结构动力学简介解析课件

第10章结构动力学简介山东农业大学结构力学课程组第10章结构动力学简介山东农业大学结构力学课程组1学习结构动力学应该较扎实地掌握结构静力分析、微积分和常微分方程等相关知识，主要是如下相关内容：1）能熟练的分析计算并绘制结构的弯矩图或内力图（静定结构利用平衡、区段叠加、微分关系等；超静定结构用力法、位移法或力矩分配法等计算分析并作图）；2）能熟练地计算结构的指定位移δij、△ip；3）能熟练地计算结构的指定反力rij、RiP；4）要能熟练掌握常用的微积分知识和常微分方程知识（由加惯性力等之后的动静法可知，动力学问题将是微分方程的求解问题，就本书内容属于常系数常微分方程）；

5）要熟练的掌握线性代数（矩阵的表达、运算和矩阵方程的求解）。学习结构动力学应该较扎实地掌握结构静力分析、微积分2如果对上述内容掌握的不好或已经有所遗忘，必须进行适当的复习（不一定系统复习，可以涉及什么问题时复习什么内容），要力争达到上述要求。“勤思、多练”，这是学习任何理工科课程共同的学习方法。勤思——要抓住基本思想、基本方法将书读薄；多练——由于涉及数学知识比静力分析稍难，多数内容不自行动手推一推，最多仅仅能达到牢记，而不能达到掌握。通过一定的习题练习，进一步理解和巩固理论知识，从中总结解决问题的技巧、经验，这是“熟能生巧”必不可少的。如果对上述内容掌握的不好或已经有所遗忘，必须进行适当的3结构动力学与工程实际有着十分密切的关系，它在结构振动实验、结构健康检测和诊治、结构工程、地震工程、风工程、动力基础工程、海洋工程、船舶工程、航空工程和汽车工程等实际工程领域都得到十分广泛的应用。实际工程不同，动力分析的内容也可能有所不同，但最基本的力学原理和方法（当然包括动力学原理、方法）是普遍适用的，因此学习中应该注意深刻理解和掌握原理和方法，以便能用它解决各种工程问题。本课内容包括：由直接平衡法建立有限自由度体系的运动方程，单自由度体系的振动分析，多自由度体系的振动分析，频率和振型的实用计算方法，结构的地震响应分析等内容。

结构动力学与工程实际有着十分密切的关系，它在结构4参考书目1.杨弗康等编，结构力学（下册），高教出版社2.杨天祥编，结构力学（下册），高教出版社3.龙驭求等编，结构力学（下册），高教出版社参考书目1.杨弗康等编，结构力学（下册），高教出版社2.杨天5动力计算概述单自由度体系的自由振动单自由度体系的强迫振动多自由度体系的自由振动多自由度体系的强迫振动频率的近似计算知识点动力计算概述知识点6教学基本要求了解结构动力计算的特点，能够判断动力计算自由度；掌握单体系振动微分方程的建立方法。掌握单自由度体系在不同的动荷载作用下强迫振动的分析方法以及动力特性。掌握阻尼对单自由度体系动力特性的影响。理解柔度法和刚度法建立振动微分方程的思路。掌握两个自由度体系的频率方程和自振频率的求解，理解主振型和主振型正交性，掌握振型分解法。了解计算频率的几种近似法能够正确计算单自由度体系的固有频率和周期。教学基本要求了解结构动力计算的特点，能够判断动力计算自由度；7重点简谐动荷载作用产生的最大动位移和最大动内力的计算。小阻尼对体系动力特性的影响。求解体系的自振频率和主振型。振型分解法求多自由度体系在动荷载作用下的动力响应重点简谐动荷载作用产生的最大动位移和最大动内力小阻尼对8难点一般动荷载作用下单自由度体系产生的动力响应。求解体系的自振频率和主振型振型分解法求多自由度体系在动荷载作用下的动力响应难点一般动荷载作用下单自由度体系产生的动力响应。求解体系91、动力计算的特点、目的和内容1)特点：静力荷载与动力荷载的特点及其效应。

静力荷载是指其大小、方向和作用位置不随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力可以忽略不计，由它所引起的内力和变形都是确定的。

动力荷载是指其大小、方向和作用位置随时间而变化的荷载。这类荷载对结构产生的惯性力不能忽略，因动力荷载将使结构产生相当大的加速度，由它所引起的内力和变形都是时间的函数。

与静力计算的对比：两者都是建立平衡方程，但动力计算，利用动静法，建立的是形式上的平衡方程。力系中包含了惯性力，考虑的是瞬间平衡，荷载、内力都是时间的函数。建立的平衡方程是微分方程。

§10.1-10.2动力计算概述1、动力计算的特点、目的和内容1)特点：静力荷载与动力荷载的102)目的和内容目的：计算结构的动力反应—内力、位移、速度与加速度，使结构在动内力与静内力共同作用下满足强度和变形的要求。

动力计算的内容：研究结构在动荷载作用下的动力反应的计算原理和方法。涉及到内外两方面的因素：(1）确定动力荷载（外部因素，即干扰力）；(2）确定结构的动力特性（内部因素，如结构的自振频率、周期、振型和阻尼等等），类似静力学中的I、S等；计算动位移及其幅值；计算动内力及其幅值。2)目的和内容目的：计算结构的动力反应—内力、位移、11FP(t)tFP(t)t简谐荷载（按正余弦规律变化）一般周期荷载2、动力荷载分类

按变化规律及其作用特点可分为：

1）周期荷载：随时间作周期性变化。（转动电机的偏心力）2）冲击荷载：短时内剧增或剧减。（如爆炸荷载）FP(t)tFP(t)ttrFPtrFPFP(t)tFP(t)t简谐荷载（按正余弦规律变化）一般周123）随机荷载：(非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无法事先确定。（如地震荷载、风荷载）3）随机荷载：(非确定性荷载)荷载在将来任一时刻的数值无法133、结构的动力特性结构在动荷载下的响应规律，与结构质量、刚度分布和能量耗散等有关。由结构自身上述物理量所确定的、表征结构动力响应特性的一些固有量，称为结构的动力特性。对于动力特性相同的不同结构，在相同的动荷载作用下，它们在质量处的动力响应（位移、速度和加速度等等）是一样的。因此，结构的动力特性是结构动力分析的重要研究内容。结构的动力特性包括以下三方面。

1）结构的自振频率

当结构受到某种外界干扰后会产生位移或速度，但外界干扰消失后结构将在平衡位置附近继续振动，这种振动称为结构的自由振动。

自振频率结构自由振动时的频率称为结构的自振频率或固有频率。

3、结构的动力特性结构在动荷载下的响应规律，与结构质量、刚14自振频率个数：对多数工程结构来说，自振频率的个数与结构的动力自由度数目相等。频率谱：结构自振频率按从小到大顺序排列，称为结构的频率谱。不同类型的结构，频率谱具有不同的特点。对于单跨梁、悬臂梁和不考虑扭转振动的房屋建筑等结构，频率谱中频率的间隔较大，此类频率谱称为稀疏型的。对于连续梁、板、空间结构、考虑扭转振动的房屋建筑等结构，频率谱存在密集区，此类频率谱称为密集型的。

基频：频率谱中最小的频率称为结构的基本频率，简称为基频。其余依次称为第二频率、第三频率等

2）结构的振型当结构按频率谱中某一自振频率作自由振动时,其变形形状保持不变，这种变形形状称为结构的主振型，简称为振型。结构有多少个自振频率，就有多少个相应的振型。自振频率个数：对多数工程结构来说，自振频率的个数与结构的动频15

基本振型：与结构基本频率对应的振型称为结构的基本振型，其余依次称为第二、第三振型等。结构的位移响应：对线性（线弹性）系统，结构的位移响应可用结构振型的线性组合来表示，3）结构的阻尼结构的自由振动其实是势能与动能相互转化的过程。如果在这一过程中没有能量的耗散，则根据能量守恒定律，自由振动将是无衰减的等幅振动。但实际上，结构自由振动总是衰减的，直到最后恢复平衡（静止）。这说明在结构的振动过程中存在着能量耗散，这种能量的耗散作用通常称为阻尼。

产生能量耗散的因素很多，例如结构材料的内摩擦，各构件连接处的摩擦以及周围介质的阻力等。有关阻尼作用机理的研究，目前尚未完全搞清楚。在动力分析中，为了便于数学处理，并尽可能符合实际，目前通常采用等效粘滞阻尼理论（就目前来说，阻尼理论只是一种假设）。它假设能量耗散是由阻尼力引起，作用于质量的阻尼力与质量的运动速度成比例，反映阻尼大小的参数由结构的动力试验确定。

基本振型：与结构基本频率对应的振型称为结构的基本振型，结16

4、动力计算中体系的自由度与静力计算一样，在动力计算中，也需要事先选择一个合理的计算简图。二者选取的原则基本相同，但在动力计算中，由于要考虑惯性力的作用，因此，还需要研究质量在运动中的自由度问题。

实际结构的质量都是连续分布的，严格地说来都是无限自由度体系。计算困难，常作简化如下：

1)集中质量法把连续分布的质量集中为几个质点，将一个无限自由度的问题简化成有限自由度问题。确定体系运动过程中任意时刻全部质量位置所需确定的独立几何参数的个数称为体系的振动自由度。4、动力计算中体系的自由度实际结构的质量都是连续172个自由度y2y12个自由度自由度与质量数不一定相等mm>>m梁m+αm梁II2Im+αm柱厂房排架水平振时的计算简图单自由度体系单自由度体系2个自由度y2y12个自由度自由度与质量数不一定相等mm>>18水平振动时的计算体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块θ(t)v(t)u(t)m1m2m32个自由度水平振动时的计算体系多自由度体系构架式基础顶板简化成刚性块θ19动力自由度数的确定1)

平面上的一个质点W=22)W=2弹性支座不减少动力自由度3)计轴变时W=2不计轴变时W=1为减少动力自由度，梁与刚架不计轴向变形。4)W=15)W=2自由度数与质点个数无关，但不大于质点个数的2倍。6)W=27)W=1动力自由度数的确定1)平面上的一个质点W=22201）与几何组成分析中的自由度不同。

M=ml分布质量，有无限自由度ml有关自由度的几点说明：2）一般采用“集中质量法”，将连续分布的质量集中为几个质点研究。1）与几何组成分析中的自由度不同。M=213）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。

4）结构的自由度与是否超静定无关。2个自由度2个自由度4个自由度静定结构6次超静定结构3次超静定结构3）并非一个质量集中点一个自由度（分析下例）。225）可用加链杆的方法确定动力自由度数。加入最少数量的链杆可以固定结构上所有质点的位置时，则该结构的动力自由度数目即等于所加入链杆的数目。5）可用加链杆的方法确定动力自由度数。加入最少数23y(x,t)x无限自由度体系2)广义座标法：如简支梁的变形曲线可用三角级数来表示

用几条函数曲线来描述体系的振动曲线就称它是几个自由度体系，其中 ——是根据边界约束条件选取的函数，称为形状函数。ak(t)——称广义座标，为一组待定参数，其个数即为自由度数，用此法可将无限自由度体系简化为有限自由度体系。xyxa1，a2，……..any(x,t)y(x,t)x无限自由度体系2)广义座标法：如简支梁的变形曲245、动力计算的方法m…………..运动方程m设其中FP(t)＝FI(t)…………..平衡方程FI(t)－惯性力，与加速度成正比，方向相反改写成虚功原理（拉格朗日方程）哈米顿原理（变分方程）都要用到抽象的虚位移概念根据达朗伯尔原理和所采用的阻尼理论，将惯性力、阻尼力假想地作用于质量上，再考虑作用于结构上的动荷载，结果使动力问题转化成任一时刻都动平衡的静力问题，此即理论力学中的动静法。动力平衡法(直接平衡法)

（达朗伯尔原理）5、动力计算的方法m…………..运动方程m设其中FP(t)＝25

自由振动（固有振动）：静平衡位置m获得初位移ym获得初速度自由振动产生原因：体系在初始时刻（t=0）受到外界的干扰。研究单自由度体系的自由振动重要性在于：1)它代表了许多实际工程问题，如水塔、单层厂房等。2)它是分析多自由度体系的基础，包含了许多基本概念。自由振动反映了体系的固有动力特性。要解决的问题包括：建立运动方程、计算自振频率、周期和阻尼……….

§10.3单自由度体系的振动分析振动过程中仅受弹性恢复力而不受外界干扰力作用的振动。

一、单自由度体系的自由振动自由振动静平衡位置m获得初位移ym获得初速度自由振动产26

1、运动微分方程的建立方法：达朗伯尔原理应用条件：微幅振动（线性微分方程）1)刚度法：研究作用于被隔离的质量上的力，建立平衡方程。m..yj.yd静平衡位置质量m在任一时刻的位移

y(t)=yj+ydk11力学模型.ydmmWFe(t)FI(t)+重力W=mg弹性力

恒与位移反向惯性力……………(a)恒与加速度反向1、运动微分方程的建立方法：达朗伯尔原理应用条件：微幅振动27其中

k11yj=W上式可以简化为或由平衡位置计量。以位移为未知量的平衡方程式，引用了刚度系数，称刚度法。……………(a)2)柔度法：研究结构上质点的位移，建立位移协调方程。..m静平衡位置FI(t)可得与(b)相同的方程刚度法常用于刚架类结构，柔度法常用于梁式结构。其中k11yj=W上式可以简化282、自由振动微分方程的解改写为其中它是二阶线性齐次微分方程，其一般解为：积分常数C1，C2由初始条件确定设t=0

时（d）式可以写成由上式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦运动的合成.2、自由振动微分方程的解改写为其中它是二阶线性齐次微分方程，29

由上式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速度v引起的正弦运动的合成，为了便于研究合成运动,令(e)式改写成它表示合成运动仍是一个简谐运动。其中A（表示质点m的最大动位移）和可由下式确定振幅初相角由上式可知，位移是由初位移y引起的余弦运动和由初速30y0ty-yTTTyt0yt0A-Ay0ty-yTTTyt0yt0A-A313、结构的自振周期和频率由式及图可见位移方程是一个周期函数。Tyt0A-A周期工程频率园频率(角频率、简称为频率）计算频率和周期的几种形式3、结构的自振周期和频率由式及图可见位移方程是一个周期函数。32其中δ11——是沿质点振动方向的结构柔度系数，它表示在质点上沿振动方向加单位荷载使质点沿振动方向所产生的位移。k11——使质点沿振动方向发生单位位移时，须在质点上沿振动方向施加的力。

yj=Wδ11——在质点上沿振动方向施加数值为W的荷载时质点沿振动方向所产生的位移。计算时可根据体系的具体情况，视δ11、k11、yj三参数中哪一个最便于计算来选用。其中33一些重要性质：（1）自振周期与且只与结构的质量和结构的刚度有关，与外界的干扰因素无关。干扰力只影响振幅。（2）自振周期与质量的平方根成正比，质量越大，周期越大（频率越小）；自振周期与刚度的平方根成反比，刚度越大，周期越小（频率越大）；要改变结构的自振周期，只有从改变结构的质量或刚度着手。（3）两个外形相似的结构，如果周期相差悬殊，则动力性能相差很大。反之，两个外形看来并不相同的结构，如果其自振周期相近，则在动荷载作用下的动力性能基本一致,是结构动力特性的重要数量标志。一些重要性质：34例1.计算图示结构的频率和周期。mEIl/2l/21例2.计算图示结构的水平和竖向振动频率。mlA,E,IE,I1E,A111IIEI1=mhk11例3.计算图示刚架的频率和周期。由截面平衡例1.计算图示结构的频率和周期。mEIl/2l/235例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考虑梁的质量，试比较三者的自振频率。解：1）求δP=15l/32P=1l/2据此可得：ω1׃ω2׃ω3=1׃1.512

׃

2结构约束越强,其刚度越大;刚度越大,其自振动频率也越大。l/2l/2l/2l/2l/2l/2mmm例4、图示三根单跨梁，EI为常数，在梁中点有集中质量m，不考361θ例5、求图示结构的自振圆频率。解法2：求

k11θ=1/hMBA=k11h=MBCk11lhmI→∞EIBAC1h解法1：求

δ111θ例5、求图示结构的自振圆频率。解法2：求k11θ=1/37例6、求图示结构的自振频率。lEImk1k11k11k解：求

k11对于静定结构一般计算柔度系数方便。如果让振动体系沿振动方向发生单位位移时，所有刚节点都不能发生转动（如横梁刚度为∞刚架)计算刚度系数方便。一端铰结的杆的侧移刚度为：两端刚结的杆的侧移刚度为：例6、求图示结构的自振频率。lEImk1k11k11k解：求384、简谐自由振动的特性由式可得，加速度为：

在无阻尼自由振动中，位移、加速度和惯性力都按正弦规律变化，且作相位相同的同步运动，即它们在同一时刻均达极值，而且惯性力的方向与位移的方向一致。它们的幅值产生于时，其值分别为：

既然在运动的任一瞬时质体都处于平衡状态，在幅值出现时间也一样，于是可在幅值处建立运动方程，此时方程中将不含时间t，结果把微分方程转化为代数方程了，使计算得以简化。惯性力为：4、简谐自由振动的特性由式可得，加速度为：在无阻尼自39例7.计算图示体系的自振频率(不考虑重力)。ABCDEI=l/2l/2lkBCk..A1..A2

解：单自由度体系，以表示位移参数的幅值,各质点上所受的力为：建立力矩平衡方程化简后得例7.计算图示体系的自振频率(不考虑重力)。ABCDEI=40m

受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。k11y(t)ymk11yFP(t)mFP(t)FP(t)弹性力－ky、惯性力和荷载FP(t)之间的平衡方程为:1、简谐荷载：mtFPyyqwsin2=+&&单自由度体系受迫振动的微分方程

二、单自由度体系的受迫振动m受迫振动（强迫振动）：结构在动力荷载作用下的振动。k141

tmFPtAtAqqwqqsinsinsin22=+-mtFPyyqwsin2=+&&设特解：二阶线性非齐次常微分方程通解其中tytmFPystqwqqwqwsin)1(1sin)1(22222-=-=tmFPtAtAqqwqqsinsinsin22=+-m42最大静位移yst：是把荷载最大值当作静荷载作用时结构所产生的位移。特解可写为：---荷载幅值作为静荷载所引起的静位移---动力系数---稳态振幅---频比最大静位移yst：是把荷载最大值当作静荷载作用时结构所产生的43通解可写为：设t=0时的初始位移和初始速度均为零，在求出y的一阶导数后联合上式：过渡阶段：振动开始两种振动同时存在的阶段；平稳阶段：后来只按荷载频率振动的阶段。（由于阻尼的存在）按自振频率振动按荷载频率振动通解可写为：设t=0时的初始位移和初始速度均为零，在求出y的44平稳阶段任意时刻位移：最大动位移（振幅）为：动力系数μ为：1023123wqμ重要的特性：当θ/ω→0时,μ→1，荷载变化得很慢，可当作静荷载处理。当0<θ/ω

<1时,μ>1，并且随θ/ω的增大而增大。当θ/ω→1时,μ→∞。即当荷载频率接近于自振频率时，振幅会无限增大。称为“共振”。通常把0.75<θ/ω<1.25称为共振区。当θ/ω

>1时,μ的绝对值随θ/ω的增大而减小。当θ很大时，荷载变化很快，结构来不及反应。平稳阶段任意时刻位移：最大动位移（振幅）为：动力系数μ为：145若要使振幅降低,应采取何种措施?通过改变频比可增加或减小振幅.应使频比减小.增加结构自频.增加刚度、减小质量.应使频比增大.减小结构自频.减小刚度、增大质量.若要使振幅降低,应采取何种措施?通过改变频比可增加或减小振幅46例8求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知动位移、动内力幅值计算计算步骤:1.计算荷载幅值作为静荷载所引起的位移、内力；2.计算动力系数；3.将得到的位移、内力乘以动力系数即得动位移幅值、动内力幅值。mEIEIlFPl/4解.FPl/3动弯矩幅值图例8求图示体系振幅和动弯矩幅值图，已知动位移、动内力幅值47例9求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移已知:解.Ql/2l/2重力引起的弯矩重力引起的位移l/4例9求图示梁中最大弯矩和跨中点最大位移解.Ql/2l48解.Ql/2l/2重力引起的弯矩重力引起的位移l/4动振幅幅值动弯矩幅值跨中最大弯矩跨中最大位移解.Ql/2l/2重力引起的弯矩重力引起的位移l/4动振49当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面的内力、位移都与质点处的位移成正比，故各截面的最大动内力和最大动位移可采用统一的动力系数，只需将干扰力幅值乘以动力系数按静力方法来计算即可。当动荷载作用在单自由度体系的质点上时，由于体系上各截面的内力50例10已知m=300kg，EI=90×105N.m2

,k=48EI/l3

,FP=20kN,θ=80s-1

求梁中点的动位移幅值及最大动力弯矩。2mEImkFPsinθt2m解：1)求ω2)求μ3)求ymax，Mmax如何求最大位移和最大弯矩？例10已知m=300kg，EI=90×105N.m2,51动荷载不作用于质点时的计算m=1=1令FP仍是位移动力系数是内力动力系数吗?运动方程稳态解振幅不是！动荷载不作用于质点时的计算m=1=1令FP仍是位移动力系数是52[列幅值方程求内力幅值]解:例11求图示体系振幅、动弯矩幅值图.同频同步变化mEIl/2l/2FP=1[列幅值方程求内力幅值]解:例11求图示体系振幅、动弯矩幅53FP动弯矩幅值图解:例12求图示体系右端的质点振幅mlmkllAFPoFPFP动弯矩幅值图解:例12求图示体系右端的质点振幅mlmk542、一般荷载由于运动微分方程是线性的，叠加原理可以应用。体系在随时间任意变化的动力荷载作用下的响应，可视作在一系列独立瞬时冲量连续作用下响应的总和。因此只需对瞬时冲量作用所引起的微分响应进行积分，便可得到体系在一般动力荷载作用下的响应。一般荷载作用下的动力反应可分两步讨论：首先讨论瞬时冲量的动力反应，然后在此基础上讨论一般荷载的动力反应。即可利用瞬时冲量的动力反应来推导一般荷载的的动力反应。2、一般荷载由于运动微分方程是线性的，叠加原551)瞬时冲量的动力反应FP(t)tFP瞬时冲量dS引起的振动可视为由初始条件引起的微幅自由振动。dt

cossin)(00www+=tvtytyt=0时作用瞬时冲量dS所引起的动力反应设t=0时体系处于静止状态，然后有瞬时冲量ds作用由动量定理：dv为瞬时冲量引起的速度增量。此时质体的位移增量可由上式积分求得，它是时间微段dt的二阶微量，可以略去。1)瞬时冲量的动力反应FP(t)tFP瞬时冲量dS引起的振动562)任意荷载FP(t)的动力反应FP(t)tττ时刻的微分冲量对t瞬时(t>τ)引起的动力微分响应:初始静止状态的单自由度体系在任意荷载作用下的位移响应公式:当初始位移y0和初始速度v0不为零在任意荷载作用下的位移公式:t(Duhamel

积分，在数学上称为卷积或褶积，这是单自由度体系受迫振动微分方程的一个特解。这是单自由度体系受迫振动微分方程的全解。2)任意荷载FP(t)的动力反应FP(t)tττ时刻的微分冲573)几种典型荷载的动力反应(1）突加荷载

FP(t)tFP0yst=FP0δ11=FP0

/mω2ysty(t)ωt0π2π3π质点围绕静力平衡位置作简谐振动3)几种典型荷载的动力反应(1）突加荷载FP(t)t58(2）短时荷载

FP(t)tFP0u阶段Ⅰ(0<t<u)：与突加荷载相同。阶段Ⅱ(t>u)：无荷载，体系以t=u时刻的位移

和速度为初始条件作自由振动。sincos)(00www+=tvtyty或者直接由Duhamel积分作(2）短时荷载FP(t)tFP0u阶段Ⅰ(0<t<u59另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。FP(t)tFPFP(t)tFPuFP(t)tFPu当0<t<u当t>u另解：短时荷载可认为由两个突加荷载叠加而成。FP(t)tFP60最大动反应1）当

u>T/2

最大动位移发生在阶段Ⅰ2）当u<T/2

最大动位移发生在阶段Ⅱµ=2μ1/611/22动力系数反应谱(μ与u/T之间的关系曲线)这也就是工程上之所以可将吊车制动力对厂房的水平作用视为突加荷载处理的原因最大动反应1）当u>T/2最大动位移发生在阶段Ⅰ2）61(3）线性渐增荷载

FP(t)tFP0tr这种荷载引起的动力反应同样可由Duhamel积分来求解:

对于这种线性渐增荷载,其动力反应与升载时间的长短有很大关系。其动力系数的反应谱如下：(3）线性渐增荷载FP(t)tFP0tr这种荷载引起6201.02.03.04.0μtrFP0动力系数反应谱动力系数μ介于1与2之间。如果升载很短，tr<T/4,则μ接近于2,即相当于突加荷载情况。如果升载很长，tr>4T,则μ接近于1,即相当于静荷载情况。常取外包虚线作为设计的依据。01.02.03.04.03三、阻尼对振动的影响

实验证明，振动中的结构，不仅产生与变形成比例的弹性内力，还产生非弹性的内力，非弹性力起阻尼作用。在不考虑阻尼的情况下所得出的某些结论也反应了结构的振动规律，如：

事实上，由于非弹性力的存在，自由振动会衰减直到停止；共振时振幅也不会无限增大，而是一个有限值。非弹性力起着减小振幅的作用，使振动衰减，因此，为了进一步了解结构的振动规律，就要研究阻尼。1)阻尼的存在忽略阻尼的振动规律考虑阻尼的振动规律结构的自振频率是结构的固有特性，与外因无关。简谐荷载作用下有可能出现共振。自由振动的振幅永不衰减。自由振动的振幅逐渐衰减。共振时的振幅趋于无穷大。共振时的振幅较大但为有限值。三、阻尼对振动的影响实验证明，振动中的结构，不仅产生642)在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素(1）结构在变形过程中材料内部有摩擦，称“内摩擦”，耗散能量；(2）建筑物基础的振动引起土壤发生振动，此振动以波的形式向周围扩散，振动波在土壤中传播而耗散能量；(3）土体内摩擦、支座上的摩擦、结点上的摩擦和空气阻尼等等。

振动的衰减和能量的耗散都通过非弹性力来考虑，由于对非弹性力的描述不同，目前主要有两种阻尼理论：*粘滞阻尼理论——非弹性力与变形速度成正比：*滞变阻尼理论关于阻尼，有两种定义或理解：(1）使振动衰减的作用；(2）使能量耗散。3)阻尼力的确定：总与质点速度反向；大小与质点速度有如下关系：(1）与质点速度成正比（比较常用，称为粘滞阻尼）。(2）与质点速度平方成正比（如质点在流体中运动受到的阻力）。(3）与质点速度无关（如摩擦力）。其他阻尼力也可化为等效粘滞阻尼力来分析。2)在建筑物中产生阻尼、耗散能量的因素(1）结构在变形过程中65yk11yk11my4)有阻尼的自由振动，动平衡方程：(阻尼比）)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltCety设解为：特征方程为：c令根据三种情况，可得出三种运动形态。yk11yk11my4)有阻尼的自由振动，动平衡方程：(阻66)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltCety设解为：特征方程为：(1)ξ<1（低阻尼）情况低阻尼体系的自振圆频率由初始条件)1(2-±-=xxwl0222=++wxwll)(=ltC67Ae-ξωttyty低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线①阻尼对自振频率的影响.

当ξ<0.2，则存在0.96<ωr/ω<1。在工程结构问题中，0.01<ξ<0.2，可近似取:Ae-ξωttyty低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线①阻68等式左边称为振幅的对数递减率.设An和An+m

是相隔m个周期的两个振幅则:工程中常用此方法测定阻尼②阻尼对振幅的影响.振幅Ae-ξω

t

随时间衰减，相邻两个振幅的比:振幅按等比级数递减.经过一个周期后，相邻两振幅An和An+1的比值的对数为:等式左边称为振幅的对数递减率.设An和An+m是相隔m个周69临界阻尼常数ccr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）阻尼比,反映阻尼情况的基本参数。(3)ξ>1强阻尼：不出现振动，实际问题不常见。(2)ξ=1（临界阻尼）情况)1(2-±-=xxwl=-wltyy0θ0这条曲线仍具有衰减性，但不具有波动性。临界阻尼常数ccr为ξ=1时的阻尼常数。（振与不振的分界点）70EI=∞m例13图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子的质量均集中在横梁处共计为m9.8kN

，加一水平力FP=9.8kN，测得侧移A0=0.5cm，然后突然卸载使结构发生水平自由振动。在测得周期T=1.5s及一个周期后的侧移A1=0.4cm。求结构的阻尼比ξ和阻尼系数c。解：=wxk112=wxmc2=wwxm22EI=∞m例13图示一单层建筑物的计算简图。屋盖系统和柱子71例14.对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时顶部侧移2cm，振动一周T=1.4s后，回摆1.6cm，求大梁的重量W及6周后的振幅。k2k2W=mg解：(1)大梁的重量,由(2)自振频率(3)阻尼特性例14.对图示刚架进行自由振动以测动力特性。加力20kN时72k2k2W=mg(4)6周后的振幅kkW=mg(4)6周后的振幅735）有阻尼的强迫振动①单独由v0引起的自由振动：②瞬时冲量ds=FPdt=mv0所引起的振动，可视为以v0=FPdt/m，y0=0为初始条件的自由振动：③将荷载FP(t)的加载过程看作一系列瞬时冲量：FP(t)tτt5）有阻尼的强迫振动①单独由v0引起的自由振动：②瞬时冲量d74③将荷载FP(t)的加载过程看作一系列瞬时冲量：④总反应FP(t)tτt这就是开始处于静止状态的单自由度体系在任意荷载FP(t)作用下所引起的有阻尼的强迫振动的位移特解。③将荷载FP(t)的加载过程看作一系列瞬时冲量：④总反应75如果还有初始y0和初始速度v0,则总位移为：这就单自由度体系在任意荷载FP(t)作用下所引起的有阻尼的强迫振动的位全解。如果还有初始y0和初始速度v0,则总位移为：这就单自由度体系76（1）突加荷载FP0低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线ysty(t)ωt0π2π3π4π5πy(t)ωt0π2π3π4π5π静力平衡位置具有阻尼的体系在突加荷载作用下，最初所引起的最大位移接近于静位移yst=FP0/mω2的两倍，然后逐渐衰减，最后停留在静力平衡位置。（1）突加荷载FP0低阻尼y-t曲线无阻尼y-t曲线ys77（2）简谐荷载FP(t)=Fsinθt设特解为：y=Asin

θt+Bcosθt代入得：+{Asinθt

+Bcosθt}齐次解加特解得到通解：自由振动，因阻尼作用，逐渐衰减、消失。纯强迫振动，平稳振动，振幅和周期不随时间而变化。结论：在简谐荷载作用下，无论是否计入阻尼的作用，纯强迫振动部分总是稳定的周期运动，称为平稳振动。（2）简谐荷载FP(t)=Fsinθt设特解为：y=Asi78（2）简谐荷载FP(t)=Fsinθt设特解为：y=Asin

θt+Bcosθt代入得：+{Asinθt

+Bcosθt}齐次解加特解得到通解：y=Asinθt

+Bcosθt=yPsin(θt

－α)动振幅：yp，最大静力位移：yst=F/k11=F/mω2（2）简谐荷载FP(t)=Fsinθt设特解为：y=Asi79动力系数μ与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关4.03.02.01.001.02.03.0μθ/ωξ=0ξ=0.1ξ=0.2ξ=0.3ξ=0.5ξ=1.0几点注意：①阻尼对简谐荷载下的动力系数影响较大。动力系数μ随阻尼比ξ的增大而迅速减小。特别是在θ/ω=1附近μ的峰值下降的最为显著。②当θ接近ω时，μ增加很快，ξ对μ的数值影响也很大。在0.75<θ/ω<1.25(共振区)内，阻尼大大减小了受迫振动的位移，因此,为了研究共振时的动力反映,阻尼的影响是不容忽略。在共振区之外阻尼对μ的影响较小，可按无阻尼计算。动力系数μ与频率比θ/ω和阻尼比ξ有关4.03.02.01.80③μ

max并不发生在共振θ/ω=1时，而发生在，但因ξ很小，实际工程中可近似地认为：③μmax并不发生在共振θ/ω=1时，而发生在，81④由y=yPsin(θt－α

)可见，阻尼体系的位移比荷载FP=Fsinθt

滞后一个相位角α，

弹性恢复力力Fe(t)，惯性力FI(t)，阻尼力FR分别为：FP(t)=Fsinθt④由y=yPsin(θt－α)可见，阻尼体系的位移比荷82FP(t)=Fsinθt当→0，

θ<<ω时,α→0°，说明y(t)和FP（t）趋于同步，体系振动得很慢，惯性力FI(t)和阻尼力FR(t)

较小，动荷主要与弹性力Fe(t)

平衡，Fe(t)

与位移y反向，荷载可作静荷载处理。当→∝，θ>>ω时,α→180°，说明y(t)和FP（t）趋于反向，动力系数u→0，即体系的动位移趋向于零。体系振动得很快，惯性力FI(t)很大，动荷主要由惯性力FI(t)平衡，体系的动内力趋向于零。FP(t)=Fsinθt当→0，θ<<ω时,α→0°，83tqsinx21tFqsin-=mwx22-=ystk=mω2=mθ2FP(t)=Fsinθt当θ=ω时,α→90°tqsinx21tFqsin-=mwx22-=ystk=mω84tqsinx21tFqsin-=mwx22-=ystk=mω2=mθ2当θ=ω时,α→90°由此可见：共振时（θ=ω），惯性力与恢复力平衡；而动力荷载与阻尼力平衡。因此，在频率比的共振区内，阻尼对体系的动力影响将其重要作用。动荷恰与阻尼力平衡，故运动呈现稳态不会出现内力为无穷大的情况。而在无阻尼受迫振动时，因不存在阻尼力与动荷载平衡，才出现位移为无限大的现象。tqsinx21tFqsin-=mwx22-=ystk=mω85例15图示块式基础.机器与基础的质量为;地基竖向刚度为;竖向振动时的阻尼比为机器转速为N=800r/min,其偏心质量引起的离心力为FP=30kN.求竖向振动时的振幅。解：例15图示块式基础.机器与基础的质量为86例16求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。m解：动力系数为2例16求突加荷载作用下的位移，开始时静止，不计阻尼。m解：87m1m2y1(t)y2(t)m1m2K2K1K2K1y1(t)y2(t)11

§10.4两自由度体系的自由振动自由振动分析的目的是确定体系的动力特性.可不计阻尼。1.运动方程及其解或m1m2y1(t)y2(t)m1m2K2K1K2K1y1(t88假设两个质点为简谐运动设方程的特解为m1m2y1(t)y2(t)上式所表示的运动有以下特点：1）在振动过程中，两质点具有相同的频率和相同的相位角，Y1和Y2是位移幅值。2）在振动过程中，两质点的位移在数值上随时间而变化，但二者的比值始终保持不变，即：这种结构位移形状保持不变的振动形式称为主振型或振型假设两个质点为简谐运动m1m2y1(t)y2(t)上式所表示89假设两个质点为简谐运动设方程的特解为代入方程,得---频率方程—振型方程m1m2y1(t)y2(t)假设两个质点为简谐运动代入方程,得---频率方程—振型方程m90显然Y1=Y2=0为其解，为了求得不全为零的解，令---频率方程—振型方程显然Y1=Y2=0为其解，为了求得不全为零的解，令---91解频率方程得的两个根值小者记作称作第一频率也称作基本频率;值大者记作称为第二频率或高阶频率.解频率方程得的两个根值小者记作称作第一频率也称作基本频92将频率代入振型方程特解2特解1由于行列式D=0，方程组中的两个方程是线性相关的，实际上只有一个独立方程。由其中的任一方程，可求出比值Y1/Y2,这个比值所确定的振动形式就是与第一圆频率相对应的振型，称为第一振型或基本振型。Y11、Y21分别表示第一振型中质点1和2的振幅。同理，可以求出的另一个比值Y1/Y2，这个比值所确定的另一个振动形式称为第二振型将频率代入振型方程特解2特解1由于行列式D=0，方程组93通解2.频率与振型m1m2Y21Y11Y12Y22振动过程中，结构位移形状保持不变的振动形式，称为主振型。通解2.频率与振型m1m2Y21Y11Y12Y22振动过程中94体系按特解振动时有如下特点1)各质点同频同步;2)任意时刻,各质点位移的比值保持不变几点说明：1)按振型作自由振动时，各质点的速度的比值也为常数，且与位移比值相同。2)发生按振型的自由振动是有条件的.体系按特解振动时有如下特点1)各质点同频同步;2)任意时刻,954)N自由度体系有N个频率和N个振型频率方程解频率方程得,从小到大排列依次称作第一频率,第二频率...第一频率称作基本频率,其它为高阶频率.将频率代入振型方程得N个振型N个振型是线性无关的.3)振型与频率是体系本身固有的属性,与外界因素无关.4)N自由度体系有N个频率和N个振型频率方程解频率方程得965)柔度法m1m2y1(t)y2(t)设解为此时惯性力幅值在自由振动过程中任意时刻t，质量m1、m2的位移y1(t)、y2(t)应当等于体系在当时惯性力作用下的静力位移。5)柔度法m1m2y1(t)y2(t)设解为此时惯性力幅值在97m1m2Y1Y2

当然解Y1=Y2=0，为了求得不全为零的解，令令主振型m1m2Y1Y2当然解Y1=Y2=0，令主振型98m1m2振型可看作是体系按振型振动时，惯性力幅值作为静荷载所引起的静位移采用柔度矩阵时6)求振型、频率可列幅值方程.振型方程频率方程按振型振动时m1m2振型可看作是体系按振型振动时，采用柔度矩阵时6)求振99例16设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和k2，试求刚架水平振动时的自振动频率和主振型。m1m2k1k2解：（1）求频率方程中的刚度系数11k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2例16设图示刚架横梁刚度为无限大，层间侧移刚度分别为k1和100（3）求主振型1.6181.01.00.618第1振型第2振型（2）求频率k11=k1+k2k12=k21=-k2k22=k2代公式若有（3）求主振型1.6181.01.00.618第1振型第2振101（5）求主振型（4）求频率若有若n=90则第一振型和第二振型分别为：可见当顶端质点的质量和刚度很小时，顶端水平侧移很大。

建筑结构抗震设计中，将这种因顶端质点质量和刚度突变，而导致顶端巨大反应的现象，称为鞭梢效应。如：屋顶消防水池、上人屋面设计的楼电梯间，女儿墙或屋顶建筑物等。（5）求主振型（4）求频率若有若n=90则第一振型和第二振102例17质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。求自振频率k11=4k/3解：1）求刚度系数：m2mmkk21=-k/3k31=0k12=-k/3k22=8k/15k32=-k/51k13=0k23=-k/5k33=k/5

刚度矩阵[K]和质量矩阵[M]：11例17质量集中在楼层上，层间侧移刚度如图。求自振频率k11103展开得：2η3－42η2＋225η－225＝0解得：η1=1.293，η2=6.680，η3=13.0272）求频率：代入频率方程：┃[K]－ω2[M]┃＝03）求主振型：振型方程：（[K]－ω2[M]）{Y}＝0的后两式：

（令Y3i=1）（a）展开得：2η3－42η2＋225η－225＝02）求频率：代10410.5690.16311.2270.92413.3422.76

Yij为正时表示质量mi的运动方向与单位位移方向相同，为负时，表示与单位位移方向相反。10.5690.16311.2270.92413.3422.1050.5a例18试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。12aaamm解：（1）计算频率1a1（2）振型10.27713.61第一振型第二振型0.5a例18试求图示梁的自振频率和主振型，梁的EI已知。1063、主振型及主振型的正交性

m1m2Y11Y21由功的互等定理：整理得：m1m2Y12Y22因，则存在：两个主振型相互正交，因与质量有关，称为第一正交关系。3、主振型及主振型的正交性m1m2Y11Y21由功的互等定107由功的互等定理：上式分别乘以ω12、ω22，则得：第一主振型惯性力在第二主振型位移上所做的功等于零；第二主振型惯性力在第一主振型位移上所做的功等于零；某一主振型的惯性力在其它主振型位移上不做功，其能量不会转移到其它主振型上，不会引起其它主振型的振动；各个主振型能单独存在，而不相互干扰。由功的互等定理：上式分别乘以ω12、ω22，则得：第一主振型1081、柔度法（忽略阻尼）因为在简谐荷载作用下，荷载频率在共振区之外，阻尼影响很小；在共振区之内时，计不计阻尼，虽对振幅影响很大，但都能反映共振现象。tPqsintPqsiny1y2....P（2）动位移的解答及讨论通解包含两部分：齐次解对应按自振频率振动的自由振动，由于阻尼而很快消失；特解对应按荷载频率振动的简谐振动是平稳阶段的纯强迫振动。（1）建立振动微分方程各简谐荷载频率相同相位相同，否则用其他方法

§10.5两自由度体系的受迫振动1、柔度法（忽略阻尼）tPqsintPqsiny1y2...109n各自由度体系，存在n个可能的共振点设纯强迫振动解答为：代入：n各自由度体系，存在n个可能的共振点设纯强迫振动解答为：代入110（3）动内力幅值的计算....

荷载、位移、惯性力同频、同相、同时达到最大。位移达到最大时，内力也达到最大。求内力时可将动荷载和惯性力的幅值作为静荷载作用于结构，用静力法求出内力，即为动内力幅值。或用叠加公式求：由Y1，Y2值可求得位移和惯性力。惯性力的幅值为：代入位移幅值方程可得求惯性力幅值的方程（直接求惯性力幅值）（3）动内力幅值的计算....荷载、位移、惯性力同频111y1(t)y2(t)P1(t)P2(t)在平稳阶段，各质点也作简谐振动：Y1=D1/D0Y2=D2/D0如果荷载频率θ与任一个自振频率ω1、ω2重合，则D0=0,当D1、D2不全为零时，则出现共振现象....2.刚度法y1(t)y2(t)P1(t)P2(t)在平稳阶段，各质点也112m2m1k2k1例19质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2解：荷载幅值：P1=P，P2=0，求刚度系数：k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2当m1=m2=m，k1=k2=km2m1k2k1例19质量集中在楼层上m1、m2，层间侧1133.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.03.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.0-1.0两个质点的位移动力系数不同。当

趋于无穷大。可见在两个自由度体系中，在两种情况下可能出现共振。也有例外情况3.0-2.0-3.000.6183.01.6182.01.114kkPyst1yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力yst1=yst2=P/k层间剪力:

Qst1=P动荷载产生的位移幅值和内力幅值θ2mY2θ2mY1由此可见，在多自由度体系中，没有一个统一的动力系数。层间动剪力:kkPyst1yst2=P/k荷载幅值产生的静位移和静内力y115例20m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移刚度为k1、k2k11=k1+k2,k21=－k2,k22=k2,k12=－k2m1k1m2k2这说明在右图结构上，适当增加m2、k2系统可以消除m1的振动（动力吸振器原理）。

吸振器不能盲目设置，必须在干扰力使体系产生较大振动时才有必要设置。设计吸振器时，先根据m2的许可振幅Y2，选定，再确定例20m2m1k2k1质量集中在楼层上m1、m2，层间侧移116例21如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点产生的静位移为1cm，转速为300r/min，产生的动荷载幅值P=1kN，问：1）应加动力吸振器吗？2）设计吸振器。(许可位移为1cm)Psinθt解：1）频率比在共振区之内应设置吸振器。2）由k2m2弹簧刚度系数为：N/m=102kg例21如图示梁中点放一电动机。重2500N，电动机使梁中点117tPqsinl/4l/4l/2mmP1=1P2=1例22图示简支梁EI=常数，θ=0.75ω1求动位移幅值和动弯矩幅值。解：1)求柔度系数P2)作MP图，求Δ1PΔ2PtPqsinl/4l/4l/2mmP1=1P2=1例22118P1=1P2=1P5)计算动内力I1=0.6808PPI2=0.6051P1.4119P1.4119P0.2689P0.8740PQd图1.4119P1.6808P0.6051P0.8740P0.3530Pl0.2180PlMd图6)比较动力系数因此，多自由度体系没有统一的动力系数。P1=1P2=1P5)计算动内力I1=0.6808PPI2=119l/3l/3l/3mmPsinθtPsinθt如图示对称结构在对称荷载作用下。与ω2相应的振型是12k2211mkw--2212YY==－1当θ=ω2

，D0=0，也有：不会趋于无穷大，不发生共振，共振区只有一个。

对称体系在对称荷载作用下时，只有当荷载频率与对称主振型的自振频率相等时才发生共振；当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时不会发生共振。同理可知：对称体系在反对称荷载作用下时，只有当荷载频率与反对称主振型的自振频率相等时才发生共振。

l/3l/3l/3mmPsinθtPsinθt如图示对称结构120例23已知图a刚架受简谐荷载作用，θ=0.6ω,绘出动力弯矩图Md，并求柱顶最大位移

ymax。解：利用对称性取半边结构如图所示。柱顶位移

，代入方程，得惯性力：

（注意：质量应减半）例23已知图a刚架受简谐荷载作用，θ=0.6ω,绘出动力弯121由于

，代入上式，则方程变为

只考虑稳态振动，设方程的特解

代入方程解得，

所以M图如图所示。由于，代入上式，则方程变为只考虑稳态振动，设方程的特解122例24求图a所示体系的自振频率及主振型。梁EI=常数。解：将原结构化成正对称和反对称半结构分别计算（图b、c）。例24求图a所示体系的自振频率及主振型。梁EI=常数。123，

当ω=ω1时，振型为正对称，则当ω=ω2时，振型为反对称，则

，当ω=ω1时，振型为正对称，则当ω=ω2时，振型为反对称1241、能量法求第一频率——Rayleigh法

根据能量守恒定律，当不考虑阻尼自由振动时，振动体系在任何时刻的动能T

和应变能U

之和应等于常数。根据简谐振动的特点可知：在体系通过静力平衡位置的瞬间，速度最大（动能具有最大值），动位移为零（应变能为零）；当体系达到最大振幅的瞬间（变形能最大），速度为零（动能为零）。对这两个特定时刻，根据能量守恒定律得：

Umax=Tmax

ω求Umax

，Tmax

求频率

如梁上还有集中质量mi，位移幅值.Yi为集中质量mi处的位移幅值。

§10.6近似法求自振频率1、能量法求第一频率——Rayleigh法根据能125假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：1)必须满足运动边界条件：（铰支端：Y=0；固定端：Y=0，Y´=0）

尽量满足弯矩边界条件，以减小误差。剪力边界条件可不计。2)所设位移幅值函数应与实际振型形状大致接近；如正好与第

n主振型相似，则可求的ωn的准确解。但主振型通常是未知的，只能假定一近似的振型曲线，得到频率的近似值。由于假定高频率的振型困难，计算高频率误差较大。故Rayleigh法主要用于求ω1的近似解。3)相应于第一频率所设的振型曲线，应当是结构比较容易出现的变形形式。曲率小，拐点少。4)通常可取结构在某个静荷载q（x）（如自重）作用下的弹性曲线作为Y（x）的近似表达式。此时应变能可用相应荷载q（x）所作的功来代替，即假设位移幅值函数Y(x)必须注意以下几点：1)必须满足运动边1262）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)例25试求等截面简支梁的第一频率。1）假设位移形状函数为抛物线lyx满足边界条件且与第一振型相近3）假设第一振型的精确解。精确解2）假设均布荷载q作用下的挠度曲线作为Y(x)例25试127xh0l例26求楔形悬臂梁的自振频率。设梁截面宽度为1，高度为h=h0x/l。解：单位长度的质量：设位移形状函数：满足边界条件：

Rayleigh法所得频率的近似解总是比精确解偏高。其原因是假设了一振型曲线代替实际振型曲线，迫使梁按照这种假设的形状振动，相当于给梁加上了某种约束，增大了梁的刚度，致使频率偏高。当所设振型越接近于真实，则相当于对体系施加的约束越小，求得的频率越接近于真实，即偏高量越小。截面惯性矩：相比误差为3%与精确解xh0l例26求楔形悬臂梁的自振频率。设梁截面宽度为11281)假设多个近似振型都满足前述两个条件。2)将它们进行线性组合（a1、a2、·········、an是待定常数）nnaaaxY┉+++=2211)(jjj

3)确定待定常数的准则是：获得最佳的线性组合，这样的Y（x）代入频率计算公式中得到的ω2的值虽仍比精确解偏高，但对所有的a1，a2，…，an的可能组合，确实获得了最小的ω2值。所选的a1，a2，…，an使ω2获得最小值的条件是这是以a1，a2，…，an为未知量的n个奇次线性代数方程。令其系数行列式等于零，得到频率方程，可以解出原体系最低n阶频率来。阶次越低往往越准。

为了使假设的振型尽可能的接近真实振型，尽可能减小假设振型对体系所附加的约束，Ritz

提出了改进方法：1)假设多个近似振型都满足前述两个条件。2)将它们进1292w2w2w2w2w2w2w2w2w2w130例27用Rayleigh—Ritz

法求等截面悬臂梁的最初几个频率。xl解：悬臂梁的位移边界条件为：（在左端）Y’=0Y=0只取第一项代入：代入频率方程：其精确解：与精确解相比，误差为27%。例27用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最131例28用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几个频率。xl解：取两项代入：代入频率方程：求得kij，mij：求得最初两个频率近似值：（0.48%）（58%）说明说明：1)由于φ1、φ2均近似于第一振型，由它们组合的第二振型自然很差，故第二频率不准。2)Rayleigh—Ritz法所得结果仍然偏高，其原因同瑞利法。例28用Rayleigh—Ritz法求等截面悬臂梁的最初几1322、集中质量法

在计算无限自由度体系的自振频率时，可以用若干个集中质量来代替连续分布的质量。关于质量的集中方法有多种，最简单的是静力等效的集中质量法。该法既可求基本频率，也可求较高频率。且适用于各类结构。集中质量的数目越多结果越精确，但工作量也就越大。等效原则：使集中后的重力与原重力互为静力等效，即两者的合力相等。作法：将杆分为若干段，将每段质量集中于其质心或集中于两端。l例29试用集中质量法求简支梁自振频率。2、集中质量法在计算无限自由度体系的自振频率133ll/3l/3(－0.7%）l/3l/3l/3l/3l/3l/3l/3(－0.1%）(－3.1%）(－0.05%）(－4.8%）(－0.7%）ll/3l/3(－0.7%）l/3l/3l/3l/3l/3l134

对于对称刚架，可分别用不同的集中质量方案求出对称振动和反对称振动的自振频率。2ll2ll最小频率对应着反对称振型对于对称刚架，可分别用不同的集中质量方案求出对称振动135第10章结构动力学简介山东农业大学结构力学课程组第10章结构动力学简介山东农业大学结构力学课程组136学习结构动力学应该较扎实地掌握结构静力分析、微积分和常微分方程等相关知识，主要是如下相关内容：1）能熟练的分析计算并绘制结构的弯矩图或内力图（静定结构利用平衡、区段叠加、微分关系等；超静定结构用力法、位移法或力矩分配法等计算分析并作图）；2）能熟练地计算结构的指定位移δij、△ip；3）能熟练地计算结构的指定反力rij、RiP；4）要能熟练掌握常用的微积分知识和常微分方程知识（由加惯性力等之后的动静法可知，动力学问题将是微分方程的求解问题，就本书内容属于常系数常微分方程）；

5）要熟练的掌握线性代数（矩阵的表达、运算和矩阵方程的求解）。学习结构动力学应该较扎实地掌握结构静力分析、微积分137如果对上述内容掌握的不好或已经有所遗忘，必须进行适当的复习（不一定系统复习，可以涉及什么问题时复习什么内容），要力争达到上述要求。“勤思、多练”，这是学习任何理工科课程共同的学习方法。勤思——要抓住基本思想、基本方法将书读薄；多练——由于涉及数学知识比静力分析稍难，多数内容不自行动手推一推，最多仅仅能达到牢记，而不能达到掌握。通过一定的习题练习，进一步理解和巩固理论知识，从中总结解决问题的技巧、经验，这是“熟能生巧”必不可少的。如果对上述内容掌握的不好或已经有所遗忘，必须进行适当的138结构动力学与工程实际有着十分密切的关系，它在结构振动实验