计算机数学01课件

第一章

函数、极限与连续后页首页前页第一章

函数、极限与连续后页首页前页基本要求、重点难点1.1函数及其图形1.2函数运算1.3初等数学模型1.4函数极限基本要求、重点难点1.1函数及其图形1.2函数运算1.1.5无穷大量与无穷小量1.6极限运算1.7函数的连续性1.8生活中的极限问题1.9演示与实验一1.5无穷大量与无穷小量1.6极限运算1.7函数的连基本要求掌握极限的概念、运算法则、连续函数的概念与性质。了解如何使用数学软件研究函数性质和求函数极限。掌握并能熟练运用函数的几种特性。熟知函数的四则运算、复合运算并加以运用。掌握函数极限的概念、运算、无穷大量与无穷小量的定义与性质。掌握函数的连续性概念及运算方法。熟练掌握函数的基本概念及其定义域、值域、函数值的求法，了解函数的几何性质及反函数、复合函数、分段函数等概念。基本要求掌握极限的概念、运算法则、连续函数的概念与性质。重点难点重点：极限的概念、运算法则、连续函数的概念与性质。如何使用数学软件研究函数性质和求函数极限。难点：极限的运算、连续函数的概念与性质。重点难点重点：1.1函数及其图形1.1.1函数概念习惯上常用字母F、G、f、g、φ、ψ等表示函数。一般来说，用不同的字母来表示函数和变量。在特殊情况下，也可以用相同的符号来表示函数和因变量。1.1函数及其图形1.1.1函数概念习惯上常用字母下面再看几个关于函数的例子。例1平方函数为每个实数x指派了它的平方x2，它用下列等式来定义：f(x)＝x2

。与自变量x相对应的函数值是用x代入这个等式获得的。例如：f(3)＝32＝9，f(-2)＝(-2)2＝4。平方函数f的定义域Df是全体实数组成的集合R，f的值域是由f(x)的一切值所组成的，即形如x2的全部的实数，Rf＝｛y|y≥0｝＝［0，+∞）。例2试求由下列公式定义的函数的自然定义域：f(x)f(x-1)

。

解Df＝｛x|x≠0且x≠1｝＝(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)。１下面再看几个关于函数的例子。１1.1.2函数的图形定义1.2

设f是定义在Df上的函数，它的图形是满足条件y＝f(x)的有序数对

(x，y)(即平面点)的集合，即G(f)＝｛(x，y)|y＝f(x))，x∈Df｝。函数f的图形G(f)给出了直观的函数形态。当f(x)＞0时，在x处图形的高就是函数值f(x)(如下图)。1.1.2函数的图形定义1.2

设f是定义在Df上的函从f的图形G(f)上，可以在x轴上获得f的定义域，在y轴上获得f的值域。即图形G(f)在x轴上的投影点集就是定义域Df，在y轴上的投影点集就是值域Rf(如图)。从f的图形G(f)上，可以在x轴上获得f的定义域，在y轴1.1.3分段函数有的函数在其定义域的不同范围中，对应的法则用不同的公式来表示，这种函数称为分段函数。举例如下。例1取整函数

y＝［x］＝n，当x∈［n，n+1），n＝0，±1，±2，…时。显然，［x］的定义域是全体实数集R，值域是全体整数集Z。例如：［4.5］＝4，［２］＝1，［－3.2］＝－4。函数图形如下图。具有类似图形的函数通常称为阶梯函数。√－1.1.3分段函数有的函数在其定义域的不同范围中，对应计算机数学01课件1.1.4函数的几种特性当函数的自变量在定义域中取不同的值时，通常会得到不同的函数值。根据函数值的不同性态可以对函数进行分类。下面是函数常见的4种性态。1.1.4函数的几种特性当函数的自变量在定义域中取不同1.2函数运算1.2.1函数的四则运算两个函数f

和g之间可经过类似于实数间的四则运算，构成新的函数。下面来定义这些运算。定义1.7

设函数f

和g的定义域分别为Df和Dg，则和函数f+g、差函数f－g、积函数fg和商函数f/g分别定义如下：1.2函数运算1.2.1函数的四则运算两个函数f例设f(x)＝，g(x)＝x2－4，求函数f和g的和、差、积、商。解易见Df＝［0，+∞），Dg＝（－

∞，－2］∪［2，+∞）。由定义(f±g)(x)＝x±x2

－4

，Df+g＝Df∩Dg＝［2，+∞）；

(fg)(x)＝x(x2

－4)

，Dfg＝［2，+∞）；

(f/g)(x)＝，Df/g＝（2，+∞）。√__√_______√__√_______√________x(x2

－4)_______1√________例设f(x)＝，g(x)＝x2－41.2.2函数的复合运算设函数y＝f(u)＝，u＝φ(x)＝x2+1，若要求变量x和y之间的对应规则，即函数，可用代入法来实现：y＝f(u)＝f(φ(x))＝f(x2+1)＝x2+1。这样处理过程就是函数的复合过程。一般地有：1.2.2函数的复合运算设函数y＝f(u)＝，u＝φ例1若f(x)＝x2，g(x)＝x－3，试求复合函数f

g和g

f，并求其定义域。解(f

g)(x)＝f(g(x))＝f(x－3)＝(x－3)2，

(g

f)(x)＝g(f(x))＝g(x2)＝x2－3且Df

g＝Df

g

＝R。从上例可以看出，一般来说f

g≠g

f，即复合运算不同于乘积运算，它与函数的前后次序有关。例2试把函数y＝分解成几个简单函数的复合。解从函数的表达式可以看出，求x的函数值的运算过程是：首先把x除以2，再求其反正弦值，最后再进行平方运算。因此，可以分解出3个简单函数：y＝g(u)＝u2，u＝h(v)＝arcsinv，

v＝φ(x)＝。由它们进行复合即为原来的函数：y＝f(x)＝＝(g

h

φ)(x)或f＝g

h

φ。。。。。。。。。(arcsin)2x2__x2__。。。。(arcsin)2x2__例1若f(x)＝x2，g(x)＝x－3，试求复合函数f1.2.3反函数由定义可以看出：(1)单调函数一定存在反函数；(2)f－1的定义域就是f的值域，f－1的值域就是f的定义域。求已知函数的反函数的步骤可以归纳为以下两步：(1)从等式y＝f(x)中解出x，得x＝f

－1(y)；(2)在(1)所求出的式子中将x和y互换，得反函数表达式y＝f－1(x)。继续点击1.2.3反函数由定义可以看出：(1)单调函数一定存在反1.2.4初等函数(1)基本初等函数下面六类函数统称为基本初等函数：a.常数函数y＝C(C为常数)；b.幂函数y＝xα(α为常数)；c.指数函数y＝ax(a为常数，且a＞0，a≠1)；d.对数函数y＝logax(a为常数，且a＞0，a≠1)；e.三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝secx，y＝tanx，

y＝cotx，y＝cscx；f.反三角函数y＝arcsinx，y＝arctanx，y＝arccosx，

y＝arccotx。(2)初等函数定义1.10由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合运算构成的，并在定义域内可以用一个表达式表示的函数，称为初等函数。继续点击1.2.4初等函数(1)基本初等函数下面六类函数统称为基1.3初等数学模型1.3.1数学模型的概念构造数学模型过程主要包括下列三个步骤：

(1)建立模型：从实际问题中抽象、简化、提炼出数学问题；

(2)数学解答：对所提出的数学问题求解；

(3)模型检验：将所求得的答案返回到实际问题中去，检验其合理性，并进一步对现实问题总结出所满足的数学规律。1.3初等数学模型1.3.1数学模型的概念构造数学1.3.2微积分与数学模型的关系

历史上，微积分中的主要原理，就来源于几个极为辉煌的数学模型：

微积分的基础——极限概念来源于“无穷小”模型。我国春秋时期的《庄子》中所说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，可以说是无穷小认识的萌芽。公元3世纪时，我国数学家刘徽把庄子中的无穷小概念应用于计算“圆田”和“弧田”的面积。他先在圆内作内接正六边形，计算其面积，再继续算出正十二边形、正二十四边形面积等等。刘徽认为，随着圆内接正多边形边数的增加，其面积将不断扩大，但不会大于圆面积。同时刘徽指出“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。这是无穷小思想的早期应用。所以，微积分根本上起源于人类用数学手段解决实际问题的需要。反过来，一切可以用连续变量的函数描述的数学模型，无不以微积分理论为基础。这也说明了微积分的重要性。1.3.2微积分与数学模型的关系历史上，微积分中的主要1.3.3初等数学模型的例子1.3.3初等数学模型的例子1.4函数极限1.4.1数列的极限

(1)数列及其变化趋势数列：

以正整数n为自变量的函数an＝f(n)，我们称为整变量函数，把它的函数值按自变量n从小到大的顺序写出来：a1，a2，…，an，…这就是数列，记为｛an｝。数列极限：我们先从一个例子来分析数列的变化趋势，并由此引出数列极限的概念。

《庄子》中所说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其中蕴含着深刻的极限思想。如果令天数为n，则第n天后余下部分长为

an＝尺(n＝1，2，…)，这样就得到了一个数列。当正整数n无限增大时，数列an＝无限趋近于数0。n2n｛｝n2nn2n继续点击1.4函数极限1.4.1数列的极限(1)数列及(2)数列极限的定义定义1.11

设有数列｛an｝和常数A。若当n无限增大时，an无限趋近于A，则称数列｛an｝以A为极限，或称数列｛an｝收敛于A，记作：

或an→A(n→∞时)。

否则，称数列｛an｝的极限不存在，或者说数列｛an｝是发散的。liman＝An→∞数列极限的几何解释：将数A和数列各项a1，a2，a3，…在数轴上的对应点标出来，容易看出，若A是｛an｝的极限，则当n无限变大时，点an与点A的距离|an－A|无限变小，即只要n充分大，|an－A|可以任意小。在数轴上的A点附近聚集了数列｛an｝的无穷多个点，而且离A点越近越密集，因此我们也称数列｛an｝的极限值(极限点)为其聚点(如下图)。继续点击(2)数列极限的定义定义1.11liman＝An→∞数列1.4.2函数的极限１２３４后页后页1.4.2函数的极限１２３４后页后页

(1)x趋于无穷大时函数f(x)的极限当|x|无限增大时，f(x)＝对应的函数值f(x)无限地趋近于0（如下图），这时称x趋于无穷大时，f(x)以0为极限。定义1.12

设函数f(x)对于绝对值无论怎样大的x值是有定义的。若当|x|无限增大时，对应的函数值f(x)无限趋近于某一常数A，则称常数A为函数f(x)当x趋向于无穷大时的极限。记作：或f(x)→A

(x→∞)。limf(x)＝An→∞A(1)x趋于无穷大时函数f(x)的极限定义1.12lim从几何意义上看，极限表示：随着|x|无限增大，曲线y＝f(x)上对应的点与直线y＝A的距离无限变小，即曲线y＝f(x)以直线y＝A为渐近线(如图)。limf(x)＝An→∞由以上定义，我们不难证明：定理1.1存在且为A的充分必要条件是与都存在且都等于A。limf(x)n→∞limf(x)n→－∞limf(x)n→＋∞返回从几何意义上看，极限表示：limf(x)＝

(2)x趋于某确定有限数时函数f(x)的极限以下我们均假设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果在变量x→x0(x≠x0)的过程中，对应的函数值f(x)无限接近于确定的常数A，就说当x→x0时函数f(x)的极限为A。这种类型的极限称为函数在有限点x0处的极限。例如，由于x≠1时f(x)＝g(x)，所以由上面的说明就可得出函数f(x)在有限点x0处的极限的精确定义。limf(x)x→１＝limg(x)x→１＝２。定义1.13设函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义(x0可以除外)，若当x无限趋近于x0(但不等于x0)时，对应的函数值f(x)无限趋近于某一常数A，则称常数A为函数f(x)当x趋于x0时的极限，记作：limf(x)＝Ax→x0或f(x)→Ａ(x→x0)(2)x趋于某确定有限数时函数f(x)的极限limf(x从几何意义上看，极限表示：当x无限靠近x0(但x≠x0)时，曲线y＝f(x)上的点(x，f(x))将无限地靠近点

(x0，A)(如下图)。例极限不存在的例子：当x→0时，函数f(x)＝sin没有极限。1x从正弦函数的图象易见该极限是不存在的，它没有任何渐近线。当x越来越接近于零时，对应的函数值越来越频繁地在－1与1之间摆动。返回从几何意义上看，极限表示：例极限不存在的例子：1

(3)单侧极限

由于在x→x0的过程中，x既可以是x0左侧的点，也可以是x0右侧的点。但有的函数仅在x0的左邻域有定义，或者我们只需要研究函数在x0的左邻域的变化情况，为了明确起见，我们引进函数的“左极限”概念。函数f(x)在x0处存在左极限，就是指x

从x0的左侧趋向于x0时，对应的函数f(x)值趋向于一个定数A。类似地有“右极限”概念。它们的定义是：定义1.14如果当x从x0的左侧趋近于x0时，函数f(x)的对应值趋近于常数A，那么称常数A为函数f(x)当x从左侧趋向于x0时的左极限。记作：类似地，可定义右极限。limf(x)＝Ax→x0－或f(x0－0)＝A。limf(x)＝Ax→x0＋，或f(x0+0)＝A。(3)单侧极限

由于在x→x0的过程中，x既可以是左极限与右极限通称为单侧极限。容易证明：定理1.2的充要条件是limf(x)＝Ax→x0limf(x)＝x→x0limf(x)＝Ａ。x→x0－＋返回左极限与右极限通称为单侧极限。容易证明：定理1.2lim

(4)极限的简单性质

＞0，同时在x1的附近的点的函数值也是正的。B＜0，同时在x2附近的点的函数值也是负的。（如图）limf(x)＝Ax→x0由上面的说明就可得出函数f(x)在x0处的极限值的符号与x0点附近(即某去心邻域)的点的函数值的符号的关系。定理1.3如果，而且A＞0(或A＜0)，那么总存在点x0的某去心邻域(x0－δ，x0)∪(x0，x0+δ)，使对该邻域内的任意点x总有f(x)＞0(或f(x)＜0)。limf(x)＝Ax→x0(4)极限的简单性质limf(x)＝Ax→x0由上定理1.4如果，而且在x0的某邻域内(可以不包括x0)f(x)≥0(或f(x)≤0)，那么有A≥0(或A≤0)。limf(x)＝Ax→x0返回定理1.4limf(x)＝Ax→x0返回1.5无穷大量与无穷小量1.5.1无穷大量定义1.15

在某一自变量的变化过程中，如果相应的函数值的绝对值无限增大，那么称此函数为无穷大量(简称无穷大)。“绝对值无限增大”包含以下两种特殊情形：

(1)函数值大于零，且绝对值无限增大。此时称函数为正无穷大量(简称正无穷大)；

(2)函数值小于零，且绝对值无限增大。此时称函数为负无穷大量(简称负无穷大)。继续点击前页前页1.5无穷大量与无穷小量1.5.1无穷大量定义1.151.5.2无穷小量定义1.16

在某一自变量的变化过程中，极限为零的函数称为无穷小量(简称无穷小)。性质1

有限个无穷小的代数和还是无穷小。性质2有界变量与无穷小量的乘积是无穷小。由性质2可得下面推论：推论1常数与无穷小量的乘积仍然是无穷小量。推论2

有限个无穷小的乘积仍是无穷小。1.5.2无穷小量定义1.16性质1由性质2可得下面推论有极限的变量与无穷小量之间有着密切的关系。定理1.5

f(x)＝A的充分必要条件是f(x)＝A+α(x)，其中α(x)是无穷小量(x→x0时)。limf(x)＝Ax→x0注意：所谓某一函数或某一变量是无穷大量或无穷小量都是相对于某一自变量的变化过程来说的，离开了这一点，单纯讲某变量是无穷大量或无穷小量是无意义的，除非根据上下文可以不言自明。有极限的变量与无穷小量之间有着密切的关系。定理1.5li1.5.3无穷小量与无穷大量的关系关于无穷小量与无穷大量的关系有如下定理：定理1.6在自变量x的某一变化过程中：

(1)如果f(x)是无穷大量，那么是无穷小量；

(2)如果f(x)是非零无穷小量，那么是无穷大量。１f(x)１f(x)在求极限时，经常要用到无穷小量与无穷大量的这种倒数关系。1.5.3无穷小量与无穷大量的关系关于无穷小量与无穷大1.5.4无穷小量的比较无穷小量虽然都是极限为零的变量，但它们趋于零的速度有快有慢。例如，有一个正方形的金属薄片，它的边长为1。因为受热，边长增加了η，从而面积的增量是ΔS＝(1+η)2－12＝2η+η2。如果η是无穷小量，那么2η、η2也是无穷小量，但它们趋于零的速度是不一样的。列表比较如下：η0.50.10.010.001…2η10.20.020.002…η20.250.010.00010.000001…1.5.4无穷小量的比较无穷小量虽然都是极限为零的变量定义1.17设α、β是同一极限过程中的两个无穷小量。如果＝0，那么称α是比β高阶的无穷小，记作

α＝o(β)；如果＝∞，那么称α是比β低阶的无穷小；如果＝C(C为非零常数)，那么称α与β是同阶无穷小。在同阶无穷小中，如果＝1，那么称α与β是等价无穷小，记作α～β。limαβlimαβlimαβlimαβ定义1.17limαlimαlimαlimα1.6.1极限运算性质假设C是常数，并且极限f(x)和g(x)都存在，则有：例试证明极限运算的和性质：。证设，，则由定理1.5得：f(x)＝L+α(x)，g(x)＝M+β(x)，

其中α(x)、β(x)是当x→a时的无穷小量。于是f(x)+g(x)＝(L+M)+［α(x)+β(x)］。由无穷小的性质知，x→a时α(x)+β(x)也是无穷小，所以由定理1.5知：。证毕。1.6极限运算1.6.1极限运算性质假设C是常数，并且极限f(x)和1.6.2利用性质求极限直观地观察下面几个极限公式：

(1)limC＝C(C为常数)；

(2)limx＝a；

(3)limxn＝an(由乘方性质得到)(n为正整数)；

(4)limnx

＝na(n为正整数，且当n为偶数时，假设a＞0)。利用以上基本公式和极限性质，可以计算多项式、多项式之商(有理函数)及一些无理函数的极限。x→ax→ax→a√__√__1.6.2利用性质求极限直观地观察下面几个极限公式：定理1.7对于多项式和有理函数(多项式之商)，当x→a时，将a代入函数式得到的函数值等于函数的极限值。即：

limP(x)＝P(a)(其中P(x)为多项式函数)；

lim

(其中P(x)、Q(x)都是多项式函数，并且Q(a)≠0)。x→aP(x)

P(a)Q(x)

Q(a)＝x→a定理1.7x→aP(x)P(a)Q(x)Q(a)＝x计算机数学01课件1.6.3利用两个重要极限公式求极限从下面两个函数值表中初步观察极限函数lim和lim的变化趋势。sinxxx→0１１x(

)＋x由以上表格，可以发现常数的确存在，它就是著名的无理数

e＝2.7182818…。这样我们就有下面两个已经被数学家严格证明了的极限公式：。1.6.3利用两个重要极限公式求极限从下面两个函数值表无理数e和无理数π一样，是数学中最重要的常数之一。这个无理数精确到20位小数的值是e≈2.71828182845904523536。个极限公式可写成如下形式：，（或者）。无理数e和无理数π一样，是数学中最重要的常数之一。1.7函数的连续性1.7.1连续与间断的概念连续与间断(不连续)是对自然界变化过程渐变与突变现象的描述。为了从数量上刻画函数的连续和间断，先引进增量(改变量)的概念，再分析连续和间断的数量特征。设变量u从它的一个初值u1变化到终值u2，终值与初值的差u2－u1称为变量u的增量，记为Δu，即Δu＝u2－u1。1.7函数的连续性1.7.1连续与间断的概念连续与增量Δu可以是正的，也可以是负的。若Δu为正，则变量u从u1变到

u2＝u1+Δu是增大的；若Δu为负，则变量u从u1变到u2是减小的。假设函数y＝f(x)的图形如下图所示。在［a，b］中除在x＝x1点处间断外，其余点都连续。从图中易见，在间断点x1处，函数值有一个跳跃(突变的表现)，自变量从x1向左侧作一任意小的变动时，对应的函数值发生显著的变化，用极限来刻画就是：。在连续点x0，情况恰恰相反。当自变量从x0向左、右侧作微小改变时，对应的函数值改变也很小。用极限来刻画，则为。增量Δu可以是正的，也可以是负的。若Δu为正，则变量u从由此分析，可引入下面的定义：定义1.18设函数y＝f(x)在包含x0在内的某开区间内有定义，若当自变量的增量Δx＝x－x0趋近于零时，对应的函数值的增量Δy＝f(x0+Δx)－f(x0)也趋于零，即Δy＝0，则称函数y＝f(x)在点x0处是连续的(此时称x0是函数y＝f(x)的连续点)。否则，称y＝f(x)在x0处间断(此时称x0是y＝f(x)的间断点)。定义1.19设函数y＝f(x)在x0的某一邻域内有定义，若函数y＝f(x)当x→x0时极限存在，且等于它在点x0处的函数值f(x0)，即limf(x)＝f(x0)，则称函数y＝f(x)在点x0连续。△x→x0由此分析，可引入下面的定义：定义1.18定义1.19△x由左、右极限的概念，可给出左、右连续的概念：定义1.20设函数y＝f(x)在x0的某左半邻域(或右半邻域)内有定义(含x0在内)。若limf(x)＝f(x0－0)＝f(x0)，则称函数f(x)在点x0左连续；

若limf(x)＝f(x0+0)＝f(x0)，则称函数f(x)在点x0右连续。显然，函数y＝f(x)在点x0连续的充分必要条件是函数f(x)在点x0既左连续又右连续。若函数在区间

I

内每一点都连续，则称f(x)在区间

I

连续。△x→x0－△x→x0＋由左、右极限的概念，可给出左、右连续的概念：定义1.20△x1.7.2函数的间断点函数y＝f(x)在x0处连续是指limf(x)＝f(x0)，这里包含了三个条件：

(1)函数y＝f(x)在点x0处有定义；

(2)极限limf(x0)存在；

(3)极限limf(x)恰好等于f(x0)。这三个条件中任何一条不满足，函数f(x)在点x0处都是间断的。根据极限limf(x)是否存在，以及不存在时的各种情形，常把间断点分成如下几种类型：△x→x0△x→x0△x→x0△x→x01.7.2函数的间断点函数y＝f(x)在x0处连续是指计算机数学01课件1.7.3连续函数的运算根据连续函数的定义，利用极限的四则运算法则，可得下面的定理：定理1.8如果函数f(x)与g(x)都在点x0处连续，那么它们的和、差、积、商，即f(x)±g(x)、f(x)·g(x)、(在商的情形下要求g(x0)≠0)，也在x处连续。f(x)g(x)证这里只证f(x)+g(x)在x0点的连续性，其余留给读者证明。因为f(x)与g(x)在x0处连续，由定义1.19得limf(x)＝f(x0)，limg(x)＝g(x0)。由极限运算性质得lim［f(x)+g(x))］＝limf(x)+limg(x)＝f(x0)+g(x0)。故由连续函数的定义1.19可知，f(x)+g(x)在x0处连续。证毕。△x→x0△x→x0△x→x0△x→x0△x→x01.7.3连续函数的运算根据连续函数的定义，利用极限的定理1.9(反函数的连续性)如果函数y＝f(x)在区间Ix上单调增加(或单调减少)且连续，那么它的反函数x＝f－1(y)也在对应区间Iy＝｛y|y＝f(x)，x∈Ix｝上单调增加(或单调减少)且连续(证明从略)。定理1.10(复合函数的连续性)设函数u＝φ(x)在点x＝x0连续，y＝f(u)在点u＝u0＝φ(x0)处连续，则复合函数y＝(f

g)(x)＝f［φ(x)］在点x＝x0处连续。。证要证y＝(f

g)(x)＝f［φ(x)］在x＝x0处连续，只要证明

lim(f

g)(x)＝(f

g)(x0)，即limf［φ(x)］＝f［φ(x0)］。由于u＝φ(x)在x0处连续，所以limφ(x)＝φ(x0)。因为y＝y(u)在u0＝φ(x0)处连续，所以limy(u)＝y(u0)，即

limf［φ(x)］＝f［φ(x0)］。

y＝(f

g)(x)＝f［φ(x)］在x＝x0处连续。。△x→x0。。△x→x0△x→x0△x→x0△x→x0。定理1.9(反函数的连续性)定理1.10(复合函数的连续1.7.4初等函数的连续性首先，由基本初等函数的图形可以直观地看出，基本初等函数在它们的定义区间内都是连续函数。当然，这个结论是可以利用连续性定义、极限运算性质得到证明的，这里从略。进一步地，由于初等函数是由基本初等函数经过有限次的四则运算和有限次的复合构成的，所以由定理1.8和定理1.10易知，一切初等函数在其定义区间内都是连续的。根据上述结论，若f(u)是初等函数，u0在其定义域内，则有limf(u)＝f(u0)。这里不管u是自变量还是中间变量都成立。若u是中间变量，u＝φ(x)，且limφ(x)在f(u)的定义域内，则有△x→x0△x→x01.7.4初等函数的连续性首先，由基本初等函数的图形可1.7.5闭区间上连续函数的性质定义1.21设函数f(x)在区间(a，b)内连续，且f(a+0)＝f(a)，f(b－0)＝f(b)，

则称f(x)是闭区间［a，b］上的连续函数。定理1.11(最大值和最小值定理)闭区间［a，b］上的连续函数f(x)一定有最大值和最小值。这就是说，［a，b］上一定存在这样两个点x1和x2，使得对于［a，b］上的一切点x都有f(x)≥f(x1)，f(x)≤f(x2)。1.7.5闭区间上连续函数的性质定义1.21定理1.11(

从物理上看：例如某地一昼夜的温度变化，总有两个时刻分别达到最高温度和最低温度；又如，抛射一个物体总可以达到最高点也可以达到最低点。

从几何上看：一段连续曲线对应闭区间上的连续函数，曲线上必有一点，它的纵坐标最大，对应函数最大值；也总有一点，它的纵坐标最小，对应函数最小值。在下图中，x1对应的函数值最小，x2对应的函数值最大，函数在x2达到最小值，在x2达到最大值。若f(x)不是闭区间上的连续函数，结论就不一定正确。定理1.12(介值定理)设函数f(x)在闭区间［a，b］上连续，则对于f(a)与f(b)之间的任何数c，总存在点ξ∈(a，b)，使得f(ξ)＝c。从物理上看：例如某地一昼夜的温度变化，总有两个时刻分别达

该定理也可以叙述为：闭区间［a，b］上的连续函数f(x)，当x从a变化到b时，要经过f(a)与f(b)之间的一切数值。

从物理上看：例如气温的变化，从0℃变到5℃，它必然经过0℃与5℃之间的一切温度，因为气温是随时间连续变化的，即它是时间t的连续函数。

从几何上看：闭区间［a，b］上的连续函数的图形如图(a)所示，是一条从点(a，f(a))到点(b，f(b))不间断的曲线，因此介于y＝f(a)与y＝f(b)之间的任意一条直线y＝c都必然与该曲线相交。若f(x)在［a，b］上有一间断点，如图(b)所示，则直线y＝c就不与f(x)的图形相交了。该定理也可以叙述为：闭区间［a，b］上的连续函数f(x)由定理1.12可得如下推论：由定理1.12可得如下推论：1.8生活中的极限问题1.8.1猪肉产销问题的蛛网模型

在市场经济中存在这样的循环现象：若去年的猪肉生产量供过于求，猪肉价格就会降低；价格降低会使今年养猪量减少，造成今年猪肉生产量供不应求，于是肉价上扬；价格上扬又使明年猪肉产量增加，又造成新的供过于求……1.8生活中的极限问题1.8.1猪肉产销问题的蛛网模1.8.2细菌繁殖问题1.8.2细菌繁殖问题1.9演示与实验一1.9.1实验目的1.学习在Windows下Mathematica4.0软件的启动，并熟悉其界面；2.学习用绘图语句作函数图形；3.用图形和数值观察数列极限与函数极限；4.学习用求极限语句求数列或函数极限。1.9演示与实验一1.9.1实验目的1.学习在Wind1.9.2原理与方法

1.函数作图的基本原理

2.数列极限与函数极限1.9.3内容与步骤1.Mathematica4.0的进入1.9.2原理与方法1.函数作图的基本原理1.9.3

2.利用Mathematica作图

(1)基本作图命令格式

(a)只规定自变量范围的作图命令：

Plot［f(x),｛x,x1,x2｝］

(b)不仅规定自变量范围，还规定因变量范围的作图命令：

Plot［f(x),｛x,x1,x2｝,PlotRange->｛y1,y2｝］

(2)观察函数图形叠加情况

(3)分段函数的作图自定义分段函数常用以下两种方法：方法1当只分两段时可用if语句定义，格式如下：

f［x］:＝If［条件1,表达式1，表达式2］方法2当分段函数的定义域多于两段时可以用Which语句定义，格式如下：

f［x］：＝Which［条件1，表达式1，条件2，表达式2，True,表达式3］

3.用图形和数值观察数列或函数极限

(a)生成数值型点列

(b)画散点图

4.用Mathematica求极限

用Mathematica求极限的命令格式如下：

Limit［f(x),x->a］

Limit［f(x),x->Infinity］(其中Infinity表示∞)2.利用Mathematica作图1.9.4注意事项

1.利用Mathematica系统作图时，每个语句及其中的函数的第一个字母必须大写；

2.如果函数的图形在某一点处回转的次数特别多时图形中会有一些模糊，这是由于在回转多的地方尽量取多的样点，但样点又不会无穷多而造成的；例如，执行Plot［Ｓin［1/x］,｛x,-1,1｝］大家可以看到这种情况。

3.利用Limit［］语句求极限时，必须指明自变量的趋向方向，否则，对于某些极限求不出正确结果；

4.在无穷振荡点处虽然函数极限不存在，但Limit［］语句仍能够给出函数无穷振荡时的可能取值范围。1.9.4注意事项1.利用Mathematica系统ThankYou!后页首页前页ThankYou!后页首页前页第一章

函数、极限与连续后页首页前页第一章

函数、极限与连续后页首页前页基本要求、重点难点1.1函数及其图形1.2函数运算1.3初等数学模型1.4函数极限基本要求、重点难点1.1函数及其图形1.2函数运算1.1.5无穷大量与无穷小量1.6极限运算1.7函数的连续性1.8生活中的极限问题1.9演示与实验一1.5无穷大量与无穷小量1.6极限运算1.7函数的连基本要求掌握极限的概念、运算法则、连续函数的概念与性质。了解如何使用数学软件研究函数性质和求函数极限。掌握并能熟练运用函数的几种特性。熟知函数的四则运算、复合运算并加以运用。掌握函数极限的概念、运算、无穷大量与无穷小量的定义与性质。掌握函数的连续性概念及运算方法。熟练掌握函数的基本概念及其定义域、值域、函数值的求法，了解函数的几何性质及反函数、复合函数、分段函数等概念。基本要求掌握极限的概念、运算法则、连续函数的概念与性质。重点难点重点：极限的概念、运算法则、连续函数的概念与性质。如何使用数学软件研究函数性质和求函数极限。难点：极限的运算、连续函数的概念与性质。重点难点重点：1.1函数及其图形1.1.1函数概念习惯上常用字母F、G、f、g、φ、ψ等表示函数。一般来说，用不同的字母来表示函数和变量。在特殊情况下，也可以用相同的符号来表示函数和因变量。1.1函数及其图形1.1.1函数概念习惯上常用字母下面再看几个关于函数的例子。例1平方函数为每个实数x指派了它的平方x2，它用下列等式来定义：f(x)＝x2

。与自变量x相对应的函数值是用x代入这个等式获得的。例如：f(3)＝32＝9，f(-2)＝(-2)2＝4。平方函数f的定义域Df是全体实数组成的集合R，f的值域是由f(x)的一切值所组成的，即形如x2的全部的实数，Rf＝｛y|y≥0｝＝［0，+∞）。例2试求由下列公式定义的函数的自然定义域：f(x)f(x-1)

。

解Df＝｛x|x≠0且x≠1｝＝(-∞，0)∪(0，1)∪(1，+∞)。１下面再看几个关于函数的例子。１1.1.2函数的图形定义1.2

设f是定义在Df上的函数，它的图形是满足条件y＝f(x)的有序数对

(x，y)(即平面点)的集合，即G(f)＝｛(x，y)|y＝f(x))，x∈Df｝。函数f的图形G(f)给出了直观的函数形态。当f(x)＞0时，在x处图形的高就是函数值f(x)(如下图)。1.1.2函数的图形定义1.2

设f是定义在Df上的函从f的图形G(f)上，可以在x轴上获得f的定义域，在y轴上获得f的值域。即图形G(f)在x轴上的投影点集就是定义域Df，在y轴上的投影点集就是值域Rf(如图)。从f的图形G(f)上，可以在x轴上获得f的定义域，在y轴1.1.3分段函数有的函数在其定义域的不同范围中，对应的法则用不同的公式来表示，这种函数称为分段函数。举例如下。例1取整函数

y＝［x］＝n，当x∈［n，n+1），n＝0，±1，±2，…时。显然，［x］的定义域是全体实数集R，值域是全体整数集Z。例如：［4.5］＝4，［２］＝1，［－3.2］＝－4。函数图形如下图。具有类似图形的函数通常称为阶梯函数。√－1.1.3分段函数有的函数在其定义域的不同范围中，对应计算机数学01课件1.1.4函数的几种特性当函数的自变量在定义域中取不同的值时，通常会得到不同的函数值。根据函数值的不同性态可以对函数进行分类。下面是函数常见的4种性态。1.1.4函数的几种特性当函数的自变量在定义域中取不同1.2函数运算1.2.1函数的四则运算两个函数f

和g之间可经过类似于实数间的四则运算，构成新的函数。下面来定义这些运算。定义1.7

设函数f

和g的定义域分别为Df和Dg，则和函数f+g、差函数f－g、积函数fg和商函数f/g分别定义如下：1.2函数运算1.2.1函数的四则运算两个函数f例设f(x)＝，g(x)＝x2－4，求函数f和g的和、差、积、商。解易见Df＝［0，+∞），Dg＝（－

∞，－2］∪［2，+∞）。由定义(f±g)(x)＝x±x2

－4

，Df+g＝Df∩Dg＝［2，+∞）；

(fg)(x)＝x(x2

－4)

，Dfg＝［2，+∞）；

(f/g)(x)＝，Df/g＝（2，+∞）。√__√_______√__√_______√________x(x2

－4)_______1√________例设f(x)＝，g(x)＝x2－41.2.2函数的复合运算设函数y＝f(u)＝，u＝φ(x)＝x2+1，若要求变量x和y之间的对应规则，即函数，可用代入法来实现：y＝f(u)＝f(φ(x))＝f(x2+1)＝x2+1。这样处理过程就是函数的复合过程。一般地有：1.2.2函数的复合运算设函数y＝f(u)＝，u＝φ例1若f(x)＝x2，g(x)＝x－3，试求复合函数f

g和g

f，并求其定义域。解(f

g)(x)＝f(g(x))＝f(x－3)＝(x－3)2，

(g

f)(x)＝g(f(x))＝g(x2)＝x2－3且Df

g＝Df

g

＝R。从上例可以看出，一般来说f

g≠g

f，即复合运算不同于乘积运算，它与函数的前后次序有关。例2试把函数y＝分解成几个简单函数的复合。解从函数的表达式可以看出，求x的函数值的运算过程是：首先把x除以2，再求其反正弦值，最后再进行平方运算。因此，可以分解出3个简单函数：y＝g(u)＝u2，u＝h(v)＝arcsinv，

v＝φ(x)＝。由它们进行复合即为原来的函数：y＝f(x)＝＝(g

h

φ)(x)或f＝g

h

φ。。。。。。。。。(arcsin)2x2__x2__。。。。(arcsin)2x2__例1若f(x)＝x2，g(x)＝x－3，试求复合函数f1.2.3反函数由定义可以看出：(1)单调函数一定存在反函数；(2)f－1的定义域就是f的值域，f－1的值域就是f的定义域。求已知函数的反函数的步骤可以归纳为以下两步：(1)从等式y＝f(x)中解出x，得x＝f

－1(y)；(2)在(1)所求出的式子中将x和y互换，得反函数表达式y＝f－1(x)。继续点击1.2.3反函数由定义可以看出：(1)单调函数一定存在反1.2.4初等函数(1)基本初等函数下面六类函数统称为基本初等函数：a.常数函数y＝C(C为常数)；b.幂函数y＝xα(α为常数)；c.指数函数y＝ax(a为常数，且a＞0，a≠1)；d.对数函数y＝logax(a为常数，且a＞0，a≠1)；e.三角函数y＝sinx，y＝cosx，y＝secx，y＝tanx，

y＝cotx，y＝cscx；f.反三角函数y＝arcsinx，y＝arctanx，y＝arccosx，

y＝arccotx。(2)初等函数定义1.10由基本初等函数经过有限次四则运算和有限次函数复合运算构成的，并在定义域内可以用一个表达式表示的函数，称为初等函数。继续点击1.2.4初等函数(1)基本初等函数下面六类函数统称为基1.3初等数学模型1.3.1数学模型的概念构造数学模型过程主要包括下列三个步骤：

(1)建立模型：从实际问题中抽象、简化、提炼出数学问题；

(2)数学解答：对所提出的数学问题求解；

(3)模型检验：将所求得的答案返回到实际问题中去，检验其合理性，并进一步对现实问题总结出所满足的数学规律。1.3初等数学模型1.3.1数学模型的概念构造数学1.3.2微积分与数学模型的关系

历史上，微积分中的主要原理，就来源于几个极为辉煌的数学模型：

微积分的基础——极限概念来源于“无穷小”模型。我国春秋时期的《庄子》中所说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，可以说是无穷小认识的萌芽。公元3世纪时，我国数学家刘徽把庄子中的无穷小概念应用于计算“圆田”和“弧田”的面积。他先在圆内作内接正六边形，计算其面积，再继续算出正十二边形、正二十四边形面积等等。刘徽认为，随着圆内接正多边形边数的增加，其面积将不断扩大，但不会大于圆面积。同时刘徽指出“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣”。这是无穷小思想的早期应用。所以，微积分根本上起源于人类用数学手段解决实际问题的需要。反过来，一切可以用连续变量的函数描述的数学模型，无不以微积分理论为基础。这也说明了微积分的重要性。1.3.2微积分与数学模型的关系历史上，微积分中的主要1.3.3初等数学模型的例子1.3.3初等数学模型的例子1.4函数极限1.4.1数列的极限

(1)数列及其变化趋势数列：

以正整数n为自变量的函数an＝f(n)，我们称为整变量函数，把它的函数值按自变量n从小到大的顺序写出来：a1，a2，…，an，…这就是数列，记为｛an｝。数列极限：我们先从一个例子来分析数列的变化趋势，并由此引出数列极限的概念。

《庄子》中所说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”，其中蕴含着深刻的极限思想。如果令天数为n，则第n天后余下部分长为

an＝尺(n＝1，2，…)，这样就得到了一个数列。当正整数n无限增大时，数列an＝无限趋近于数0。n2n｛｝n2nn2n继续点击1.4函数极限1.4.1数列的极限(1)数列及(2)数列极限的定义定义1.11

设有数列｛an｝和常数A。若当n无限增大时，an无限趋近于A，则称数列｛an｝以A为极限，或称数列｛an｝收敛于A，记作：

或an→A(n→∞时)。

否则，称数列｛an｝的极限不存在，或者说数列｛an｝是发散的。liman＝An→∞数列极限的几何解释：将数A和数列各项a1，a2，a3，…在数轴上的对应点标出来，容易看出，若A是｛an｝的极限，则当n无限变大时，点an与点A的距离|an－A|无限变小，即只要n充分大，|an－A|可以任意小。在数轴上的A点附近聚集了数列｛an｝的无穷多个点，而且离A点越近越密集，因此我们也称数列｛an｝的极限值(极限点)为其聚点(如下图)。继续点击(2)数列极限的定义定义1.11liman＝An→∞数列1.4.2函数的极限１２３４后页后页1.4.2函数的极限１２３４后页后页

(1)x趋于无穷大时函数f(x)的极限当|x|无限增大时，f(x)＝对应的函数值f(x)无限地趋近于0（如下图），这时称x趋于无穷大时，f(x)以0为极限。定义1.12

设函数f(x)对于绝对值无论怎样大的x值是有定义的。若当|x|无限增大时，对应的函数值f(x)无限趋近于某一常数A，则称常数A为函数f(x)当x趋向于无穷大时的极限。记作：或f(x)→A

(x→∞)。limf(x)＝An→∞A(1)x趋于无穷大时函数f(x)的极限定义1.12lim从几何意义上看，极限表示：随着|x|无限增大，曲线y＝f(x)上对应的点与直线y＝A的距离无限变小，即曲线y＝f(x)以直线y＝A为渐近线(如图)。limf(x)＝An→∞由以上定义，我们不难证明：定理1.1存在且为A的充分必要条件是与都存在且都等于A。limf(x)n→∞limf(x)n→－∞limf(x)n→＋∞返回从几何意义上看，极限表示：limf(x)＝

(2)x趋于某确定有限数时函数f(x)的极限以下我们均假设函数f(x)在点x0的某个去心邻域内有定义，如果在变量x→x0(x≠x0)的过程中，对应的函数值f(x)无限接近于确定的常数A，就说当x→x0时函数f(x)的极限为A。这种类型的极限称为函数在有限点x0处的极限。例如，由于x≠1时f(x)＝g(x)，所以由上面的说明就可得出函数f(x)在有限点x0处的极限的精确定义。limf(x)x→１＝limg(x)x→１＝２。定义1.13设函数f(x)在点x0的某一邻域内有定义(x0可以除外)，若当x无限趋近于x0(但不等于x0)时，对应的函数值f(x)无限趋近于某一常数A，则称常数A为函数f(x)当x趋于x0时的极限，记作：limf(x)＝Ax→x0或f(x)→Ａ(x→x0)(2)x趋于某确定有限数时函数f(x)的极限limf(x从几何意义上看，极限表示：当x无限靠近x0(但x≠x0)时，曲线y＝f(x)上的点(x，f(x))将无限地靠近点

(x0，A)(如下图)。例极限不存在的例子：当x→0时，函数f(x)＝sin没有极限。1x从正弦函数的图象易见该极限是不存在的，它没有任何渐近线。当x越来越接近于零时，对应的函数值越来越频繁地在－1与1之间摆动。返回从几何意义上看，极限表示：例极限不存在的例子：1

(3)单侧极限

由于在x→x0的过程中，x既可以是x0左侧的点，也可以是x0右侧的点。但有的函数仅在x0的左邻域有定义，或者我们只需要研究函数在x0的左邻域的变化情况，为了明确起见，我们引进函数的“左极限”概念。函数f(x)在x0处存在左极限，就是指x

从x0的左侧趋向于x0时，对应的函数f(x)值趋向于一个定数A。类似地有“右极限”概念。它们的定义是：定义1.14如果当x从x0的左侧趋近于x0时，函数f(x)的对应值趋近于常数A，那么称常数A为函数f(x)当x从左侧趋向于x0时的左极限。记作：类似地，可定义右极限。limf(x)＝Ax→x0－或f(x0－0)＝A。limf(x)＝Ax→x0＋，或f(x0+0)＝A。(3)单侧极限

由于在x→x0的过程中，x既可以是左极限与右极限通称为单侧极限。容易证明：定理1.2的充要条件是limf(x)＝Ax→x0limf(x)＝x→x0limf(x)＝Ａ。x→x0－＋返回左极限与右极限通称为单侧极限。容易证明：定理1.2lim

(4)极限的简单性质

＞0，同时在x1的附近的点的函数值也是正的。B＜0，同时在x2附近的点的函数值也是负的。（如图）limf(x)＝Ax→x0由上面的说明就可得出函数f(x)在x0处的极限值的符号与x0点附近(即某去心邻域)的点的函数值的符号的关系。定理1.3如果，而且A＞0(或A＜0)，那么总存在点x0的某去心邻域(x0－δ，x0)∪(x0，x0+δ)，使对该邻域内的任意点x总有f(x)＞0(或f(x)＜0)。limf(x)＝Ax→x0(4)极限的简单性质limf(x)＝Ax→x0由上定理1.4如果，而且在x0的某邻域内(可以不包括x0)f(x)≥0(或f(x)≤0)，那么有A≥0(或A≤0)。limf(x)＝Ax→x0返回定理1.4limf(x)＝Ax→x0返回1.5无穷大量与无穷小量1.5.1无穷大量定义1.15

在某一自变量的变化过程中，如果相应的函数值的绝对值无限增大，那么称此函数为无穷大量(简称无穷大)。“绝对值无限增大”包含以下两种特殊情形：

(1)函数值大于零，且绝对值无限增大。此时称函数为正无穷大量(简称正无穷大)；

(2)函数值小于零，且绝对值无限增大。此时称函数为负无穷大量(简称负无穷大)。继续点击前页前页1.5无穷大量与无穷小量1.5.1无穷大量定义1.151.5.2无穷小量定义1.16

在某一自变量的变化过程中，极限为零的函数称为无穷小量(简称无穷小)。性质1

有限个无穷小的代数和还是无穷小。性质2有界变量与无穷小量的乘积是无穷小。由性质2可得下面推论：推论1常数与无穷小量的乘积仍然是无穷小量。推论2

有限个无穷小的乘积仍是无穷小。1.5.2无穷小量定义1.16性质1由性质2可得下面推论有极限的变量与无穷小量之间有着密切的关系。定理1.5

f(x)＝A的充分必要条件是f(x)＝A+α(x)，其中α(x)是无穷小量(x→x0时)。limf(x)＝Ax→x0注意：所谓某一函数或某一变量是无穷大量或无穷小量都是相对于某一自变量的变化过程来说的，离开了这一点，单纯讲某变量是无穷大量或无穷小量是无意义的，除非根据上下文可以不言自明。有极限的变量与无穷小量之间有着密切的关系。定理1.5li1.5.3无穷小量与无穷大量的关系关于无穷小量与无穷大量的关系有如下定理：定理1.6在自变量x的某一变化过程中：

(1)如果f(x)是无穷大量，那么是无穷小量；

(2)如果f(x)是非零无穷小量，那么是无穷大量。１f(x)１f(x)在求极限时，经常要用到无穷小量与无穷大量的这种倒数关系。1.5.3无穷小量与无穷大量的关系关于无穷小量与无穷大1.5.4无穷小量的比较无穷小量虽然都是极限为零的变量，但它们趋于零的速度有快有慢。例如，有一个正方形的金属薄片，它的边长为1。因为受热，边长增加了η，从而面积的增量是ΔS＝(1+η)2－12＝2η+η2。如果η是无穷小量，那么2η、η2也是无穷小量，但它们趋于零的速度是不一样的。列表比较如下：η0.50.10.010.001…2η10.20.020.002…η20.250.010.00010.000001…1.5.4无穷小量的比较无穷小量虽然都是极限为零的变量定义1.17设α、β是同一极限过程中的两个无穷小量。如果＝0，那么称α是比β高阶的无穷小，记作

α＝o(β)；如果＝∞，那么称α是比β低阶的无穷小；如果＝C(C为非零常数)，那么称α与β是同阶无穷小。在同阶无穷小中，如果＝1，那么称α与β是等价无穷小，记作α～β。limαβlimαβlimαβlimαβ定义1.17limαlimαlimαlimα1.6.1极限运算性质假设C是常数，并且极限f(x)和g(x)都存在，则有：例试证明极限运算的和性质：。证设，，则由定理1.5