专题05 正余弦定理的应用(原卷版)

专题05正余弦定理的应用1、【2019年高考全国Ⅱ卷文数】的内角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知bsinA+acosB=0，则B=___________.2、【2019年高考浙江卷】在中，，，，点在线段上，若，则___________，___________．3、【2019年高考江苏卷】在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．（1）若a=3c，b=，cosB=，求c的值；（2）若，求的值．4、【2019年高考江苏卷】如图，一个湖的边界是圆心为O的圆，湖的一侧有一条直线型公路l，湖上有桥AB（AB是圆O的直径）．规划在公路l上选两个点P、Q，并修建两段直线型道路PB、QA．规划要求：线段PB、QA上的所有点到点O的距离均不小于圆O的半径．已知点A、B到直线l的距离分别为AC和BD（C、D为垂足），测得AB=10，AC=6，BD=12（单位：百米）．（1）若道路PB与桥AB垂直，求道路PB的长；（2）在规划要求下，P和Q中能否有一个点选在D处？并说明理由；（3）在规划要求下，若道路PB和QA的长度均为d（单位：百米）.求当d最小时，P、Q两点间的距离．5、【2019年高考全国Ⅲ卷文数】的内角A、B、C的对边分别为a、b、c．已知．（1）求B；（2）若△ABC为锐角三角形，且c=1，求△ABC面积的取值范围．6、【2019年高考北京卷文数】在△ABC中，a=3，，cosB=．（1）求b，c的值；（2）求sin（B+C）的值．7、【2019年高考天津卷文数】在中，内角所对的边分别为.已知，.（1）求的值；（2）求的值.一、正弦、余弦定理1、在△ABC中，若角A，B，C所对的边分别是a，b，c，R为△ABC外接圆半径，则定理正弦定理余弦定理内容eq\f(a,sinA)＝eq\f(b,sinB)＝eq\f(c,sinC)＝2Ra2＝b2＋c2－2bccosA；b2＝c2＋a2－2cacosB；c2＝a2＋b2－2abcosC变形（1）a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC；(2)sinA＝eq\f(a,2R)，sinB＝eq\f(b,2R)，sinC＝eq\f(c,2R)；(3)a∶b∶c＝sinA∶sinB∶sinC；(4)asinB＝bsinA，bsinC＝csinB，asinC＝csinAcosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)；cosB＝eq\f(c2＋a2－b2,2ac)；cosC＝eq\f(a2＋b2－c2,2ab)2、S△ABC＝eq\f(1,2)absinC＝eq\f(1,2)bcsinA＝eq\f(1,2)acsinB＝eq\f(abc,4R)3、正余弦定理的作用：(1)．正弦定理的作用：边角互化问题，方法有：①利用a＝2RsinA，b＝2RsinB，c＝2RsinC将边化为角；②利用cosA＝eq\f(b2＋c2－a2,2bc)等将余弦化为边；③ccosB＋bcosC＝a等化角为边．(2)．求边长问题，方法有：①利用正弦定理求边；②利用余弦定理求边．二、在△ABC中，已知a、b和A时，解的情况如下：A为锐角A为钝角或直角图形关系式a＝bsinAbsinA<a<ba≥ba>b解的个数一解两解一解一解三、实际问题中的常用角1、仰角和俯角：与目标线在同一铅垂平面内的水平视线和目标视线的夹角，目标视线在水平视线上方叫仰角，目标视线在水平视线下方叫俯角(如图①).(2)方向角：相对于某正方向的水平角，如南偏东30°，北偏西45°等.(3)方位角：指从正北方向顺时针转到目标方向线的水平角，如B点的方位角为α(如图②).(4)坡度：坡面与水平面所成的二面角的正切值.四、注意点：1、解三角形时，如果式子中含有角的余弦或边的二次式，要考虑用余弦定理；如果式子中含有角的正弦或边的一次式时，则考虑用正弦定理；以上特征都不明显时，则考虑两个定理都有可能用到.2.关于解三角形问题，一般要用到三角形的内角和定理，正弦、余弦定理及有关三角形的性质，常见的三角恒等变换方法和原则都适用，同时要注意“三统一”，即“统一角、统一函数、统一结构”.题型一、运用正余弦定理解三角形的基本量三角形的基本量主要是指变、角、面积等。解题时注意一下两点：(1)根据所给等式的结构特点利用正、余弦定理将角化边进行变形是迅速解答本题的关键.(2)熟练运用正、余弦定理及其推论，同时还要注意整体思想、方程思想在解题过程中的运用.例1、(2019通州、海门、启东期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，若acosB＝3bcosA，B＝A－eq\f(π,6)，则B＝________．例2、(2019苏州三市、苏北四市二调）在△ABC中，已知C＝120°，sinB＝2sinA，且△ABC的面积为2eq\r(3)，则AB的长为________．例3、(2019镇江期末）在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且ccosB＋bcosC＝3acosB.(1)求cosB的值；(2)若|eq\o(CA,\s\up6(→))－eq\o(CB,\s\up6(→))|＝2，△ABC的面积为2eq\r(2)，求边b.题型二、运用正余弦定理研究三角形中的范围运用正余弦定理研究三角形中的范围主要涉及两方面的问题：一是：与不等式结合；二是有角的范围，确定三角函数值的范围·例4、(2019苏州期初调查）在斜三角形ABC中，已知eq\f(1,tanA)＋eq\f(1,tanB)＋tanC＝0，则tanC的最大值等于________．例5、(2018苏锡常镇调研（二））在△中，三个内角，，的对边分别为，设△的面积为，且.（1）求的大小；（2）设向量，，求的取值范围．题型三、正余弦定理与向量的综合正余弦定理与向量的综合主要就是借助于向量的知识转化为边角的函数关系式，然后运用正余弦定理解决问题。例6、(2019无锡期末）在△ABC中，设a，b，c分别是角A，B，C的对边，已知向量m＝(a，sinC－sinB)，n＝(b＋c，sinA＋sinB)，且m∥n.(1)求角C的大小；(2)若c＝3,求△ABC的周长的取值范围．题型四、运用正余弦定理解决实际问题解三角形应用题的解题技巧：首先，理清题干条件和应用背景，画出示意图；其次，把所求问题归结到一个或几个三角形中，利用正弦定理、余弦定理等有关知识求解；最后，回归实际问题并检验结果.例7、（2019苏北三市期末）如图，某公园内有两条道路AB，AP，现计划在AP上选择一点C，新建道路BC，并把△ABC所在的区域改造成绿化区域．已知∠BAC＝eq\f(π,6)，AB＝2km.(1)若绿化区域△ABC的面积为1km2，求道路BC的长度；(2)若绿化区域△ABC改造成本为10万元/km2，新建道路BC成本为10万元/km.设∠ABC＝θeq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0<θ≤\f(2π,3)))，当θ为何值时，该计划所需总费用最小？填空题1、(2018苏中三市、苏北四市三调）在△中，若，则的值为．2、(2017常州期末）在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若a2＝3b2＋3c2－2eq\r(3)bcsinA，则C＝________.3、(2019苏州三市、苏北四市二调）在△ABC中，已知C＝120°，sinB＝2sinA，且△ABC的面积为2eq\r(3)，则AB的长为________．4、(2019南京学情调研）已知△ABC的面积为3eq\r(15)，且AC－AB＝2，cosA＝－eq\f(1,4)，则BC的长为________．5、(2019苏州期初调查）已知△ABC的三边上高的长度分别为2，3，4，则△ABC最大内角的余弦值等于________．6、(2017南通、扬州、泰州、淮安三调）在锐角△ABC中，，．若△ABC的面积为，则的长是．7、(2019苏锡常镇调研（一））在△ABC中，角A，B，C所对的边分别为a，b，c，已知5a＝8b，A＝2B，则sineq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(A－\f(π,4)))＝________．8、(2018苏锡常镇调研））设△的内角，，的对边分别是，且满足，则．9、(2019南京、盐城二模）在△ABC中，若sinC＝2cosAcosB，则cos2A＋cos2B的最大值为________．10、(2017南京、盐城一模）在△ABC中，A，B，C所对的边分别为a，b，c，若a2＋b2＋2c2＝8，则△ABC面积的最大值为________．二、解答题11、(2019南京、盐城一模）在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，记△ABC的面积为S，若2S＝eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))，(1)求角A的大小；(2)若c＝7，cosB＝eq\f(4,5)，求a的值．12、(2019南通、泰州、扬州一调）在△ABC中，a，b，c分别为角A，B，C所对边的长，acosB＝eq\r(2)bcosA，cosA＝eq\f(\r(3),3).(1)求角B的值；(2)若a＝eq\r(6)，求△ABC的面积．13、(2019宿迁期末）已知△ABC的面积是S，eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝eq\f(2\r(3),3)S.(1)求sinA的值；(2)若BC＝2eq\r(3)，当△ABC的周长取得最大值时，求△ABC的面积S.14、(2017苏州期末）已知函数f(x)＝eq\f(\r(3),2)sin2x－cos2x－eq\f(1,2).(1)求函数f(x)的最小值，并写出取得最小值时的自变量x的集合；(2)设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且c＝eq\r(3)，f(C)＝0，若sinB＝2sinA，求a，b的值15、(2019镇江期末）某房地产商建有三栋楼宇A，B，C，三楼宇间的距离都为2千米，拟准备在此三