第二章平面向量章末检测(人教A版必修4)

第二章平面向量章末检测(人教A版必修4)第二章平面向量章末检测(人教A版必修4)第二章平面向量章末检测(人教A版必修4)第二章章末检测(时间：120分钟满分：150分)一、选择题(本大题共12小题，每题5分，共60分)1．以下向量组中，能作为表示它们所在平面内所有向量的基底的是( )A．e1＝(0,0)，e2＝(1，－2)B．e1＝(－1,2)，e2＝(5,7)C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10)3D．e1＝(2，－3)，e2＝2，－42．已知a＝(2,4)，则与a垂直的单位向量的坐标为( )55，－255或－55，－25555，－255或－55，255C.25，－5或－25，－55555D.－25，5或25，－555551→→)3．已知A(7,1)、B(1,4)，直线y＝ax与线段AB交于C，且AC＝2CB，则实数a等于(245A．2B．1C.5D.34．若向量a＝(1,1)，b＝(1，－1)，c＝(－1,2)，则c等于()1313A．－2a＋2bB.2a－2b3131C.2a－2bD．－2a＋2b5．在平面直角坐标系中，→＝O为坐标原点，已知A(3，1)，B(－1，3)，若点C满足OC→→，α，β∈R，且α＋β＝1，则点C的轨迹方程为()αOA＋βOBA．3x＋2y－11＝0B．(x－1)2＋(y－2)2＝5C．2x－y＝0D．x＋2y－5＝06．若a＝(λ，2)，b＝(－3,5)，且a与b的夹角是钝角，则λ的取值范围是( )A.10，＋∞B.10，＋∞33C.－∞，10D.－∞，10337．已知点A(－1,2)和B(6,1)，按向量a平移后的坐标分别为A′(－3，m)和B′(n,4)，则a等于()A．(－2,3)B．(2，－3)C．(－3,2)D．(3，－2)→→8．在菱形ABCD中，若AC＝2，则CA·AB等于( )A．2B．－2→D．与菱形的边长有关C．|AB|cosA∥等于( )9．平面向量a＝(1,2)，b＝(－2，m)，且ab，则2a＋3bA．(－2，－4)B．(－3，－6)C．(－4，－8)D．(－5，－10)10．已知|a|＝2|b|≠0，且关于x的方程x2＋|a|x＋a·b＝0有实根，则a与b的夹角的取值范围是()ππA.0，6B.3，ππ2ππC.，3D.6，π3π11．已知|p|＝2，则以a＝5p＋2q，b＝p－3q为邻边的平行四2，|q|＝3，p、q夹角为4边形的一条对角线长为()A．15B.15C．14D．16→→→→12．在△OAB中，OA＝a，OB＝b，OD是AB边上的高，若AD＝λAB，则实数λ等于( )a·b－aa·a－bA.|a－b|2B.|a－b|2a·b－aa·a－bC.|a－b|D.|a－b|二、填空题(本大题共4小题，每题5分，共20分)13．设e1、e2是平面内一组基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，则向量e1＋e2可以表示为另一组基向量a、b的线性组合，则e1＋e2＝______a＋______b.→1→14．已知O(0,0)和A(6,3)，若点P在线段OA上，且OP＝PA，又点P是线段OB的中点，则点B的坐标是________．215．已知平面上直线l的方向向量d＝(3，－4)，点O(0,0)和A(4，－2)在l上的射影分别是O→1和A1，则|O1A1|＝________.以下列图，半圆的直径AB＝2，O为圆心，C是半圆上不相同于A，B的任意一点．若→→→P为半径OC上的动点，则(PA＋PB)·PC的最小值是____________．三、解答题(本大题共6小题，共70分)17．(10分)已知a⊥b，且|a|＝2，|b|＝1，若对两个不相同时为零的实数－3)b与－ka＋tb垂直，试求k的最小值．

k，t，使得

a＋(t18．(12分)已知|a|＝1，a·b＝1，(a－b)·(a＋b)＝1，求：22(1)a与b的夹角；(2)a－b与a＋b的夹角的余弦值．19.(12分)已知正方形ABCD，E、F分别是CD、AD的中点，BE、CF交于点P.求证：(1)BE⊥CF；(2)AP＝AB.→→→→→→→→→3|20．(12分)已知向量OP1、OP2、OP3满足条件OP1＋OP2＋OP3＝0，|OP1|＝|OP2|＝|OP＝1.求证：△P1P2P3是正三角形．21.(12分)设a，b是两个不共线的非零向量(t∈R)．1(1)若a与b起点相同，t为何值时a，tb，3(a＋b)三向量的终点在素来线上？(2)若|a|＝|b|且a与b夹角为60°，那么t为何值时，|a－tb|的值最小？→→→，点Q为直22．(12分)平面直角坐标系xOy内有向量OA＝(1,7)，OB＝(5,1)，OP＝(2,1)线OP上一动点．→→→(1)当QA·QB获取最小值时，求OQ坐标；(2)当点Q满足(1)中条件时，求cos∠AQB值．第二章章末检测答案1．B2.D→3．A[设C(x，y)，则AC＝(x－7，y－1)，→CB＝(1－x,4－y)→→∵AC＝2CB，x－7＝21－xx＝3∴，解得.∴C(3,3)．y－1＝24－yy＝3又∵C在直线y＝1ax上，2∴3＝1a·3，∴a＝2.]24．B→→→5．D[∵OC＝αOA＋βOB，α＋β＝1，∴点A，B，C共线，即点C的轨迹是直线AB.]106．A[a·b＝－3λ＋10<0，∴λ>3.当a与b共线时，λ＝2，∴λ＝－6.－35510此时，a与b同向，∴λ>.]7．A[设a＝(x0，y0)，则由A(－1,2)→A′(－3，m)．∴－3－(－1)＝x0，∴x0＝－2.由B(6,1)→B′(n,4)，∴4－1＝y0.∴y0＝3，∴a＝(－2,3)．]8．B[如图，设对角线AC与BD交于点O，→→→∴AB＝AO＋OB.→→→→→CA·AB＝CA·(AO＋OB)＝－2＋0＝－2，应选B.]9．C[∵a∥b，∴1·m－2·(－2)＝0，m＝－4，∴b＝(－2，－4)．2a＋3b＝(－4，－8)．]10．B[＝|a|2－4a·b＝|a|2－4|a||b|cos〈a，b〉4|b|2－8|b|2cos〈a，b〉≥0.cos〈a，b〉≤1，〈a，b〉∈[0，π]．2π∴3≤〈a，b〉≤π].11．A[a＋b＝6p－q，对角线长为|a＋b|＝22π|6p|＋|q|－2|6p|·|q|cos＝288＋9－72＝225＝15.]→→→→→12．B[∵AD＝λAB，∴OD＝OA＋AD→→＝OA＋λAB＝(1－λ)a＋λb，→→∴OD·AB＝[(1－λ)a＋λb]·(b－a)＝0，22∴(1－λ)a·b＋λb－(1－λ)a－λa·b＝0.22a·a－b∴λ(a－b)＝a－a·b，∴λ＝|a－b|2.]113.3－3剖析设e1＋e2＝xa＋yb，即e1＋e2＝(x－y)e1＋(2x＋y)e2.x－y＝1，∴2x＋y＝1.x＝2，y＝－1.3314．(4,2)剖析→1→→→，∵OP＝PA，∴PA＝2OP21→→→→→，∴OP＋PA＝3OP，∴OP＝OA＝(2,1)3→→∴OB＝2OP＝(4,2)．15．4剖析→→|O1A1|等于OA在d方向上投影的绝对值，→→→即|O1A1|＝||OA|cos〈OA，d〉|→4，－2·3，－4＝OA·d＝|d|512＋8＝4.5116．－2剖析设PC长为x(0≤x≤1)，则PO长为1－x，依题意，O为AB中点，→→→所以PA＋PB＝2PO，→→→→→(PA＋PB)·PC＝2PO·PC＝－2x(1－x)(0≤x≤1)．问题转变成求函数t＝2x2－2x，x∈[0,1]的最小值问题．2121t＝2x－2x＝2x－－.当x＝12时，t有最小值为－12.→→→1故(PA＋PB)·PC的最小值为－.217．解因为a⊥b，所以a·b＝0，又由已知得[a＋(t－3)b]·(－ka＋tb)＝0，所以－ka2＋t(t－3)b2＝0，因为|a|＝2，|b|＝1，所以－4k＋t(t－3)＝0，121t－329(t≠0)，所以k＝(t－3t)＝42－164故当t＝3时，k取最小值－9216.2218．解(1)∵(a－b)·(a＋b)＝|a|－|b|1－|b|2＝12，|b|2＝12，∴|b|＝22，设a与b的夹角为θ，1则cosθ＝a·b＝2＝2|a||b|22.1×2∴θ＝45°.2(2)∵|a|＝1，|b|＝2，|a－b|2＝a2－2a·b＋b2111＝1－2×2＋2＝2.|a－b|＝22，又|a＋b|2＝a2＋2a·b＋b2115＝1＋2×2＋2＝2.|a＋b|＝102设a－b与a＋b的夹角为α，则a－b·a＋bcosα＝|a－b|·|a＋b|＝19．证明

1＝5.2×10522如图建立直角坐标系xOy，其中A为原点，不如设AB＝2，则A(0,0)，B(2,0)，C(2,2)，E(1,2)，F(0,1)．→→→(1)BE＝OE－OB＝(1,2)－(2,0)＝(－1,2)，→→→CF＝OF－OC＝(0,1)－(2,2)(－2，－1)，→→∵BE·CF＝－1×(－2)＋2×(－1)＝0，→→∴BE⊥CF，即BE⊥CF.→→(2)设P(x，y)，则FP＝(x，y－1)，CF＝(－2，－1)，→→∵FP∥CF，∴－x＝－2(y－1)，即x＝2y－2.→→同原由BP∥BE，得y＝－2x＋4，代入x＝2y－2.解得x＝6，∴y＝8，即P6，85555.AP→2＝652＋852＝4＝AB→2，→|AP|＝|AB|，即AP＝AB.20．证明→→→∵OP1＋OP2＋OP3＝0，→→→|OP1|＝|OP2|＝|OP3|，→→→∴OP1＋OP2＝－OP3，→→2→2∴(OP1＋OP2)＝(－OP3)，→2→2→→→2∴|OP1|＋|OP2|＋2OP1·OP2＝|OP3|，→→1，∴OP1·OP2＝－2→→cos∠P1OP2＝OP1·OP2＝－1，→→2|OP1||OP·2|∴∠P1OP2＝120°.同理，∠P1OP3＝∠P2OP3＝120°，→→→即OP1、OP2、OP3中任意两个向量的夹角为120°，由余弦定理可得，|P1P2|＝|P2P3|＝|P1P3|，故△P1P2P3是正三角形．121．解(1)a－tb＝ma－3a＋b，m∈R，化简整理得2m－1m－tb，3a＝3∵a，b为不共线的非零向量，2m33－1＝0，m＝2，∴解之得1m3－t＝0，t＝2，∴当t＝12时，三向量的终点在素来线上．(2)|a－tb|2＝(a－tb)2|a|2－2ta·b＋|tb|2|a|2＋|tb|2－2t|a||b|cos60°(1－t＋t2)|a|2232t－2＋4|a|，13∴当t＝2时，|a－tb|有最小值2|a|.22．解→(1)设OQ＝(x，y)，∵点Q在直线OP上，→→→，∴向量OP与OQ共线，又OP＝(2,1)→∴x－2y＝0，即x＝2y，∴OQ＝(2y，y)，→→→又QA＝OA－