2023年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析(5)-解析几何

2023年湖南高考数学必考点题型热点预测与分析命题热点五解析几何高考对解析几何的考查主要包括以下内容：直线与圆的方程、圆锥曲线等，在高考试卷中一般有1~2个客观题和1个解答题，其中客观题主要考查直线斜率、直线方程、圆的方程、直线与圆的位置关系、圆锥曲线的定义应用、标准方程的求解、离心率的计算等，解答题那么主要考查直线与椭圆、抛物线等的位置关系问题，经常与平面向量、函数与不等式交汇等，考查一些存在性问题、证明问题、定点与定值、最值与范围问题等，解析几何试题的特点是思维量大、运算量大，所以应加强对解析几何重点题型的训练.预测1.如果圆关于直线对称，那么直线的斜率等于————————————.解析：依题意直线经过点，所以，，于是直线斜率为.动向解读：此题考查直线方程与斜率、圆的方程、对称等根本问题，这是解析几何的根底内容，是高考的重点内容，一般以选择题、填空题的形式考查，有时也间接考查，与圆锥曲线的内容综合起来进行考查.预测2.双曲线的左右焦点分别是，P点是双曲线右支上一点，且，那么三角形的面积等于——————————.解析：由可得，，而，所以，又，所以可得三角形的面积等于.动向解读：此题考查双曲线的定义、三角形面积的计算等问题，是一道综合性的小题.尽管高考对双曲线的考查要求不高，但对于双曲线的定义、离心率、渐近线等知识点的考查却常考常新，经常会命制一些较为新颖的考查根底知识的小题目.解答这类问题要善于运用双曲线的定义，善于运用参数间的关系求解.预测3.椭圆，是椭圆上关于原点对称的两点，是椭圆上任意一点，且直线的斜率分别为，假设，那么椭圆的离心率为A.B.C.D．解析：设，那么，依题意有.又因为在椭圆上，所以，两式相减得，即，所以，即，解得.应选C.动向解读：此题考查椭圆的离心率问题，这是高考的热点内容，这类问题的特点是：很少直接给出圆锥曲线的方程等数量关系，而是提供一些几何性质与几何位置关系，来求离心率的值或取值范围.解决这类问题时，首先应考虑运用圆锥曲线的定义获得必要的数量关系或参数间的等量关系，其次是根据题目提供的几何位置关系，确定参数满足的等式或不等式，然后根据的关系消去参数，从而可得到离心率的值或取值范围.预测4.椭圆的短轴长为，那么直线截圆所得的弦长等于.解析：由椭圆定义知，所以，于是，圆的圆心到直线的距离等于，故弦长等于.动向解读：此题考查椭圆定义、椭圆标准方程、直线与圆的位置关系等问题，是一道多知识点的综合性小题，这正表达了高考数学命题所追求的“在知识交汇点处命题〞的原那么.值得注意的是：此题中椭圆方程没有直接给出，而是要借助椭圆的定义进行分析求解，才能得到有关的参数值.预测5.〔理科〕椭圆的左、右焦点分别为F1和F2，以F1、F2为直径的圆经过点M〔0，b〕.〔1〕求椭圆的方程；〔2〕设直线l与椭圆相交于A，B两点，且.求证：直线l在y轴上的截距为定值.解析：〔1〕由题设知，又，所以，故椭圆方程为；〔2〕因为，所以直线与x轴不垂直.设直线的方程为，.由得，所以，又，所以，即，，整理得，即，因为，所以，展开整理得，即.直线l在y轴上的截距为定值.预测6.椭圆〔〕的右焦点为，离心率为.〔Ⅰ〕假设，求椭圆的方程；〔Ⅱ〕设直线与椭圆相交于，两点，分别为线段的中点.假设坐标原点在以为直径的圆上，且，求的取值范围.解：〔Ⅰ〕由题意得，得.………………2分结合，解得，.………………3分所以，椭圆的方程为.………………4分〔Ⅱ〕由得.设.所以，………………6分依题意，，易知，四边形为平行四边形，所以，………………7分因为，，所以.………………8分即，………………9分将其整理为.………………10分因为，所以，.………………11分所以，即.预测7.椭圆的离心率为，以原点为圆心，椭圆短半轴长为半径的圆与直线相切，分别是椭圆的左右两个顶点，为椭圆上的动点.〔Ⅰ〕求椭圆的标准方程；〔Ⅱ〕假设与均不重合，设直线与的斜率分别为，证明：为定值；〔Ⅲ〕为过且垂直于轴的直线上的点，假设，求点的轨迹方程，并说明轨迹是什么曲线．解：〔Ⅰ〕由题意可得圆的方程为，∵直线与圆相切，∴，即，又，即，，解得，，所以椭圆方程为．〔Ⅱ〕设，，，那么，即，那么，，即，∴为定值．〔Ⅲ〕设，其中．由及点在椭圆上可得，整理得，其中．①当时，化简得，所以点的轨迹方程为，轨迹是两条平行于轴的线段；②当时，方程变形为，其中，当时，点的轨迹为中心在原点、实轴在轴上的双曲线满足的局部；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆满足的局部；当时，点的轨迹为中心在原点、长轴在轴上的椭圆．预测8.椭圆的离心率.直线〔〕与曲线交于不同的两点,以线段为直径作圆,圆心为．(1)求椭圆的方程；(2)假设圆与轴相交于不同的两点，求的面积的最大值.〔1〕解：∵椭圆的离心率,∴.……2分解得.∴椭圆的方程为．……4分〔2〕解法1：依题意，圆心为．由得.∴圆的半径为．……6分∵圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，∴，即．∴弦长．……8分∴的面积……9分.……12分当且仅当，即时，等号成立.∴的面积的最大值为．……13分解法2：依题意，圆心为．由得.∴圆的半径为．……6分∴圆的方程为．∵圆与轴相交于不同的两点，且圆心到轴的距离，∴，即．在圆的方程中，令，得，∴弦长．∴的面积.当且仅当，即时，等号成立.∴的面积的最大值为．预测9.抛物线，其焦点到准线的距离为。,〔1〕试求抛物线的方程；〔2〕设抛物线上一点的横坐标为，过的直线交于另一点，交轴于，过点作的垂线交于另一点，假设是的切线，求的最小值．D解：〔1〕D〔2〕设，那么直线的方程为令，得，，且两直线斜率存在，，即，整理得，又在直线上，那么与共线，得由〔1〕、〔2〕得，，或〔舍〕所求的最小值为。预测10.圆及定点，点P是圆M上的动点，点Q在NP上，点G在MP上，且满足，．〔1〕求G的轨迹C的方程；〔2〕过点作直线l，与曲线C交于A,B两点，O为坐标原点，设，是否存在这样的直线l，使四边形OASB的对角线相等？假设存在，求出直线l的方程；假设不存在，说明理由．解：〔1〕，所以椭圆方程为………4分〔2〕四边形为平行四边形，又其对角线相等，那么当直线的斜率不存在时，四边形的对角线不相等；…………6分当直线的斜率存在时，设直线，联立……9分，整理得〔*〕代入得所以存在直线……………12分预测10.动圆过点且与直线相切.〔1〕求点的轨迹的方程；〔2〕过点作一条直线交轨迹于两点，轨迹在两点处的切线相交于点，为线段的中点，求证：轴.OOFxy··P第22题解：〔1〕根据抛物线的定义，可得动圆圆心的轨迹C的方程为…………4分证明：设，∵，∴，∴的斜率分别OFxy··P第22题为，故的方程为OFxy··P第22题即，两式相减，得，又，∴的横坐标相等，于是………………10分预测11.点P〔4，4〕，圆C：与椭圆E：有一个公共点A〔3，1〕，F1．F2分别是椭圆的左．右焦点，直线PF1与圆C相切．〔1〕求m的值与椭圆E的方程；〔2〕设Q为椭圆E上的一个动点，求的范围．解：〔Ⅰ〕点A代入圆C方程， 得．∵m＜3，∴m＝1．圆C：．设直线PF1的斜率为k，那么PF1：，即．∵直线PF1与圆C相切，∴．解得．当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为，不合题意舍去．当k＝时，直线PF1与x轴的交点横坐标为－4，∴c＝4．F1〔－4，0〕，F2〔4，0〕．2a＝AF1＋AF2＝，，a2＝18，b2＝2．椭圆E的方程为：．〔Ⅱ〕，设Q〔x，y〕，，．∵，即，而，∴－18≤6xy≤18．那么的取值范围是[0，36]．的取值范围是[－6，6]．∴的取值范围是[－12，0]．预测12.抛物线：的焦点为，过点作直线交抛物线于、两点；椭圆的中心在原点，焦点在轴上，点是它的一个顶点，且其离心率．〔1〕求椭圆的方程；〔2〕经过、两点分别作抛物线的切线、，切线与相交于点．证明：；〔3〕椭圆上是否存在一点，经过点作抛物线的两条切线、〔、为切点〕，使得直线过点？假设存在，求出抛物线与切线、所围成图形的面积；假设不存在，试说明理由．解：〔1〕设椭圆的方程为，半焦距为.由条件，得，∴解得.所以椭圆的方程为：.…………分〔2〕显然直线的斜率存在，否那么直线与抛物线只有一个交点，不合题意，故可设直线的方程为，，由消去并整理得，∴.…………分∵抛物线的方程为，求导得，∴过抛物线上、两点的切线方程分别是，，即，，解得两条切线、的交点的坐标为，即，……分∴∴.…………8分〔3〕假设存在点满足题意，由〔2〕知点必在直线上，又直线与椭圆有唯一交点，故的坐标为，设过点且与抛物线相切的切线方程为：，其中点为切点.令得，，解得或，…………10分故不妨取，即直线过点.综上所述，椭圆上存在一点，经过点作抛物线的两条切线、〔、为切点〕，能使直线过点.此时，两切线的方程分别为和.…