角平分线的性质与判定课件

角平分线的性质与判定角平分线的性质与判定∵CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，BC=CD∴∠BAC=∠DAC，导入练习ABCD如图，四边形ABCD中，BC=CD，CB⊥AB于Ｂ，

CD⊥AD

于Ｄ．求证：AB=AD．∠B=∠D=900，

∴∠ACB=∠ACD，∴AB=AD．证明：连接AC．(角的平分线的判定）（角的平分线的性质）∵CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，BC=CD导入练习ABCD应用练习如图1，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．

2如图2，DE⊥AB于E

，DF⊥AC于F

，BE=FC

，

BD=CD

，求证：点Ｄ在∠BAC的平分线上．图1图2应用练习如图1，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于例1如图，BE是∠MBC的平分线，CE是∠NCB的平分线，连接AE，求证：AE平分∠MAN．证明：过点E作EH⊥AM于H，

ED⊥BC于D，EP⊥AN于P．

∵BE是∠MBC的平分线，∴

EH=ED,同理EP=ED,∴

EH=EP,∴点E在∠MAN

的平分线上，∴AE平分∠MAN

．DPH例1如图，BE是∠MBC的平分线，CE变式一如图，BE是∠MBC的平分线，AE平分∠MAN，求证：CE是∠NCB的平分线．HPD变式一如图，BE是∠MBC的平分线，AE平分变式二如图，∠ABC和∠BAC的平分线交于点F,求证：点F在∠ACB的平分线上.FABCDEH变式二如图，∠ABC和∠BAC的平分线交于点F例2如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：M是BC的中点．证明：过M作ME⊥AD于E，

∵∠B=∠C=90°，∴MC⊥DC于C，

MB⊥AB于B，∵DM平分∠ADC，AM平分∠DAB

，∴MC=ME=MB，即M是BC的中点．点拨：本题利用的是角平分线的性质定理，由角平分线上的点向角的两边作垂线是常用辅助线．E例2如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠A

如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，M是BC的中点，

求证：AM平分∠DAB

．

变式：E

如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，想一想：线段DC、AB与DA之间有何数量关系？请证明你的猜想．引伸：E如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，学法指导1．在证角相等或线段相等时，如果能用角平分线的性质和判定证题，就要选用这两种方法，简捷地解题．避开“用全等的方法证明”这一习惯思维模式的干扰．2．已知角平分线（或证明角平分线）时，常过平分线上的点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等证明问题．另外在有些复杂图形中要善于发现角平分线的基本图形，并能够结合图形写出相关的数学符号语言，进一步完成关于角的相等或线段相等证明的有关问题．学法指导1．在证角相等或线段相等时，如果能用角平分线的性质和1.如图，现有三条两两交汇的公路旁修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离相等，可供加油站选址处有（）处。A1B2C3D4作业1.如图，现有三条两两交汇的公路旁修建一个加油站，2.如图，在△ABC中，∠B

=90°，AB=7，BC=24，AC=25，（1）△ABC内是否有一点P到各边的距离相等？如果有，请作出这一点，并说明理由；（2）求这个距离．作业2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3.如图，BN平分∠ABC，P为BN上任意一点，PD⊥BC于D，且AB+BC=2BD，求证：∠BAP+∠BCP=180°．作业3.如图，BN平分∠ABC，P为BN导入练习如图，四边形ABCD中，BC=CD，CB⊥AB于B，

CD⊥AD于D.求证：AB=AD．ABCD导入练习如图，四边形ABCD中，BC=CD，CB角平分线的性质与判定角平分线的性质与判定∵CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，BC=CD∴∠BAC=∠DAC，导入练习ABCD如图，四边形ABCD中，BC=CD，CB⊥AB于Ｂ，

CD⊥AD

于Ｄ．求证：AB=AD．∠B=∠D=900，

∴∠ACB=∠ACD，∴AB=AD．证明：连接AC．(角的平分线的判定）（角的平分线的性质）∵CB⊥AB于B，CD⊥AD于D，BC=CD导入练习ABCD应用练习如图1，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，求证：DE=DF．

2如图2，DE⊥AB于E

，DF⊥AC于F

，BE=FC

，

BD=CD

，求证：点Ｄ在∠BAC的平分线上．图1图2应用练习如图1，AB=AC，BD=CD，DE⊥AB于例1如图，BE是∠MBC的平分线，CE是∠NCB的平分线，连接AE，求证：AE平分∠MAN．证明：过点E作EH⊥AM于H，

ED⊥BC于D，EP⊥AN于P．

∵BE是∠MBC的平分线，∴

EH=ED,同理EP=ED,∴

EH=EP,∴点E在∠MAN

的平分线上，∴AE平分∠MAN

．DPH例1如图，BE是∠MBC的平分线，CE变式一如图，BE是∠MBC的平分线，AE平分∠MAN，求证：CE是∠NCB的平分线．HPD变式一如图，BE是∠MBC的平分线，AE平分变式二如图，∠ABC和∠BAC的平分线交于点F,求证：点F在∠ACB的平分线上.FABCDEH变式二如图，∠ABC和∠BAC的平分线交于点F例2如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，求证：M是BC的中点．证明：过M作ME⊥AD于E，

∵∠B=∠C=90°，∴MC⊥DC于C，

MB⊥AB于B，∵DM平分∠ADC，AM平分∠DAB

，∴MC=ME=MB，即M是BC的中点．点拨：本题利用的是角平分线的性质定理，由角平分线上的点向角的两边作垂线是常用辅助线．E例2如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠A

如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，M是BC的中点，

求证：AM平分∠DAB

．

变式：E

如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，AM平分∠DAB，想一想：线段DC、AB与DA之间有何数量关系？请证明你的猜想．引伸：E如图，∠B=∠C=90°，DM平分∠ADC，学法指导1．在证角相等或线段相等时，如果能用角平分线的性质和判定证题，就要选用这两种方法，简捷地解题．避开“用全等的方法证明”这一习惯思维模式的干扰．2．已知角平分线（或证明角平分线）时，常过平分线上的点向角的两边作垂线段，利用角平分线上的点到角的两边的距离相等证明问题．另外在有些复杂图形中要善于发现角平分线的基本图形，并能够结合图形写出相关的数学符号语言，进一步完成关于角的相等或线段相等证明的有关问题．学法指导1．在证角相等或线段相等时，如果能用角平分线的性质和1.如图，现有三条两两交汇的公路旁修建一个加油站，使加油站到三条公路的距离相等，可供加油站选址处有（）处。A1B2C3D4作业1.如图，现有三条两两交汇的公路旁修建一个加油站，2.如图，在△ABC中，∠B

=90°，AB=7，BC=24，AC=25，（1）△ABC内是否有一点P到各边的距离相等？如果有，请作出这一点，并说明理由；（2）求这个距离．作业2.如图，在△ABC中，∠B=90°，AB=3.如图，BN平分∠ABC，