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文档简介

§1.3整除的概念一、带余除法二、综合除法三、整除对一定存在使成立，其中或一、带余除法定理并且这样的是唯一决定的．称为除的商，为除的余式．①若则令结论成立．②若设的次数分别为Proof：当时，结论成立．显然取即有下面讨论的情形，假设对次数小于n的，结论已成立．先证存在性．对作数学归纳法．次数为０时结论显然成立．设的首项为的首项为则

与首项相同，因而，多项式

的次数小于n或f1为0．若

令

即可．

若

由归纳假设，存在

使得

现在来看次数为n的情形．其中

或者

于是即有使成立．的存在性得证．由归纳法原理，对再证唯一性．若同时有其中其中和则

即但

矛盾．

所以从而

唯一性得证．＋)

二、综合除法的商式

和余式可按下列计算格式求得：这里，若

则

除去除①求一次多项式的商式及余式．②把表成的方幂和，即表成的形式．Remark：综合除法用于例1．求除的商式和余式解:由＋)

１－１－１０１有１4１解:∵

1０００００例２.把表成的方幂和．１１１１１１１１１１１１=１232345=１１１136１3614１41110=5=10=三、整除1．定义设若存在使则称整除

记作①时，称为的因式，为的倍式．②不能整除时记作：２．说明③允许，此时有即区别：零多项式整除零多项式，有意义．除数为零，无意义．④当时，如果则除所得的商可表成定理1

３．整除的判定４．整除的性质1)对

有

对

有

即，任一多项式整除它自身；零多项式能被任一多项式整除；零次多项式整除任一多项式．时，与有相同的因式和倍式．2)

若，则3)

若则

证：

若

则

使得

使得

若

则

皆为非空常数．4)若

（整除关系的传递性）成立．

故有

5)若

则对

有

注：反之不然．如

但

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