第二课时分段函数与映射课件

2022/10/30第二课时分段函数与映射2022/10/23第二课时分段函数与映射1课标要求:1.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.2.了解映射的概念.课标要求:1.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用2自主学习——新知建构·自我整合【情境导学】导入一某人去上班,由于担心迟到,所以一开始就跑步前进,等跑累了再走完余下的路程.可以明显地看出,这人距离单位的距离是关于出发后的时间的函数,想一想,用怎样的解析式表示这一函数关系呢?为解决这一问题,本节我们学习分段函数.导入二在现实生活中,常常使用表格描述两个变量之间的对应关系.比如:国内跨省市之间的邮寄信函,每封信函的重量和对应邮资如下表:信函重量m/g0<m≤2020<m≤4040<m≤6060<m≤8080<m≤100邮资M/元0.801.602.403.204.00自主学习——新知建构·自我整合【情境导学】导入一某人去上3想一想邮资M是信函重量m的函数吗?若是,其解析式是什么?想一想邮资M是信函重量m的函数吗?若是,其解析式是什么4知识探究1.分段函数如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.探究1:怎样求分段函数的定义域、值域?答案:分段函数的定义域是各段定义域的并集,分段函数的值域是各段值域的并集.2.映射设A,B是

的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的

元素x,在集合B中都有

的元素y与之对应,那么就称对应

为从集合A到集合B的一个映射.非空任意一个唯一确定f:A→B知识探究1.分段函数非空任意一个唯一确定f:A→B5探究2:函数与映射的关系是什么?答案:函数是一类特殊的映射,若构成映射的两个集合是非空的数集,则该映射一定是函数.探究3:若映射f:A→B,集合A中元素在对应法则f下的元素构成集合C,则B与C相等吗?答案:B与C不一定相等,它们之间的关系是C⊆B.探究2:函数与映射的关系是什么?6自我检测A(A)2 (B)3 (C)4 (D)5C

(A)R(B)(-∞,1](C)(-∞,2) (D)(1,+∞)自我检测A(A)2 (B)3 (C)4 7B3.(映射概念)给出下列四个对应,如图,其中构成映射的是()(A)只有①② (B)只有①④(C)只有①③④ (D)只有③④4.(映射)已知集合A=[0,8],集合B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作从A到B的映射的是()DB3.(映射概念)给出下列四个对应,如图,其中构成映射的是8答案:4答案:49题型一分段函数求值课堂探究——典例剖析·举一反三题型一分段函数求值课堂探究——典例剖析·举一反三10(2)若f(a)=3,求实数a的值;(3)若f(m)>3m-5(m≥2),求实数m的取值范围.解:(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不合题意,舍去.当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0.所以(a-1)(a+3)=0,得a=1或a=-3.因为1∈(-2,2),-3∉(-2,2),所以a=1符合题意.当a≥2时,2a-1=3,即a=2符合题意.综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2.(3)因为m≥2,所以f(m)=2m-1,即2m-1>3m-5,解得m<4,又m≥2,所以m的取值范围为[2,4).(2)若f(a)=3,求实数a的值;解:(2)当a≤-2时,11变式探究1:本题中若将(2)中的f(a)=3改为f[f(a)]=3,求a.变式探究1:本题中若将(2)中的f(a)=3改为f[f(a)12变式探究2:本题(3)中,若改为f(m)>3m-5,求m的取值范围.变式探究2:本题(3)中,若改为f(m)>3m-5,求m的取13方法技巧(1)分段函数求值问题的关键是看所给自变量的取值属于哪一段,代入该段解析式求解即可.(2)已知函数值求自变量的值时,应分别代入各段解析式中求解,以免丢解.要根据每段解析式中自变量本身的限制条件进行验证取舍.(3)已知f(x)解关于f(x)的不等式时,要先在每一段内求交集,最后求并集.(4)求解形如f[f(a)]的函数值问题,按从里到外的原则,先求f(a),再求f[f(a)].方法技巧(1)分段函数求值问题的关键是看所给自变量14第二课时分段函数与映射课件15题型二分段函数的解析式【例2】某车间生产一种仪器的固定成本是7500元,每生产一台该仪器需要增加投入100元,已知总收入满足函数:(1)将利润表示为月产量x的函数;题型二分段函数的解析式【例2】某车间生产一种仪器的固16(2)当月产量为何值时,车间所获利润最大?最大利润是多少元?解:(2)当0≤x≤200时,f(x)=-(x-150)2+15000,所以f(x)max=f(150)=15000;当x>200时,f(x)=-100x+32500在(200,+∞)上是减函数,所以f(x)<f(200)=12500.而12500<15000,所以当x=150时,f(x)取最大值,最大值为15000.答:当月产量为150台时,该车间所获利润最大,最大利润是15000元.(2)当月产量为何值时,车间所获利润最大?最大利润是多少元?17方法技巧分段函数模型的一般形式是:对于不同的自变量范围对应不同的函数解析式,求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理,日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等,都是最简单的分段函数.方法技巧分段函数模型的一般形式是:对于不同的自变量范围18即时训练2-1:(2018·成都高一检测)成都市出租车的现行计价标准是:路程在2km以内(含2km)按起步价8元收取,超过2km后的路程按1.9元/km收取,但超过10km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1+50%)=2.85元/km).(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位:元)表示为行程x(0<x≤60,单位:km)的分段函数;即时训练2-1:(2018·成都高一检测)成都市出租车的现行19(2)某乘客的行程为16km,他准备先乘一辆出租车行驶8km后,再换乘另一辆出租车完成余下行程,请问:他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱?(现实中要计等待时间且最终付费取整数,本题在计算时都不予考虑)解:(2)只乘一辆车的车费为f(16)=2.85×16-5.3=40.3(元);换乘2辆车的车费为2f(8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8(元).因为40.3>38.8,所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.(2)某乘客的行程为16km,他准备先乘一辆出租车行驶820【备用例2】在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中有:①这种消费品的进件为每件14元;②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示;③每月需要各种开支2000元.【备用例2】在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业21(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额;(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的22(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?解:(2)设可在n年内脱贫,依题意有12n×450-50000-58000≥0,解得n≥20,即最早可望在20年后脱贫.(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?解:(2)设可23题型三分段函数的图象【例3】画出下列函数的图象,并写出它们的值域:题型三分段函数的图象【例3】画出下列函数的图象,并写24(2)y=|x+1|+|x-3|.(2)y=|x+1|+|x-3|.25方法技巧(1)画含有绝对值的函数的图象的方法:对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.(2)画分段函数图象的方法:作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏.方法技巧(1)画含有绝对值的函数的图象的方法:对含有26即时训练3-1:已知在函数f(x)=1+(-2<x≤2).(1)用分段函数的形式表示该函数;即时训练3-1:已知在函数f(x)=1+(-2<x27(2)画出该函数的图象;(3)写出该函数的值域.解:(2)函数f(x)的图象如图所示:(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3).(2)画出该函数的图象;解:(2)函数f(x)的图象如图所示28【备用例3】已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,求函数的解析式.【备用例3】已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛29(2)当1≤x≤3时,设f(x)=a(x-2)2+2(a<0).因为图象过点(1,1),所以a=-1,所以f(x)=-x2+4x-2.(2)当1≤x≤3时,设f(x)=a(x-2)2+2(a<030题型四映射【例4】判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射:(1)A=N*,B=N*,对应关系f:x→|x-3|;(2)A={平面内的圆},B={平面内的矩形},对应关系f:作圆的内接矩形;(3)A={2014年南京青奥会参赛国},B={参赛国的金牌数},对应关系f:每个参赛国最终获得的金牌数;(4)A={x|0≤x≤2},B={y|0≤y≤6},对应关系f:x→y=x.解:(1)由于在对应关系f作用下A中元素3与3的差的绝对值为0,而0∉B,故不是映射.(2)因为一个圆有无数个内接矩形,即集合A中任何一个元素在集合B中有无数个元素与之对应,故不是映射.(3)对A中任何一个元素,按照对应关系f,在B中都有唯一一个元素与之对应,符合映射定义,是映射.(4)是映射,因为A中每一个元素在f:x→y=x作用下对应的元素构成的集合C={y|0≤y≤1}⊆B,符合映射定义.题型四映射【例4】判断下列对应是不是从集合A到集合B31变式探究:本题所给对应关系中,哪一个对应能构成函数.解:由于只有(3),(4)能构成映射,而(3)中的集合不是数集,(4)中的集合是数集,因此只有(4)能构成函数.方法技巧(1)判定一种对应是否为映射的方法:给定两集合A,B及对应关系f,利用映射的定义.A→B的对应“多对一”,“一对一”,是A到B的映射.(2)映射f:A→B中的集合A,B的特征:①集合A到B的映射,A,B必须是非空集合(可以是数集,也可以是其他集合);②与A中元素对应的元素构成的集合是集合B的子集.变式探究:本题所给对应关系中,哪一个对应能构成函数.解:由于32即时训练4-1:下列对应是从集合S到T的映射的是()即时训练4-1:下列对应是从集合S到T的映射的是()33【备用例4】设f,g都是由A到A的映射,其对应关系如下表(从上到下):表1映射f的对应法则原像1234像3421表2映射g的对应法则原像1234像4312则与f[g(1)]相同的是()(A)g[f(1)] (B)g[f(2)](C)g[f(3)] (D)g[f(4)]【备用例4】设f,g都是由A到A的映射,其对应关系如下表(34解析:由题意知,g(1)=4,f[g(1)]=f(4)=1,对于A:g[f(1)]=g(3)=1,故A正确;对于B:g[f(2)]=g(4)=2,故B不正确;对于C:g[f(3)]=g(2)=3,故C不正确;对于D:g[f(4)]=g(1)=4,故D不正确.故选A.解析:由题意知,g(1)=4,f[g(1)]=f(4)=1,352022/10/30第二课时分段函数与映射2022/10/23第二课时分段函数与映射36课标要求:1.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用.2.了解映射的概念.课标要求:1.通过具体实例,了解简单的分段函数,并能简单应用37自主学习——新知建构·自我整合【情境导学】导入一某人去上班,由于担心迟到,所以一开始就跑步前进,等跑累了再走完余下的路程.可以明显地看出,这人距离单位的距离是关于出发后的时间的函数,想一想,用怎样的解析式表示这一函数关系呢?为解决这一问题,本节我们学习分段函数.导入二在现实生活中,常常使用表格描述两个变量之间的对应关系.比如:国内跨省市之间的邮寄信函,每封信函的重量和对应邮资如下表:信函重量m/g0<m≤2020<m≤4040<m≤6060<m≤8080<m≤100邮资M/元0.801.602.403.204.00自主学习——新知建构·自我整合【情境导学】导入一某人去上38想一想邮资M是信函重量m的函数吗?若是,其解析式是什么?想一想邮资M是信函重量m的函数吗?若是,其解析式是什么39知识探究1.分段函数如果函数y=f(x),x∈A,根据自变量x在A中不同的取值范围,有着不同的对应关系,则称这样的函数为分段函数.探究1:怎样求分段函数的定义域、值域?答案:分段函数的定义域是各段定义域的并集,分段函数的值域是各段值域的并集.2.映射设A,B是

的集合,如果按某一个确定的对应关系f,使对于集合A中的

元素x,在集合B中都有

的元素y与之对应,那么就称对应

为从集合A到集合B的一个映射.非空任意一个唯一确定f:A→B知识探究1.分段函数非空任意一个唯一确定f:A→B40探究2:函数与映射的关系是什么?答案:函数是一类特殊的映射,若构成映射的两个集合是非空的数集,则该映射一定是函数.探究3:若映射f:A→B,集合A中元素在对应法则f下的元素构成集合C,则B与C相等吗?答案:B与C不一定相等,它们之间的关系是C⊆B.探究2:函数与映射的关系是什么?41自我检测A(A)2 (B)3 (C)4 (D)5C

(A)R(B)(-∞,1](C)(-∞,2) (D)(1,+∞)自我检测A(A)2 (B)3 (C)4 42B3.(映射概念)给出下列四个对应,如图,其中构成映射的是()(A)只有①② (B)只有①④(C)只有①③④ (D)只有③④4.(映射)已知集合A=[0,8],集合B=[0,4],则下列对应关系中,不能看作从A到B的映射的是()DB3.(映射概念)给出下列四个对应,如图,其中构成映射的是43答案:4答案:444题型一分段函数求值课堂探究——典例剖析·举一反三题型一分段函数求值课堂探究——典例剖析·举一反三45(2)若f(a)=3,求实数a的值;(3)若f(m)>3m-5(m≥2),求实数m的取值范围.解:(2)当a≤-2时,a+1=3,即a=2>-2,不合题意,舍去.当-2<a<2时,a2+2a=3,即a2+2a-3=0.所以(a-1)(a+3)=0,得a=1或a=-3.因为1∈(-2,2),-3∉(-2,2),所以a=1符合题意.当a≥2时,2a-1=3,即a=2符合题意.综上可得,当f(a)=3时,a=1或a=2.(3)因为m≥2,所以f(m)=2m-1,即2m-1>3m-5,解得m<4,又m≥2,所以m的取值范围为[2,4).(2)若f(a)=3,求实数a的值;解:(2)当a≤-2时,46变式探究1:本题中若将(2)中的f(a)=3改为f[f(a)]=3,求a.变式探究1:本题中若将(2)中的f(a)=3改为f[f(a)47变式探究2:本题(3)中,若改为f(m)>3m-5,求m的取值范围.变式探究2:本题(3)中,若改为f(m)>3m-5,求m的取48方法技巧(1)分段函数求值问题的关键是看所给自变量的取值属于哪一段,代入该段解析式求解即可.(2)已知函数值求自变量的值时,应分别代入各段解析式中求解,以免丢解.要根据每段解析式中自变量本身的限制条件进行验证取舍.(3)已知f(x)解关于f(x)的不等式时,要先在每一段内求交集,最后求并集.(4)求解形如f[f(a)]的函数值问题,按从里到外的原则,先求f(a),再求f[f(a)].方法技巧(1)分段函数求值问题的关键是看所给自变量49第二课时分段函数与映射课件50题型二分段函数的解析式【例2】某车间生产一种仪器的固定成本是7500元,每生产一台该仪器需要增加投入100元,已知总收入满足函数:(1)将利润表示为月产量x的函数;题型二分段函数的解析式【例2】某车间生产一种仪器的固51(2)当月产量为何值时,车间所获利润最大?最大利润是多少元?解:(2)当0≤x≤200时,f(x)=-(x-150)2+15000,所以f(x)max=f(150)=15000;当x>200时,f(x)=-100x+32500在(200,+∞)上是减函数,所以f(x)<f(200)=12500.而12500<15000,所以当x=150时,f(x)取最大值,最大值为15000.答:当月产量为150台时,该车间所获利润最大,最大利润是15000元.(2)当月产量为何值时,车间所获利润最大?最大利润是多少元?52方法技巧分段函数模型的一般形式是:对于不同的自变量范围对应不同的函数解析式,求解分段函数模型问题应明确分段函数的“段”一定要分得合理,日常生活中的出租车计费、自来水费、电费、个人所得税的收取等,都是最简单的分段函数.方法技巧分段函数模型的一般形式是:对于不同的自变量范围53即时训练2-1:(2018·成都高一检测)成都市出租车的现行计价标准是:路程在2km以内(含2km)按起步价8元收取,超过2km后的路程按1.9元/km收取,但超过10km后的路程需加收50%的返空费(即单价为1.9×(1+50%)=2.85元/km).(1)将某乘客搭乘一次出租车的费用f(x)(单位:元)表示为行程x(0<x≤60,单位:km)的分段函数;即时训练2-1:(2018·成都高一检测)成都市出租车的现行54(2)某乘客的行程为16km,他准备先乘一辆出租车行驶8km后,再换乘另一辆出租车完成余下行程,请问:他这样做是否比只乘一辆出租车完成全部行程更省钱?(现实中要计等待时间且最终付费取整数,本题在计算时都不予考虑)解:(2)只乘一辆车的车费为f(16)=2.85×16-5.3=40.3(元);换乘2辆车的车费为2f(8)=2×(4.2+1.9×8)=38.8(元).因为40.3>38.8,所以该乘客换乘比只乘一辆车更省钱.(2)某乘客的行程为16km,他准备先乘一辆出租车行驶855【备用例2】在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业甲将经营状况良好的某种消费品专卖店以5.8万元的优惠价格转让给了尚有5万元无息贷款没有偿还的小型企业乙,并约定从该店经营的利润中,首先保证企业乙的全体职工每月最低生活费的开支3600元后,逐步偿还转让费(不计息).在甲提供的资料中有:①这种消费品的进件为每件14元;②该店月销量Q(百件)与销售价格P(元)的关系如图所示;③每月需要各种开支2000元.【备用例2】在扶贫活动中,为了尽快脱贫(无债务)致富,企业56(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的余额最大?并求最大余额;(1)当商品的价格为每件多少元时,月利润扣除职工最低生活费的57(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?解:(2)设可在n年内脱贫,依题意有12n×450-50000-58000≥0,解得n≥20,即最早可望在20年后脱贫.(2)企业乙只依靠该店,最早可望在几年后脱贫?解:(2)设可58题型三分段函数的图象【例3】画出下列函数的图象,并写出它们的值域:题型三分段函数的图象【例3】画出下列函数的图象,并写59(2)y=|x+1|+|x-3|.(2)y=|x+1|+|x-3|.60方法技巧(1)画含有绝对值的函数的图象的方法:对含有绝对值的函数,要作出其图象,首先应根据绝对值的意义去掉绝对值符号,将函数转化为分段函数,然后分段作出函数图象.(2)画分段函数图象的方法:作分段函数的图象时,分别作出各段的图象,在作每一段图象时,先不管定义域的限制,作出其图象,再保留定义域内的一段图象即可,作图时要特别注意接点处点的虚实,保证不重不漏.方法技巧(1)画含有绝对值的函数的图象的方法:对含有61即时训练3-1:已知在函数f(x)=1+(-2<x≤2).(1)用分段函数的形式表示该函数;即时训练3-1:已知在函数f(x)=1+(-2<x62(2)画出该函数的图象;(3)写出该函数的值域.解:(2)函数f(x)的图象如图所示:(3)由(2)知,f(x)在(-2,2]上的值域为[1,3).(2)画出该函数的图象;解:(2)函数f(x)的图象如图所示63【备用例3】已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛物线的一部分组成,求函数的解析式.【备用例3】已知函数y=f(x)的图象由图中的两条射线和抛64(2)当1≤x≤3时,设f(x)=a(x-2)2+2(a<0).因为图象过点(1,1),所以a=-1,所以f(x)=-x2+4x-2.(2)当1≤x≤3时,设f(x)=a(x-2)2+2(a<065题型四映射【例4】判断下列对应是不是从集合A到集合B的映射:(1)A=N*,B=N*,对应关系f:x→|x-3|;(2)A={平面内的圆},B=