函数与方程零点问题考点例题讲解

函数与方程考纲解读1.求常见函数的零点；2.判断基本初等函数零点所在区间；3.判断二次函数零点个数及分布；4.根据函数零点与方程根的关系求参数范围；5.根据具体函数的图象，能够用二分法求相应方程的近似解．［基础梳理］1．函数的零点(1)函数零点的定义对于函数y=fx，把使fx=的实数x叫作函数y=fx的零点.(2)函数零点的判定(零点存在性定理)如果函数y=fx在区间［a,b］上的图象是连续不断的一条曲线，并且有fafb＜，那么，函数y=fx在区间〃，b内有零点，即存在cea,b,使得fc=，这个c也就是方程fx=的根..二次函数y=ax+bx+ca的图象与零点的关系/〉/=/<二次函数y=ax+bx+ca>中Iz与x轴的交点x,x(x__无交点零点个数一一一［三基自测］・函数fx=x+x-的零点个数为．．答案：・函数fx=x-+x-的零点所在区间为A．(-1,0)B．C．(1,2)D．答案：,十8・函数fx=x-;的零点所在的大致范围是,十8V，答案：

.用二分法求fx=.用二分法求fx=x+x-的零点的近似解，若第一次零点区间为1则第二次的零点区间为．答案：(1,1.5)・1高考全国卷I改编函数歹=x+1的零点为x答案：-1［考点例题］考点一判定函数零点区间|方法突破［例1］1函数fx=-+的零点所在的大致区间是xx-1A・(1,2)B・(2,3)C・(3,4)D・(1,2)与(2,3)［解析］fx=x+±=x—x—1,当1VxV时，x—1V,x>，所以fx>，故函数fx在1上没有零点./=1—1=1,f=-—==丁8==>,・•・>，即>，即>,・•・>，即>，即fV又f=1—V，二fx在，内存在一个零点.［答案］一个零点.［答案］B已知函数fx=x+x,gx=x+x,hx=x一泉的零点依次为a,b,c，则・c<a<b・b<a<c［解析］在同一坐标系下分别画出函数y=2x，y=x，y=［解析］在同一坐标系下分别画出函数y=2x，y=x，y=-1的图象,\：x如图，观察它们与y=—x的交点可知abc［答案］判断函数零点所在区间的方法方法解读适合题型定理利用函数零点的存在性定理进行判能够容易判断区间端点值所法断对应函数值的正负；图象法画出函数图象，通过观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断容易画出函数的图象［方法提升］［跟踪训练］・设fx)=x+X—，则函数fx)的零点位于区间()•(一).().(2).(2)解析：fx)=x+x一单调递增，仅有一个零点，又f()=一V,f(2)=2—2>,故函数fx)的零点位于区间(2).故选答案：2.(2西安五校联考)函数歹=(x+)与歹=］的图象交点的横坐标所在区间为().(2).(2)解析：在同一个坐标系中，分别作出歹=(x+)与歹=:的图象x如图，y=1过点尸()，当x=时，2V,y=x过点(2,2)，当x=2时，>设y=(x+)与y=不的交点为Q(xQ,,yQ)，贝UVxQV2答案：考点二函数的零点个数方法突破fx+,xW,［例2］()已知函数fx)=|则函数y=ffx)］+的零点的个数是()⑵(2郑州质检)已知函数fx)=Qx—x，则fx)在［2］上的零点个数为()f2—xxW2()函数fx)={(x—2)2x2的零点个数为[解析]()(直接法)由ff(x)]+=得ffx)]=—,

由＜一)=()=一得fX)=-或fX)=一若fX)=—，则X=—或X=一；若fX)=_，贝“X=——或X="；综上可得函数歹=ffX)］+的零点的个数是，故选X的根的个数，即函数h(X)()(转化法)函数fX)=0X—XX的根的个数，即函数h(X)=(-)X与g(X)=X的图象的交点个数.如图所示，在区间［］上交点个数为，故选「一X(xW)的图象如图所示，可以()(图象法)作函数歹={的图象如图所示，可以鼠X一)(X)看出图象与X轴有且只有个交点.故函数零点个数为［答案］()()()［方法提升］函数零点个数的判断方法方法解读适合题型直接法令fX)=，如果能求出解，则有几个不同的解就有几个零点基本初等函数图象法画出函数fX)的图象，函数fX)的图象与X轴的交点个数即为函数fX)的零点个数分段函数、绝对值函数转化法将函数fX)拆成两个常见函数h(X)和g(X)的差，从而fx)=台h(x)—g(x)=台h(x)=g(X)，则函数fX)的零点个数即为函数歹=h(X)与函数歹=g(X)的图象的交点个数复杂函数［母题变式］

卜列是关于函数尸以刈十的零点.将本例（）改为已知函数於）=卜列是关于函数尸以刈十的零点X，X个数的四个判断：①当左时，有个零点；②当左时，有个零点；③当左时，有个零点；④当左时，有个零点.则正确的是（）TOC\o"1-5"\h\z.①④.②③.①②.③④解析：（图象法）令用的+=,得加刈=一当k时，在平面直角坐标系下画出函数的大致图象及直线歹1=—，注意到直线歹=—与函数兀V）的图象有个交点，设其横坐标%L分别是/,/,则/t;再画出直线歹=/与尸,结合图象可/kT知，直线歹=/与函数的图象有个不同的交点，直线歹=/与函数於）的图象有个不同的交点，因此此时函数歹=/［/&）］+有个零点.同理，当k时，函数歹=/&）］+有个零点，结合各选项知，选答案:.将本例（）改为求人幻的零点个数.解析：函数的图象如图所示由图象知，函凌攵启）有个零点.X在（一，）上的零点个数..将本例（）改为求函数yoo=x—X在（一，）上的零点个数.解析：令歹=X,如图所示：工£（一,）,两个图象只有一个交点，即函数段）只有一个零点.考点三函数零点的应用模型突破角度已知函数零点或方程根的个数求参数

kx+3,x三0,若方程ffx))—=0恰有三个［例引01宁德模拟若方程ffx))—=0恰有三个、(-x,x0,实数根，则实数k的取值范围是)．[0,．[0,+8)B．[1,3]-I]1-I]11—1，—3」［解析］•・ffx))—=0,."fx［解析］•・ffx))—=0,."fx))=,fx)=—1或fx)=—kkW0).)当k0时，作出fx)的函数图象如图所示:由图象可知fx)=—1无解且fx)=—1无解，即ffx))-=0无解，不符合题意;k;ffx))—=0有3个实根，・•・fx)=k有个实根，；.1—kW3,解得一1kW—3综上，k的取值范围是(一1,一1故选［答案］C［模型解法］~~解决已知函数零点的存在情况求参数的取值范围问题时，应该根据零点的存在情况，利用函数零点的存在性定理、二次函数的判别式等得到关于参数的不等式组，然后求解即可•破解此类题的关键点：1转化，把已知函数零点的存在情况转化为方程的解或两函数图象的交点的情况；2列式，根据零点存在性定理或结合函数图象列式；下结论，求出参数的取值范围或根据图象得出参数的取值范围.角度2已知函数在某区间上有零点求参数［例4］121安庆模拟函数fx=x2-ax+1在区间Q,)上有零点，则实数a的取值范围是().2,+8.［2,+82,2)41-)221南阳模拟设函数fx=22x+1,gx=22x-1,若关于x的函数Fx=gx-fx-m在［1,2］上有零点，求m的取值范围.［解析］1由x2—ax+1=得a=x+x，其中xG^2,)・•函数歹=x+x在Q,1)上为减函数，在1,为增函数，'•y=2，y=—•・a£2,1-)2令Fx=,即gx-fx-m=所以m=gx-fx=22x一1-22x+1=22一=2(1-1)因为1Wx忘2,所以W2x+1W所以2w高w2,1w1一高w-所以2-1w2(1-2x+7)W2-,即J

所以m所以m的取值范围是21，2[答案](1)[模型解法]已知根或零点的区间求参数，要根据区间建立不等关系，其关键点为:⑴构造方程或函数(反解参数)；(2)利用零点区间，求解函数的值域或不等式；()确定参数范围.[高考类题](201高考全国卷川)已知函数f(x)=x2—2+a(ex-1+e-x+1)有唯一零点，则a=()11.2.1解析：由fx)=x2—2x+a(ex-1+e-x+1),得f[2—x)=(2—x)2—2(2—x)+a[e2-x-i+e-(2-x)+i]=x2—x+—+2x+a(e1-x+ex-1)=x2—2x+a(ex-1+e-x+1),所以f(2—x)=fx),即x=1为fx)图象的对称轴.由题意，fx)有唯一零点，所以f(x)的零点只能为x=1,即f(1)=12—2X1+a(e1-1+e-1+1)=0,解得a=2故选答案：(201高考山东卷)已知当x引0,1]时，函数歹=(mx-1)2的图象与歹=x++m的图象有且只有一个交点，则正实数m的取值范围是().(0,1]U[2\T,+8).(0,1]U[,+8).(0,V2]U[2/，+8).(0,W]U[,+8)解析：①当0mW1时，在同一■平面直角坐标系中作出函数y=(mx—1)2与y=x++m的图象,如图.易知此时两函数图象在X£［0,1］上有且只有一个交点;②当m1时，在同一平面直角坐标系中作出函数y==mx—1与y=+m的图象，如图．要满足题意，则m—1三1+m，解得m三或mW0舍去，二m三综上，正实数m的取值范围为0,1］U［,+8.答案：［真题感悟］1［考点二］01高考安徽卷下列函数中，既是偶函数又存在零点的是.y=x.y=x.y=x.y=x+1解析：y=x是偶函数，且存在零点；y=x是奇函数；y=x既不是奇函数又不是偶函数；y=x+1是偶函数，但不存在零点.故选答案：［考点一］01高考北京卷已知函数fx=-—x，在下列区间中，包含fx零点的x区间是()A．(0,1)B．(1,2)•,•，+8解析：因为f1=—1=0,f=—=0,f=-—=—1-0，所以函数fx的零点所在区间为，，故选答案：［考点三］01高考山东卷已知函数fx=x—+1,gx=Ax若方程fx=gx有两个

不相等的实根，则实数左的取值范围是解析：在同一坐标系中分别画出函数fx,gx的图象如图所示，方程fx=gx有两个不相等的实根等价于两个函数的图象有两个不同的交点，结合图象可知，当直线y=kx的斜率大于坐标原点故一与点连线的斜率且小于直线歹=x一的斜率时符合题意考点三故一与点连线的斜率且小于直线歹=x一的斜率时符合题意考点三n八、、--高考天津卷已知函数fx、（x一）,x，函数gx=b—f—x，其个不同的交点.又y=个不同的交点.又y=fx+f—x=<，作出该函数的图象如图所示，中b£若函数y=fx-gx恰有个零点，则b的取值范围是j-)解析：函数y=fx—gx恰有个零点，即方程fx—gx=,一x有个不同