机械制图直线和平面平面和平面的相对位置市公开课金奖市赛课一等奖课件

第五章

直线与平面、平面与平面相对位置（编制李小平）第1页本章目录§5-1平行问题§5-2相交问题§5-3垂直问题§5-4综合问题解题示例第2页§5-1平行问题一、直线和平面平行二、平面和平面平行

本章介绍它们投影特征和作图方法。直线与平面、平面与平面相对位置可能是平行、相交或垂直。第3页一、直线和平面平行定理

假如平面外一条直线和平面内一条直线平行，那么这条直线和这个平面平行。QABCD第4页

相关直线与平面平行作图问题：作直线∥已知平面。作平面∥已知直线。判断已知直线、平面是否平行。第5页2’2例1含点I(1,1’)作平面与直线AB(ab,a’b’)平行。1’3’13a’abb’X

作法(1)过点Ⅰ作直线ⅠⅢ与AB平行(2)含直线ⅠⅢ作一任意平面。图5-1第6页例2判断直线AB与△ⅠⅡⅢ是否平行。图5-2a’b’3’2’1’ab312x

作法

(1)在平面任一投影中，作面内直线CF∥AB同面投影。(2)求CF另一投影，并判断直线CF是否∥AB。d’f’c’fdc第7页特殊情况

若直线与某一投影面垂直面平行，则它们在该投影面上投影一定平行。X直线投影∥平面有积聚性同面投影,它们在空间必相互平行第8页特殊情况

若直线与平面同时垂直某一投影面，则它们空间一定平行。X直线与平面对某一投影面同时有积聚性,它们在空间必相互平行。PH第9页二、平面和平面平行定理

假如一个平面内相交两直线与另一个平面内相交两直线对应平行，那么这两个平面平行。PQABCDC1D1A1B1第10页

相关两平面平行作图问题：作平面∥已知平面。判断两已知平面是否平行。第11页例含点A1作平面平行定平面(A2B2×A2C2)。c2Xa1’a2’

b2’

b2

a1a2c2’b1’

b1c1’

c1图5-3第12页c2Xa2’

b2’

b2a2c2’

b1b1’a1’c1’

a1

c1例判断两平面是否平行。

分析：若两面相互平行，则它们有一对相互平行相交直线。第13页讨论相互平行两投影面垂直面，它们一对有积聚性同面投影必平行。xa’cabc’b’1231’2’3’d’d图5-4若两正垂面相互平行，则它们正面投影相互平行。第14页若两铅垂面相互平行，则它们水平投影相互平行。X第15页x1231’2’3’

分析：若两面相互平行，则它们有积聚性同面投影相互平行。PV例含点A1作平面平行平面△ⅠⅡⅢ

。aa’第16页§5-2相交问题一、特殊线、面与普通直线或平面相交二、普通直线与普通平面相交三、两普通位置平面交线第17页相交问题

直线与平面不平行时即相交，交点是直线与平面共有点；

两平面不平行时必相交，其交线是两平面共有线。第18页一、特殊位置线、面与普通位置直线或平面相交

交点、交线为线与面、面与面二者所共有，假如其中有一个处于垂直投影面特殊位置，则可利用其投影积聚性直接求出交点或交线一个投影，另外投影可依据其在线上（或在面内）特点按投影关系求出。第19页假如平面为投影面平行面或投影面垂直面，则可利用平面投影积聚性直接定出交点一个投影。1.特殊位置平面与普通位置直线相交第20页例求直线AB与铅垂面EFGH交点K。K求出交点后，对于直线与平面投影重合部分，要判别直线可见性。第21页（1）求出交点后，对于直线与平面投影重合部分，要判别直线可见性（不重合部分都是可见）。（2）交点是直线可见部分与不可见部分分界点。（3）判别方法

A.直接观察;B.利用交叉直线重影点。关于直线可见性判别第22页k1’(2’)xc’e’d’a’b’cabed例求直线AB与铅垂面△CDE交点K。

分析

利用铅垂面水平投影积聚性求交点图5-512k’第23页例求AB与P平面交点。

分析利用PV积聚性求交点。k’abPHPVa’b’xpx图5-6k第24页1’xc’e’d’a’（b’）cabed例求正垂线AB与△CDE交点K。

分析

利用线V面投影积聚性确定交点一个投影，依据点在面上求出交点另一投影。12k’2’k特殊位置直线与普通位置平面相交第25页

两平面不平行时必相交，其交线是两平面共有线，是平面可见部分与不可见部分分界限。

两平面交线是直线。所以，求作两平面交线方法是：求出交线上两个点，在两个平面公共范围处连出交线。两平面相交第26页2.特殊位置平面与普通位置平面交线当相交两平面之一为特殊位置平面时，可利用它投影积聚性直接求出交线上两个点，然后连成交线。第27页de’a’ab

b’Xed’f’fcc’kl例求△DEF(⊥H面)与△ABC交线KL。

分析利用dfe积聚性，求两平面交线。k’1’(2’)12（1）求出交线后，对于两平面同面投影重合部分，要判别可见性（不重合部分都是可见）。（2）交线是可见部分与不可见部分分界限。（3）判别方法—

A.直接观察;B.利用交叉直线重影点。图5-7l’第28页(a)全交(b)互交两平面相交两种情况

全交：一个平面全部穿过另一个平面;

互交：两个平面边线相互穿过。第29页

分析利用水平面e’f’g’积聚性求两平面交线。e’c’g’f’1’efg1d’b’a’k’l’labcdkx例求△EFG(∥H面)与平面ABCD交线，并判断可见性。图5-8

本题中两平面图形只有部分互交。求交时要注意除去交线多出部分。第30页当两平面同时垂直某一投影面时，它们交线也是此投影面垂直线。第31页xe’g’f’efgc’b’a’abc例求两面交线。第32页各种位置平面间交线第33页例3求矩形平面与两个共边三角形平面交线。

分析

利用水平面投影积聚性求两平面交线。

水平面与两三角形交线是水平线，而且与对应底边平行。xc’s’1’a’b’cabs12图5-102’第34页当直线和平面都处于普通位置时，交点求法是：含已知直线作辅助平面;求辅助平面与已知平面交线;交线与已知直线交点即为所求。为了作图方便，应选择特殊位置平面作为辅助平面。二、普通位置直线与普通位置平面相交Pk第35页PV例1求直线DE与平面△ABC交点。aa’gg’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’图5-12第36页aa’bb’c’ckXdd’e’ek’1(2)3’(4’)432’1’例1求直线DE与平面△ABC交点。

利用两交叉直线重影点判别直线可见性。图5-12第37页解法一空间分析：含点与一直线作平面，求与另一直线交点。a’f’2’3’g’4’1’x2a34k1PVfgk’b’b例2含点A作直线AB使与交叉直线ⅠⅡ、ⅢⅣ都相交。图5-13ABKⅢⅣⅡⅠ第38页B解法二空间分析：含点和两直线分别作面，求两面交线与一直线交点。解法三空间分析：将一直线变成投影面垂直线，利用积聚性，作直线AB与二交叉直线垂直相交AKⅢⅣⅡⅠ例2含点A作直线AB使与交叉直线ⅠⅡ、ⅢⅣ都相交。图5-14第39页例3求AB与两三角形交点。

作法作正垂面Q求AB与两三角形交点。a’b’f1’xa3’4’1’2’f2’k2’k1’e1’e2’f1f2k1e1k2e2b3124(m)nQVn’m’图5-15第40页三、两普通位置平面交线惯用方法：1线面交点法

2.辅助平面法第41页1.线面交点法当相交两平面都用平面图形表示，且同面投影有相互重合部分时，可用求直线和平面交点方法找出交线上两个点。第42页QV例求△ABC和△DEF交线。（求交点）aa’gf’fbb’c’ckXdd’e’ehg’h’k’RVll’aa’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’图5-16第43页aa’f’fbb’c’ckXdd’e’ek’ll’1’2’1(2)3’(4’)3’4’例求△ABC和△DEF交线。（判别可见性）图5-16f’kaa’fbb’c’cXdd’e’ell’k’第44页

若线段投影与另一平面图形投影不重合，就表明该线段在空间不直接与平面图形相交（需将平面图形扩大后才有交点），则不宜选这类直线来求交点。使用线面交点法时注意：第45页2.辅助平面法图5-17

作图原理求P、Q平面交线时，任作平面S1，使与Q相交得交线L1，与P相交得交线L2；L1、L2交点I为P、Q、S1三面共有点，即P、Q交线上一个点。再作平面S2，又可得到交线上另一个交点Ⅱ。连接IⅡ即P、Q交线。第46页b’例求△ABC和平面(L1∥

L2)交线。c’a’xabc1’12’3’23S1VS2Vl2’l1’l2l1k1k1’图5-18k2’k2第47页§5-3垂直问题一、直线和平面垂直二、两平面垂直第48页一、直线和平面垂直定理

假如一条直线和一个平面内两条相交直线垂直，那么这条直线垂直于这个平面。∵直线L⊥平面P内两相交直线AB、CD,则L⊥P面LBACDP第49页直线与平面垂直投影特征：直线水平投影⊥平面内水平线水平投影，直线正面投影⊥平面内正平线正面投影。c’CKAkeMBEFfabcHe’cbaa’b’f’fedd’k’km’mX∵m’k’⊥e’f’,mk⊥ad,∴MK⊥△ABC所确定平面。第50页

相关直线与平面垂直作图问题：作直线⊥已知平面；作平面⊥已知直线。判断已知直线、平面是否垂直。第51页QH例1含点E作直线垂直于△ABC，并求垂足。aa’bb’c’e’k’cke12’21’3’4’43f’fX图5-21

分析先求平面垂线，然后求垂线与平面交点。第52页(b)已知例求C点到直线AB距离。（分析）aa’bb’c’cX(a)分析示意图PBAKC解题步骤:1.过C点作P面⊥直线AB;2.求AB与P面交点K;3.求垂线CK实长。第53页PVaa’bb’c’dce’1’122’kc’k’k0CK实长例求C点到直线AB距离。（作图）Xed’k’解题步骤:1.过C点作P面⊥直线AB;2.求AB与P面交点K;3.求垂线CK实长。第54页例2已知AB⊥BC，求bc。aa’bb’c’c1’122’343’4’XABCP

分析1.过B点作P面⊥直线AB则BC一定在P面内；2.在P面内求C点。图5-22第55页二、两平面垂直定理如一直线⊥一平面，则包含这直线一切平面都⊥该平面。反之，如两平面相互垂直，则从第一平面内任意一点向第二平面所作垂线，必定在第一平面内。简述如一平面内有一直线垂直于另一平面，则此两平面相互垂直。

两平面垂直条件第56页

相关两平面垂直作图问题：作平面⊥已知平面；判断两已知平面是否垂直。第57页例含点A作平面垂直于△ⅠⅡⅢ。1’2’3’1235’4’5