圆的标准方程教学课件

2.4.1圆的标准方程朱提升1.在平面内点A(3,4)到原点0的距离为多少?A2.平面内还有点到原点距离为5的吗?有多少个?OB(-3,4)问题情境平面内到定点的距离等于定长的点的集合叫做圆定点是圆心它确定位置定长是半径它确定大小当圆心位置与半径大小确定后，圆就唯一确定了．圆上的点有什么共同的特征?圆的方程xOyA(a,b)Mr(x,y)推导

如图，在直角坐标系中，圆心（点）A的位置用坐标(a,b)表示，该圆的半径为r．M(x,y)为圆上的任意一点圆的方程根据两点间距离公式：则点M、A间的距离为：即：

是否在圆上的点都适合这个方程？是否适合这个方程的坐标的点都在圆上？圆的标准方程

若点M(x,y)在圆上，由前面讨论可知，点M的坐标适合方程；反之，若点M(x,y)的坐标适合方程，这就说明点M与圆心的距离是r，即点M在圆心为A(a,b)，半径为r的圆上．

我们把这个方程称为圆心为A(a,b)，半径长为r的圆的方程，把它叫做圆的标准方程（standardequationofcircle）.圆的标准方程（2）当圆心在原点,即a=0,b=0时,圆的方程的形式是什么？(x-a)2+(y-b)2=r2圆心（a,b),半径r参数a,b,r（1）方程中参数a、b、r的意义是什么？（3）要确定一个圆的方程，只需要求出什么条件？练习:(口答)说出圆心坐标和半径。(1)

(x-3)2+(y+2)2=4(2)

(x+4)2+(y-3)2=7(3)

(x-2)2+(y+5)2=a2(a≠0)圆心(3,-2)半径2圆心(-4,3)半径圆心(2,-5)半径(4)x2+(y-3)2=0练习:写出下列各圆的方程。(1)圆心在原点,半径是3(3)经过点P(5,0),圆心在点C(8,-4)(2)圆心在(-2，-5),半径是(4)圆心在（-1、2），与y轴相切练习XY0c-1C(-1,2)r=1(x+1)2+(y-2)2=1

例1

写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上．

解：圆心是，半径长等于5的圆的标准方程是：

把的坐标代入方程左右两边相等，点的坐标适合圆的方程，所以点在这个圆上；典型例题

把点的坐标代入此方程，左右两边不相等，点的坐标不适合圆的方程，所以点不在这个圆上．

例1

写出圆心为，半径长等于5的圆的方程，并判断点，是否在这个圆上．

解：圆心是，半径长等于5的圆的标准方程是：典型例题AxyoM1M2

怎样判断点在圆内呢？还是在圆外呢？点与圆的位置关系探究AxyoM1M2M3

从上题知道，判断一个点在不在某个圆上，只需将这个点的坐标带入这个圆的方程，如果能使圆的方程成立，则在这个圆上，反之如果不成立则不在这个圆上．

怎样判断点在圆内呢？还是在圆外呢？点与圆的位置关系探究AxyoM1M2M3

可以看到：点在圆外——点到圆心的距离大于半径r；

点在圆内——点到圆心的距离小于半径r．练习重要结论：点P(x0,y0)与圆(x-a)2+(y-b)2=r2的位置关系：课堂练习1.y=-x+2上一点P(x,y),求x2+y2的最小值。2.(x-3)2+(y-4)2=4,求（x-1)2+y2最大值。

例题2

的三个顶点的坐标分别A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)，求它的外接圆的方程．

分析：不在同一条直线上的三个点可以确定一个圆，三角形有唯一的外接圆．

解：设所求圆的方程是（1）

因为A(5,1),B(7,－3)，C(2,－8)都在圆上，所以它们的坐标都满足方程（1）．于是典型例题待定系数法所以，的外接圆的方程．解法二：l2l1因为A(5,1)和B(7,-3)，所以线段AB的中点的坐标为(6,-1)，直线AB的斜率因此线段AB的垂直平分线l1的方程是：即：所以，圆心为C的圆的标准方程是：因为B(7,-3)和C(2,-8)

，所以线段BC的中点的坐标为(4.5,-5.5)，直线BC的斜率因此线段BC的垂直平分线l2的方程是：即：△ABC的外接圆的圆心O的坐标是方程组的解解得：即

O(2,-3)圆O的半径长：练习:解:解方程组:例3、已知圆过点A(2,-3)和B(-2,-5),若圆心Q在直线x-2y–3=0上，试求圆的方程。思路(利用圆的几何性质）易求出线段AB的中垂线程：2x+y+4=0……(1)又已知圆心在直线x-2y-3=0上…(2)由(1)(2)求得交点Q(-1,-2)即为圆心坐标，

所以r2=QA2=(2+1)2+(-3+2)2=10，所以圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.·B(-2,-5)·A(2,-3)Qxyo例3、已知圆过点A(2,-3)和B(-2,-5),若圆心Q在直线x-2y–3=0上，试求圆的方程。思路(待定系数法）设所求圆的方程为:(x-a)2+(y-b)2=r2

则有a=-1b=-2r2=10所求圆的方程为(x+1)2+(y+2)2=10.···(2-a)2+(-3-b)2=r2(-2-a)2+(-5-b)2=r2a–2b–3=0·B(-2,-5)·A(2,-3)Qxyx-2y–3=0o已知(1,2)和(5,6)