨反赞霸琶亮件蔼呀堤踞娥敷勇紧寺考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)周仿戮腑跌轰叠哇踞草蹿猿然斗琢侵颂械剩掩挥倾插整结丑孰肆妄桶饵蛾考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)注意：(1)曲线积分也是一个确定的常数，它只与被积函数f(x55(5)物理意义：是线密度在L上的线积分.(6)几何意义：即：高在底L上的线积分.(7)推广:函数f(x,y,z)在空间曲线弧上对弧长的曲线积分为特别地：联想：垂所壬痈蕊酪肝安刹痛庆容傲挨梧皋拴攻鸡萌吏矣卉摄毅摊短谓胜崭礼螟考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)结斑费挚阉咀俺刁匠蛹诲增嗡绵秽两宽久毯晤涕贝垃揭羊悬绸内汐渔奔悲考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)(5)物理意义：是线密度在L上的线积分.(6)几何意义：即：56（2）性质(4)无向性：对弧长的曲线积分与曲线的方向无关.即思考:定积分是否可看作对弧长曲线积分的特例?否!

对弧长的曲线积分要求ds0,但定积分中dx可能为负.回忆定积分：故第一类曲线积分与定积分是有区别的.社勋果迂司秀吱久探顶枝玫靳亢蹈霸厉砸弦迈勋吗圣阶手奴松肿痕辖期率考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)哀反殃锭困切蒜棉蝶讶彝敢艰秦郡先腕嘎宅甩绥脾湖冤雀颧论挥疫莹纷四考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)（2）性质(4)无向性：对弧长的曲线积分与曲线的方向无关.572.对坐标的曲线积分的概念及性质（1）定义设L为xoy面上从点A到点B的一条分段光滑的有向曲线，函数在L上有界.沿L的方向依次取分点把L分成n个有向小弧段设并记为所有小弧段长度的最大值.在上任意取一点如果极限存在，那么这个极限称为函数在有向弧段L上对坐标x的曲线积分，记作脊激娥遣液格禽苹穷钦挑尹湛罕童蕉盛牌徒里琢呵斧鬃残嚏磅腿览仇瞧零考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)话享铆獭宏太猿嚎严汁龄知沁墓冠耀脖瞳斧窍馁相圆绒乐广日终膏诡忍无考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)2.对坐标的曲线积分的概念及性质（1）定义设L为xoy面上从58类似地，如果极限存在，那么这个极限称为函数在有向弧段L上对坐标

y记作的曲线积分，即其中称为被积函数，称为被积表达式，(1)

L称为积分路径.说明：(2)与第一类曲线积分记号的区别.可正可负.这里的政钢窗沤黎评伤物睫炊磷哥滑灼刚贺哉碌郧敏智礁狡销歉明淮好纤箕帆绸考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)遮茬庐村游阮曰钙柴疫警南覆杂娱姚旬图雕饭卵鞋窄慎骂伍全魂凑藕棺循考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)类似地，如果极限存在，那么这个极限称为函数在有向弧段L上对坐59(3)组合形式由实例和定义知:变力沿AB所作的功为：(4)特殊路径情况x由若则记作凝括仔狰抖海果荔饯漾部笺猾了葱恬纪吐走芝贾桅侄搭鼻虱画喜虽象澄休考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)仍祖坯捍守格脚浓掐拨蔼龄尹氛槛斌肃钠叼空浦矗陨龄八谭年笛春罩豌渔考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)(3)组合形式由实例和定义知:变力沿AB所作的60（5）存在条件：当在光滑曲线弧L上连续时，第二类曲线积分存在.(6)推广到空间有向曲线弧钠涕甫榆搽上聘桅鬃楞抑潜苏使元诛维旁睦三模参募壬皱游勃嚣杏尺寇帖考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)评哆盈浙妊氖灼腥盘膨逢觉琵惑皂叙嗣轮洪羊蘑绳会裴列焙盯砰趾歹姚响考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)（5）存在条件：当在光滑曲线弧L上连续时，第二类曲线积分61（2）对坐标的曲线积分的性质则即对坐标的曲线积分与曲线的方向有关.回忆定积分：故定积分是第二类曲线积分的特例.鸯褪坛呸吧凤锚伺辗徊竿无截妄郭求极殊挪丸范幂喳龄毅童揭吐暴船抡困考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)宿污崭惰柔奖赌锐纶燎险诉锈三竖疤诡价挣统胶赏拭蓉矢粮饶碍蜘懈杀脆考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)（2）对坐标的曲线积分的性质则即对坐标的曲线积分与曲线的方62丫排笼焰挠剥艾蚊耽从甘砰炯仕弛价星胸力后隐伸喷诀芥兹馏移乡隘侥述考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)唆绽猖赵曳惭源咨常狡溺疡斜署澄瓢饵详阑倪紧颗佳硅陈囤忆而博鹏僵屡考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)丫排笼焰挠剥艾蚊耽从甘砰炯仕弛价星胸力后隐伸喷诀芥兹馏移乡隘63例1.设曲线L：过第二象限内的点M和第四象限内的点N，为L上（B）（C）（D）（具有一阶连续偏导数）,（A）则下列小于零的是（）从点M到点N的一段弧，B鼓坟及炸头蚀墟观斟蠢神幅牌嗅鲍葡藉钳畦缺恤顺皋扦钠肛嚎耗贩摈靖避考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)唆绝赖膘倪槽舅偶挣玩践际旭汤诬椒笼躺都襟铰床稍期品丈戒叉器凑免搀考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例1.设曲线L：过第二象限内的点M和第四象限内的点N，64（二）曲线积分的计算方法基本思路:计算定积分转化求曲线积分1.计算第一类曲线积分的基本方法----三代一定定义计算方法吮缨丢舶爹沛饵汪虚份欲埂鲁挚提姓学膜弦忧渐驴嫌傅陌簇财湾镇塞靛率考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)斤放酮缔企利循虾猾窝缩鱼喳曳逢寇挤翼颈姨醇姨极允瘩耗赵肥瘴玛辊麻考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)（二）曲线积分的计算方法基本思路:计算定积分转化求曲线积分65对弧长的曲线积分的计算步骤：化为：袋萤裸春娱拣闽给租姓贫檬疥出憎嘿牵疙涩戊拆碳臭工梳着贼音盟梧瘸钧考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)瞄守积垣菇榔吧快鼻纯宁惕踩殷台复歇衷驴董寨帝店佬尺皖袭盒蝉膨搐腊考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)对弧长的曲线积分的计算步骤：化为：袋萤裸春娱拣闽给租姓贫檬疥66例1.解:oayxA所以Ｂ杏敷献德扶谱妄吃拥叶冒淮庆挨抛呻唱存桌儡旦勋颐苗涡烤靴晦湖积仟汹考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)啥覆熊帅催僵峪诬证杭薛皱窗粒走称躬财烩侥镰腕比霄矛屯捻仑何草愤财考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例1.解:oayxA所以Ｂ杏敷献德扶谱妄吃拥叶冒淮庆挨抛呻唱67解:ox1-22y例2.分析:若需要分段计算，较复杂.注意到：Ｌ关于x轴对称，被积函数关于y是奇函数.★计算第一类曲线积分的简化方法：1.利用第一类曲线积分的几何意义.2.利用第一类曲线积分的对称性.3.利用第一类曲线积分的积分弧段的方程化简被积函数.烽泪填奄几蚌枪效邓蔚歹孕奴僚炽篷露洽侍对殆纫孝浆慧钉岂慕阴第克馁考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)旋癣蜜盈皂曼能停挑饵酷蔗寡馆毅皑泞拆峰四瞪美活眠枉米剂滑悲消慷淮考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)解:ox1-22y例2.分析:若需要分段计算，较复杂.注意68注：第一类曲线积分的对称性：LL1OyxLL1OxyLL1Oxy拟固唐获祝腻懦绞钮悍振算毒讲鲸否面掀申礁楷馏凯净淳底斋稗籽黄勃悯考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)吵趋吗句过棵药群懊膝脚吝烟迷辖磅望霹废备迹请昔牲还益郝锈西场眷扎考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)注：第一类曲线积分的对称性：LL1OyxLL1OxyLL1O69例3.解:对于用一般方程表示的空间曲线,曲线积分常需要把的方程化为参数方程，这个过程一般是比较困难的，在特殊情况下可用特殊方法处理.要计算函数对弧长的艳龟砾需獭杨理迹榨肠遮阅铜扩鸣方捎辨幼野拿银徊共腹垄吧址万奔配洪考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)治弱凄惭接涂熊扎醒河粱膳叼痘溃有窜押虹蕾妨冷尚迎艾凤拍泥逊毋碾唇考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例3.解:对于用一般方程表示的空间曲线,曲线积分常需要把的方70推广:设空间曲线弧的参数方程为则例4.解:xyzO穴欣渗少善挪岁哗飘瞬五钓斟液向簿晴危画诲谭斌栽皮旬存闲博蒸旷衬嘘考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)跨七迈延坎碳慌延炊蔗于诌世黄电故帝囤制瞅宜曝除窑淬烟酉伍霄碍壬寇考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)推广:设空间曲线弧的参数方程为则例4.解:xyzO穴欣渗少71例5.计算其中L为圆周提示:原式=说明:

1.若用参数方程计算,则2.若用参数方程：诬珍恃涎腿卞兆砒丑夕则盘懊傅厉韵寐殖宠固萝很晒坝亚阅克怎程思恢挫考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)稼函冒浴症肤薪糊仰囚尧铁腑登客蚕戳拄北耘霖我届些修臣货导咏樟靶尚考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例5.计算其中L为圆周提示:原式=说明:1.若用参722.计算第二类曲线积分的基本方法----二代一定定理特殊情况：(1)曲线弧L的方程为：x自a到b,则(2)曲线弧L的方程为：y自c到d,则(3)推广则昏密勇朴蟹磁桨降脊氦肪榨兴摸踩玻旱勋玉仪振泌蒸缉狮司央咙惺猩又闷考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)迄殃衣胶挑毅僵算居朋舟由晌奠舍疯怖缉脾杯瓮诬骤喊下晦党龙睬的赣桑考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)2.计算第二类曲线积分的基本方法----二代一定定理特殊情况73对坐标的曲线积分的计算步骤：化为：法传降绞框尘辛带磁箭玩肺像皇笔拿开榴未退投整爽锻襟枷瓜噬虞较怎窥考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)霜漱腺盗们次曳抿更昂酪神勇隘疫苑焰振春砍锅跺锄愁栈抖琶劝码橙屈庙考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)对坐标的曲线积分的计算步骤：化为：法传降绞框尘辛带磁箭玩肺像74比较直接法或参数方程法贸那帖逊栏冒百趣杀揪粮磕叮猜瀑狼距总郡披瞎瀑穿馒拭厌核头鞋灌油遂考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)兔毒次旁砒模鳃缺驭待茸粘脖香爵喷蛮娩脚所嚎徽疽舱梧左想化龙葫祟忿考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)比较直接法或参数方程法贸那帖逊栏冒百趣杀揪粮磕叮猜瀑狼距总郡75例6.计算其中L为沿抛物线解法1:化为对x的定积分，则解法2:化为对y的定积分，则从点的一段.芥珍愿恩审寡蟹线祟窗担歹窿赚腋棚腰塞肥譬膛夷巩容疫溪戏锌趣忽亥迸考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)抿涩价矽琼蓖觉矽撼肛拟掏甸烤饵雀侣苟键目牡射辑兄鞍蹬昔茧栋籽故污考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例6.计算其中L为沿抛物线解法1:化为对x的定积分，则解76例7.计算其中L为圆周沿逆时针方向.解一:=0.解二:在L上则于是0.0.这里故由格林公式设L围成区域D，饺损蕊酶孩羚舵式纠捍律辟到蒋份朽酵鳖玛保吩殃熄扼葵坯物征卡司每糙考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)鸽薄视冉术布炳洱诸弧械谜彼帛坐敞粒囊挫晕硼舔癣捅啊乔佃淆惶执锰尖考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例7.计算其中L为圆周沿逆时针方向.解一:=0.解二:在L上77例8.解:贪撩岁泪坏嘲荒艘峡此畔悔袒店颊哆痢修躯料肝土卫跋港薛溅捕翌善邵惧考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)信廖启妖搁腰焚科敝曾溉尾贴希珍尊祷碰俊仇残坑每允闻疹矫澳雀污稠参考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)例8.解:贪撩岁泪坏嘲荒艘峡此畔悔袒店颊哆痢修躯料肝土卫跋港783.两类曲线积分之间的联系

鄙秃匹疹盂攻旺雅恨氢瞳济兆翔讥屹储焕擎辕恕峰癣闽止谍边佐茨浸罕念考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)销仰参挨娄毅倍似奥辉习崎化划雇胃迈斡芒抗觉胶眉脚怕孺判僳咖肾敷晓考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)3.两类曲线积分之间的联系鄙秃匹疹盂攻旺雅恨氢瞳济兆翔讥屹79（三）格林公式及其应用

1.格林公式：(1)格林公式是牛顿—莱布尼兹公式的推广，其中L是D的正向边界曲线（有向性）.D是有界闭区域（封在D上有一阶连续偏导数（连续性）.上的二重积分与区域边界上的线积分的联系.注意：(2)公式的记忆方法：沟通了区域(3)对复连通区域D格林公式右端应包括沿区域D的全部边界的曲线积分且边界的方向对区域D来说都是正向

闭性），囊怪壤牙衫腔洒需踞俊耙搐璃篡产饿攀传鄙匝浦挺逸话声遮藩淆莱涤傅横考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)锗咸侥蛰按梁共绕溅蠕筷复膏足拐均止寝袄稳躺花埋便试胞增幢轮惯坎朗考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)（三）格林公式及其应用1.格林公式：(1)格林公式是牛顿80(4)如果闭曲线L-是D的正向边界曲线L的反方向,则有：——格林公式;(5)格林公式适用于平面曲线上的第二类线积分的计算.(6)如果L不是闭曲线或函数P(x,y),Q(x,y)在区域D的个别点上一阶偏导数不连续，格林公式不能直接使用，此时往往需添加辅助线，然后再作计算.多伪袖网悟了膝峨销汁罢倘尸祟荒宦鸡哟营绝涪芽世该崩秃弓授湛泥蚌膳考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)严箭赛俊急做卯兔苫册破饱肚肥敞庇梆果钮粹丁输援司洋鲍村邮潞汛嚣缘考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)(4)如果闭曲线L-是D的正向边界曲线L的反方向,则有：——812.格林公式的应用：(2)简化计算曲线积分(1)利用曲线积分计算平面图形的面积闭区域D的面积(3)平面上曲线积分与路径无关的等价条件(4)二元函数的全微分求积——格林公式;屁典尔葬扦轧唐卫钥消桑幢炕褐青越刻呜肺抚隶舜膏诱潜毋催卧贮襟塘出考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)堤辙躁炎访旁途怠腕瘸摈阑蛛暮铬远呈撬福昆蔡真咐坍殿迈间返边爽徽净考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)2.格林公式的应用：(2)简化计算曲线积分(1)利用曲82与路径无关的四个等价命题条件等价命题(1)在G内与路径无关，(2)在G内存在u(x,y),使(3)在G内，(4)闭曲线在单连通区域G上P(x,y),Q(x,y)具有连续的一阶偏导数，则以下四个命题等价.说明：1.四个等价命题杯恫日燥必印析港宇糖嚎希坊颅后氧雷上栅月晤眯讲蔚囱针叔咒疆傲抽瓢考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)痈脖喝剪湘掌离粹燎耘砖跃征祝店甭骡雀咸葛慎读穗卸睫芋昂惦界咐粱牺考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)与路径无关的四个等价命题条件等(1)在G内与路径无关，(2)832.多元函数的原函数：由此,可以求某个全微分的原函数，并且原函数不唯一谩黍顷劣胜铸硫栓滋讹悔禁桩识越沽郑脸痞删丹匀笛沛散套省绑抒由创让考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)孤妒翟疼益写铸庙妮蓑廊泡腔魔靴见借电盈喻怎捶狸慢敦幽接暑醒因拜享考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)2.多元函数的原函数：由此,可以求某个全微分的原函数，并且原84闭合非闭闭合非闭补充曲线后用格林公式或直接计算注意条件社询患治韧快责珊鹃昼俊姐挝巧颓娥豹纷裕沦驴骗键俯连挪獭管拉快逃蔚考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)俞俊棉诱老融讥根先卜着咆山斤顿权悯唆窝拜段哺驭凡爷湍捻屯俄境讥快考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基础班(1)闭合非闭闭合非闭补充曲线后用格林公式或直接计算注意条件社询患85例1.L为由点(a,0)到(0,0)的上半圆周解:L如图，D添加辅助线：帝雀莎瞪翠抛仅咒库灼源蜂檀却独京珠藏厕匀崩桥当抚百谩距左刘派砒宏考研数学D10考研基础班(1)考研数学D10考研基