专题14 动点最值

专题14动点最值之胡不归模型背景故事：从前有个少年外出求学，某天不幸得知老父亲病危的消息，便立即赶路回家.根据“两点之间线段最短”，虽然从他此刻位置A到家B之间是一片砂石地，但他义无反顾踏上归途，当赶到家时，老人刚咽了气，小伙子追悔莫及失声痛哭.邻居告诉小伙子说，老人弥留之际不断念叨着“胡不归？胡不归?看到这里很多人都会有一个疑问，少年究竟能不能提前到家呢？假设可以提早到家，那么他该选择怎样的一条路线呢？这就是今天要讲的“胡不归”问题模型建立：将这个问题数学化，我们不妨设总时间为；，则=—+—:-，由，…•可得--，提取一个!得由，…•可得--，提取一个!得，若想总的时间最少，就要使得二,最小，BBS如图，过定点A在驿道下方作射线AE，夹角为"，且=='.:I，作DG±AE于点G，则&•—，=「"，将;转化为DG+DB，再过点B作BHXAE于点H，交驿道所在直线于点门'，则门'就是我们要找的点，此时DG+DB的最小值为BH，如 DG+DBBU.—■au+Lfu= m—= ，%\v.j - - -”，bEji心曰,/士"ASEWAlH综上，所需时间的最小值为解决思路：构造射线AD使得解决思路：构造射线AD使得sinZDAN=k,即CH=k，CH=kAC.AC将问题转化为求BC+CH最小值，过B点作BHLAD交MN于点C,交AD于H点，此时BC+CH取到最小值，即BC+kAC最小.例题1.如图，△ABC中，AB=AC=10，tanA=2，BELAC于点E，D是线段BE上的一个动点，则CD+*BD的最小值是【解析】：tanA=2，.・・^ABE三边之比为1:2:3，「・sinZAB^-55故作DHLAB交AB于H点，则DH=三5BD.问题转化为CD+DH最小值，故C、D、H5共线时值最小，此时CD+DH=CH=BE=4\5例2.如图，^ABC在直角坐标系中，AB=AC，*，，C（1，0），D为射线AO上一点，一动点P从A出发，运动路径为A9D9C，点P在AD上的运动速度是在CD上的3倍，要使整个运动时间最少，则点D的坐标应为（ ）

A.(0,G))B.(A.(0,G))B.(0,)C.(0,D.(0,罕)【答案】D【解析】假设P在AD的速度为3V,在CD的速度为1V,总时间；=品+：=!［书+4刀"要使t最小，就要号+CD最小，因为AB=AC=3，过点B作BHXAC交AC于点H,交OA于D,易证△ADH^AAC0,所以山C 41） 4Dr=T?7=L所以芋=小’，因为△ABC是等腰三角形，所以BD=CD,所以要AD—厂+"）最小，就是要DH+BD最小，就要B、D、H三点共线就行了.因为AAOCsABOD，所以，即¥=而，所以「叫=牛所以点D的坐标应为（o•亨｝例3.如图，抛物线y=x2-2x-3与x轴交于A、B两点，过B的直线交抛物线于E,且tan4_ 一，NEBA=〒，有一只蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点处觅食，则蚂蚁从A到E的最短时间■—s.【答案】彳、【解析】过点E作x轴的平行线，再过D点作y轴的平行线，两线相交于点H,如图，DH4VEH#AB,AZHEB=ZABE,AtanZHED=tanZEBA^^^=-,

设DH=4m,EH=3m，贝DE=5m,Ay..・蚂蚁从D爬到设DH=4m,EH=3m，贝DE=5m,Ay..・蚂蚁从D爬到E点的时间=「疚=4（s）4m若设蚂蚁从D爬到H点的速度为1单位/s，则蚂蚁从D爬到H点的时间=—=4（s），..・蚂蚁从D爬到E点所用的时间等于从D爬到H点所用的时间相等，..・蚂蚁从A出发，先以1单位/s的速度爬到线段BE上的点D处，再以1.25单位/s的速度沿着DE爬到E点所用时间等于它从A以1单位/s的速度爬到D点，再从D点以1单位/s速度爬到H点的时间，作AGXEH于G，贝AD+DHNAHNAG，「・AD+DH的最小值为AQ的长，当y=0时，X2-2x-3=0，解得x1=-1，x2=3，则A（-1，0），B（3，0），CO一，4直线BE交y轴于C点，如图，在RtAOBC中，：tan/CBO=^=〒，•.・OC=4则C（0，4），设直线BE的解析式为y=kx+b，把B（30），C（0，4）代入得4 竹，.•・直线BE的解析式为b=4解方程组764则E点坐标为64.L蚂蚁从A爬到G点的时间=一= （s），即蚂蚁从A到E的最短时间为£.、.【变式训练1】如图，平行四边形ABCD中，ZDAB=60。，AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则您—PD的最小值等于2BBCBBC【解析】已知ZA=60°，且sin60°=-3，故延长AD,作PH±AD延长线于H点,2即可得PH=兰3PD，..・PB+^3PD=PB+PH.22当B、P、H三点共线时，可得PB+PH取到最小值，即BH的长，解直角疽合丑即可得BH长.【变式训练2】如图，在AABC中，AB=AC=10，tanA=2，BE±AC于点E，D是线段BE上的一个动点，^9广〃+ 心'的最小值是 .4【答案】二4【答案】二【解析】如图，作DHXAB于H，CMXAB于M.VBE±AC，AZAEB=90°，tanAtanA=BEAE设AE=a，BE=2a，则有：100=a2+4a2，」.a2=20，以=».，代一W，，一‘一打"：=如；=\\3AB=AC，BE±AC，CM±AB，CM=1^E=ZDBH=ZABE，ZBHD=ZBEA，.•.CD+DH2CM，.L Ill)M4丁^?(JD+ Hi)的最小值为【变式训练3】如图，平行四边形ABCD中，匕DAB=60°,AB=6,BC=2,P为边CD上的一动点，则叫+率叩的最小值等于Qii A B【解答】过点P作PQXAD,垂足为Q,・「四边形ABCD是平行四边形，.・.DC//AB,,\ZQDP=ZDAB=60°,PQ=PD-sinZQDP=亨肋，:、+手如=*+PQ.・.・当点B、P、Q三点共线时，方十圮虹门有最小值，,「您+上二的最小值为一E，：切：_1•=：",•".课后训练1.如图，在Rt口ABC中，OACB=90°,DB=30°,AB=4，点D、F分别是边AB,BC上的动点，连接CD,过点A作AEUCD交BC于点E,垂足为G,连接GF,则GfRfB的最小值是（ ）C H?' WA.矣T B.矣+1 C.^^一1D.-^-+12 2【解答】解：延长AC到点P,使CP=AC,连接BP,过点F作FHUBP于点H,取AC中点。，连接OG,过点O作OQUBP于点Q,□□ACB=90°,△ABC=30°,AB=4,DAC=CP=2,BP=AB=4□□ABP是等边三角形，□□FBH=30°,□Rt^FHB中，FH=^FB□当G、F、H在同一直线上时，GF+*FB=GF+FH=GH取得最小值■Lu△AEUCD于点G,nnAGC=90°,UO为AC中点，口0刀=0。=06=|^。△A、C、G三点共圆，圆心为0,即点G在UO上运动，□当点G运动到OQ上时，GH取得最小值△RtUOPQ中，UP=60°，OP=3，sinOP^^^i-UOQ=^-OP=^LUGH最小值为写-[故选：C.2.如图，AC是圆O的直径，AC=4，弧BA=120°，点D是弦AB上的一个动点，那么OD+*BD的最小值■Lu为()作BKOCA，DEOBK于E，OMOBK于M，连接OB.OBKOAC，OODBE=OBAC=30°，在RtODBE中，DE=%BD，OOD+§BD=OD+DE，■Lu £_■根据垂线段最短可知，当点E与M重合时，OD仕BD的值最小，最小值为OM，OOBAO=OABO=30°，OOOBM=60°，在RtOOBM中，OOB=2，OOBM=60°，OOM=OB・sin60°=.「3，O§DB+OD的最小值为3，故选：B.3.如图，在平面直角坐标系中，二次函数y=ax2+bx+c的图象经过点」JI.⑴..-气点),C(2,0),其对称轴与x轴交于点D求二次函数的表达式及其顶点坐标；

若P为y轴上的一个动点，连接PD,则可PB+PD的最小值为—；M(x,t)为抛物线对称轴上一动点若平面内存在点N，使得以A，B，M，N为顶点的四边形为菱形，则这样的点N共有—个；连接MA,MB,若ZAMB不小于60°,求t的取值范围.备川用备川用【解答】(1)手=毋小一写重一媚，哮}(2)峪；{a-b-\-c=^ 彳匚=而解得〈―，..•抛物线解析式为4«■十 0 一_丁

在RtAADH中，VZ在RtAADH中，VZAHD=90°,AD=m，ZHAD=60°，sin60°=DH~AD...DH=.~pb+pd的最小值为 一；4.如图，在△ACE中，CA=CE,NCAE=30°,0O经过点C,且圆的直径AB在线段AE上.证明：CE是。。的切线；若^ACE中AE边上的高为h，试用含h的代数式表示。。的直径AB；设点D是线段AC上任意一点(不含端点)，连接OD，当!CD+OD的最小值为6时，是。。的切线;(2)过点是。。的切线;(2)过点C作CHLAB于H，连接OC，如图，由题可得CH=h.在Rt^OHC中，CH=OC»sinZCOH，Ah=OC»sin60°=OC，h,「.AB=2OC=h,「.AB=2OC=2h.•.・OC=h；(3)作OF平分ZAOC,交。O于F,连接AF、CF、DF,如图，:(180°-60°)=:(180°-60°)=60°.则ZAOF=ZCOF^-ZAOC=VOA=OF=OC,AAAOF>ACOF是等边三角形，.•.AF=AO=OC=FC,.・・四边形AOCF是菱形，.•.根据对称性可得DF=DO.过点D作DHLOC于H,VOA=OC,.ZOCA=ZOAC=30°,二DH=DC・sinZDCH=DC・sin30°1=万DC,]・•・万cd+od=dh+fd.根据两点之间线段最短可得：当F、D、H三点共线时，DH+FD(即:CD+OD)最小，此时FH=OF・sinZFOH=^7^OF=6，贝OF=4 ,AB=2OF=8v'，.・•・当77CD+OD的最小值为6时，。0的直径AB的长为8%•潺.5.如图，已知抛物线y=；y(x+2)(x-4)(k为常数，旦k〉0)与x轴从左至右依次交于A,B两点，与y轴交于点C,经过点B的直线y=一土1x+b与抛物线的另一交点为D.若点D的横坐标为-5,求抛物线的函数表达式；若在第一象限内的抛物线上有点P,使得以A,B,P为顶点的三角形与^ABC相似，求k的值；在(1)的条件下，设F为线段BD上一点(不含端点)，连接AF，一动点M从点A出发，沿线段AF以每秒1个单位的速度运动到F,再沿线段FD以每秒2个单位的速度运动到D后停止，当点F的坐标是多少时，点M在整个运动过程中用时最少？

【答案】(1)."=为(-2,U/2)时，点M【答案】(1)."=为(-2,U/2)时，点M在整个运动过程中用时最少.―—；(2)片=—r—或尸=侦：‘；(3)当点F坐标【解析】(1)抛物线 y=司(x+2) (x -4),令y=0,解得x=-2或x=4,「.A (- 2, 0),B(4,0).X4+b=0,解得b=^1,..・X4+b=0,解得b=^1,..・直线BD解析式为：.“=-当x=-5时，y=X,「.D(-5, ：，).k k•.,点D(-5,：»：i)在抛物线y=M(x+2)(x-4)上，「. (-5+2)(-5-4)=：R：i,...•抛物线的函数表达式为:"=(x+2...•抛物线的函数表达式为:"=(x+2)(x-4).即(2)由抛物线解析式，令x=0,得y=-k,「.C(0,-k),OC=k.因为点P在第一象限内的抛物线上，所以ZABP为钝角.因此若两个三角形相似，只可能是△abc^Aapb或^abc^Apab.①若△ABCsAAPB，则有ZBAC=ZPAB,如答图2-1所示.十'.二P(x,设P(x,y)，过点P作PN±x轴于点N,则ON=x,PN=y.tanZBAC=tanZPAB,即：,=,ryx+k)，代入抛物线解析式y=