初三数学压轴题

1.如图，直线

y

x3与

x轴，

y轴分别订交于点

B，点C，经过

B，C两点的抛物线yax2

bx

c与

x轴的另一交点为

A，极点为

P，且对称轴是直线

x

2．1）求A点的坐标；2）求该抛物线的函数表达式；（3）连接AC．请问在x轴上能否存在点Q，使得以点P，B，Q为极点的三角形与△ABC相像，若存在，恳求出点Q的坐标；若不存在，请说明原因．yCx2[解]Q直线yx3与x轴订交于点B，当y0时，x3，点B的坐标为(3，0)．又Q抛物线过x轴上的A，B两点，y且对称轴为x2，依据抛物线的对称性，点A的坐标为(10)，．Cx2OAB（2）Qyx3过点C，易知C(0，3)，c3．P又Q抛物线yax2bxc过点A(1，0)，B(3，0)，xOABab3，a，4x3．P9a3b3．解得．yx20b4（3）连接PB，由yx24x3(x2)21，得P(2，1)，设抛物线的对称轴交x轴于点M，在Rt△PBM中，PMMB1，∠PBM45o，PB2．由点B(3，0)，C(0，3)易得OBOC3，在等腰直角三角形OBC中，∠ABC45o，由勾股定理，得BC32．假定在x轴上存在点Q，使得以点P，B，Q为极点的三角形与△ABC相像．①当BQPB，∠PBQ∠ABC45o时，△PBQ∽△ABC．BCAB即BQ2，BQ3，又QBO3，点Q与点O重合，Q1的坐标是(0，0)．322②当QBPB，∠QBP∠ABC45o时，△QBP∽△ABC．ABBC即QB32，QB2．QOB3，OQOBQB327，22333Q2的坐标是7，．30Q∠PBx180o45o135o，∠BAC135o，∠PBx∠BAC．点Q不行能在B点右边的x轴上综上所述，在x轴上存在两点Q1(0，0)，Q27，0，能使得以点P，B，Q为极点的三角3形与△ABC相像。2.（河南卷）二次函数y1x2的图象如下图，过y轴上一点M0，2的直线与抛物线8交于A，B两点，过点A，B分别作y轴的垂线，垂足分别为C，D．1）当点A的横坐标为2时，求点B的坐标；2）在（1）的状况下，分别过点A，B作AE⊥x轴于E，BF⊥x轴于F，在EF上能否存在点P，使∠APB为直角．若存在，求点P的坐标；若不存在，请说明原因；（3）当点A在抛物线上运动时（点A与点O不重合），求ACgBD的值．12，此中x0．Q点A的横坐标为2，[解]（1）依据题意，设点B的坐标为x，x81．QAC⊥y轴，BD⊥y轴，M0，2，AC∥BD，MC3A2，，221BDMDx1x22x22．Rt△BDM∽Rt△ACM．8．MDACMC．即3822解得x12（舍去），x28．B8，8．2）存在．连接AP，BP．由（1），AE1，BF8，EF10．设EPa，则PF10a．2QAE⊥x轴，BF⊥x轴，∠APB90o，△AEP∽△PFB．AEEP．1a．解得a2a521．经查验a521均为原方程的解．PFBF108点P的坐标为321，0或3210，．（3）依据题意，设12，B12，不如设m0，n0．Am，mn，n88由（1）知BDMD，ACMC则n1n22或n21n2818．m12m222mm88化简，得mn16mn0．Qmn≠0，mn16．ACgBD16．3.(湖北湛江课改卷）已知抛物线yax2bx2与x轴订交于点1，A(x，0)B(x2，0)(x1x2)，且x1，x2是方程x22x30的两个实数根，点C为抛物线与y轴的交点．1）求a，b的值2）分别求出直线AC和BC的分析式；（3）若动直线ym(0m2)与线段AC，BC分别订交于D，E两点，则在x轴上是否存在点P，使得△DEP为等腰直角三角形？若存在，求出点P的坐标；y[解]（1）由x22x30，得x11，x23．32121123x4A(1，0)，B(3，0)，把A，B两点的坐标分别代入yax2bx2联立求解，得a2，b4．33（2）由（1）可得y2x24x2，Q当x0时，y2，C(0，2)．33设AC:ykxb，把A，C两点坐标分别代入ykxb，联立求得k2，b2．直线AC的分析式为y2x2．同理可求得直线BC的分析式是y22．x3（3）假定存在知足条件的点P，并设直线ym与y轴的交点为F(0，m)．①当DE为腰时，分别过点D，E作DP1xPEP2x轴于P2，如图，则轴于1，作△PDE1和△P2ED都是等腰直角三角形，DEDP1FOEP2m，yABx2x14．QDE∥AB，△CDE∽△CAB，DECFm2m4ABOC，即4．解得m．23点D的纵坐标是4，Q点D在直线AC上，32x4，解得x1142，D，．3333P11，，同理可求P2(1，0)．03②当DE为底边时，过DE的中点G作GP3x轴于点P3，如图，则DGEGGP3m，由△CDE∽△CAB，

C(0，2)DFEymA(10)，P1OP2B(3，0)xyC(0，2)ymDFGEA(1，0)OP2B(3，0)x得DECF2m2mm1AB42OC同1方法．求得D1，，E3，，2121DGEGGP31OP3FGFEEG1，P31，．202联合图形可知，P3D2P3E22，ED24，ED2PD2PE2，△DEP3是Rt△，P31，也知足条件．3320综上所述，知足条件的点P共有3个，即P11，，P2，，1，20(10)P3204.在矩形

ABCD中，

AB

4，BC

2，以

A为坐标原点，

AB所在的直线为

x轴，建立直角坐标系．而后将矩形

ABCD绕点

A逆时针旋转，使点

B落在

y轴的

E点上，则C和D点挨次落在第二象限的F点上和x轴的G点上（如图）．（1）求经过B，E，G三点的二次函数分析式；（2）设直线EF与（1）的二次函数图象订交于另一点H，试求四边形EGBH（3）设P为（1）的二次函数图象上的一点，BP∥EG，求P点的坐标．（1）解：由题意可知，AEAB4，AGADBC2．

的周长．B(4，0)，E(0，4)，G(2，0)．设经过B，E，G三点的二次函数分析式是ya(x2)(x4)．把E(0，4)代入之，求得1．3分a2∴所求的二次函数分析式是：y1(x2)(x4)1x2x4．22（2）解：由题意可知，四边形AEFG为矩形．∴FH∥GB，且GB6．∵直线y4与二次函数图象的交点H的坐标为H(2，4)，EH2．G与B，E与H对于抛物线的对称轴对称，∴BHEG422225．∴四边形EGBH的周长26225845．（3）设BP交y轴于M．∵BP∥EG，y∴AB:AGAM:AE，即4: