2019-2020年高中数学 1.2.2单位圆与三角函数线课时作业 新人教B版必修4

2019-2020年高中数学1.2.2单位圆与三角函数线课时作业新人教B版必修4一、选择题已知a(0<a<2n)的正弦线和余弦线长度相等，且符号相同，那么a的值为()A．3nA．3n5n亠7nB•〒或TC.［答案］C［解析］n5n作出角4与4的正弦线、余弦如图所示.n5n由图可知，角匸与丁的正弦线、余弦线长度相等，且符号相同.下列不等式中，成立的是()sin1>sin2B.cos1<cos2C.tan1>tan2D.cot1<cot2［答案］C［解析］如图，由单位圆中的三角函数线可知，sin1<sin2，cos1>cos2，tan1>tan2故选C.F__T/1\0A(l,0)丄1\T'若a是第一象限角，则sina+cosa的值与1的大小关系是()sina+cosa>1B.sina+cosa=1C.sina+cosa<1D.不能确定［答案］A［解析］如图，设a的终边与单位圆交于P点，作PM丄x轴，垂足为M，则sina=MP，cosa=OM.在AOMP中，・.•OM+MP〉OP，・：cosa+sina>1.

4．设a=sin34．设a=sin3、b=cos寻、c=刍、d=tan4，则下列关系中正确的是(A．c>d>a>bC．c>d>b>aA．c>d>a>bC．c>d>b>aD.以上答案均不对［答案」A［解析」.n也、n1n、一in一t,、“、a—sin3—?，b—cos3—?，c—3>1，d—tan4—1，c〉d〉a〉b.5.使sinxWcosx成立的x的一个区间是()「3nA.[—〒,D.[0,n」n3nD.[0,n」4」［答案」A［解析」如图阴影部分满足sinxWcosx，故选A.6.已知点P(sina—cosa,tana)在第一象限，则在［0,2n)内的角a的取值范围是(UU'5n、n，〒(UU'5n、n，〒丿5n3n)、丁，~2)B.D.nn(5n、7，亍Mn，〒丿［答案」B［解析」V点P(sina—cosa，tana)在第一象限,"sina—cosa>0tana>0〜sina>cosa①即"tana>0②由②知a在第一、三象限.

故选B．由①Sina〉cos故选B．故a的取值范围是:二、填空题7•利用单位圆，可得满足Sina〈*，且ae(0,n)的a的集合为［答案］{a|0<a<4或乎〈a<n}［解析］如图所示，终边落在阴影内的角a满足8．sin终边落在阴影内的角a满足8．sina〈Si畤与co号的大小关系是［答案］nn［答案］sin=〈cos=55［解析］如图，sin^r=MP,cos*=OM.在ZOMP中，ZPOM气，ZOpM=3n-,.•.OM〉MP,cos号"〉sin.55三、解答题利用三角函数线，求sina<2的角a的范围.［解析］如图所示，首先在y轴上找到2,过此点作平行于x轴的直线，交单位圆于匚与P两点.2

TOC\o"1-5"\h\zn5若sina=了，则a=2kn+百或a=2kn+^n(k^Z)，角a所对应的正弦线分别为66\o"CurrentDocument"n5n1MP、MP，当角2kn+百的终边按逆时针方向旋转至2kn+'时，显然sina，故应舍1122662去，所以a应取线OP】和线OP2以下的角，如图的阴影部分所示.故a的取值集合是<a2kn+^^〈a<2kn+^^~,keZ利用单位圆中的三角函数线求满足cosaW—£的角a的取值范围.y2［解析］作直线x=—1交单位圆于C、D两点，连接OC与OD,则OC与OD围成的区域(图中阴影部分)即为角a的终边的范围.y2故满足条件的角a的集合为'll,2n一一］,4n〔a|2kn+~^WaW2kn+~^,keZ一、选择题已知集合E={e|cos0〈sin。，0We<2n},F={0|tan0<sin0,0W0<2n},则EPF()n3n\J，~T.)3n]~T)3n]~T)(3n5n]

~T.)［答案］A［解析］由单位圆中的三角函数线可知E=〈E=〈e|》〈e<5n1-J'n3nF=<el"2〈e<n或~^〈e<2n.*.EnF=<eI步〈e〈n以下命题正确的是()A.a、“都是第一象限角，若cosa〉cos“，则sina〉sin“

a、“都是第二象限角，若sina〉sin“，则tana〉tan"a、“都是第三象限角，若cosa〉cos0，则sina>sin"a、"都是第四象限角，若sina〉sin"，则tana〉tan"［答案］D［解析］如图，a、"都是第一象限角，cosa〉cos"，则sina<sin"，故A错；如图，a、"都是第二象限角，sinasina〉sin"，则tana<tan"，故B错；都是第三象限角，cosa〉cos"都是第三象限角，cosa〉cos"，A.sina+cosa=1.2C.sinacosa=\i'3［答案］D［解析］如图，sina+cosa=－0.9D.sina+cosa=－1.2如图，a、"已知a是第三象限角，则下列等式中可能成立的是（

由三角函数线知，sina=MP,cosa=0M,sina+cosa=MP+0M,|MP|+|OM|〉|OP|=1,又MP<0,OM<0,.•・MP+0M〈一1,故选D.4.sin8、co's8、834.sin8、co's8、83n3n3nA.sin8<8<cos83n3n3nC.cos'8<8<sin8［答案］D［解析］如图,3n3n3n的大小关系是（B.D.作出角3n_8的正弦线、余弦线,3n3n3nsin<cos<-8883n3n3ncos<sin<-8883n、仆3nsin=MP,cos=OM,88sin3n>cossin3n>cos3n又7=扣•MP=2MP，13n扇形OPA28扇形OPA△POA3n>MP.3n3n>MP.3n3n可〉叫>cos3n二、填空题若OWe<2n，则使tanQW1成立的角Q的取值范围是nI(n5n［答案］4［解析］如图所示，tandWl,包括tan。<0,即二、四象限，tand=0,即x轴上,0〈tan。Wl,即第一、三象限中，直线y=x与x轴所夹的部分.已知sina+cosa=,那么a是第象限角.5［答案］二或四［解析］由单位圆中的三角函数线知,若a是第一象限角,则sina+cosa>1,若a是第三象限角，则sina+cosa〈一1,若sina+cosa=,则a是第二或四象限角.5三、解答题确定下式的符号:sinl—cosl.［分析］在单位圆中作出1、］4的正弦线、余弦线，将sinl、cosl与sin1^比较即可.［解析］因为斗〈1〈，如图所示，由三角函数线可得>cos1,>cos1,故sinl—cos1>0.8．求满足下列条件的角x的集合:已知tanx>0，且sinx+cosx>0；已知tanx<0，且sinx—cosx<0.［解析］(1){x|2kn<x<2kn+》，k^Z}，如图①.(2){x|2kn—-2<x<2kn,k^Z}，如图②.7.7.7.7.2019-2020年高中数学1.2.2同角三角函数关系练习（含解析）苏教版必修4已矢口sina—cosa=已矢口sina—cosa=5180°Va<270°你能求出tana的值吗？你能化简sin6—cose

tan6—1吗？为此，我们有必要研究同角三角函数的关系．，使此式成立的角的范围是1．同角三角函数的平方关系是，使此式成立的角的范围是2．同角三角函数的商数关系是，使此式成立的角a的范围是3．同角三角函数关系式是根据推导的4．sin2a＋cos2a=1的变形有、lsina“卄打/亠tana=的变形有、.cosa“1”的代换式有：1=知道角a的某一三角函数值求另外两三角函数值时，如果角a所在象限指定则结果只有组解，如果角a所在象限没有指定，一般应有组解.1＋tan26=，6的取值范围是.答案：1.sima+cos2a=1（一8,+8）sinasinatana~~cosaaMkn+岁,ke三角函数定义4.sin24.sin2a=1—cos2acos2a=1—sin2asinatanacosa=sinacosa=tanasin2a+cos2atan45°1cos26同角三角函数关系平方关系：sima+cos2Q=l(aWR).商数关系：屯=tanafaMkn+》，kez),cosa\2丿这里“同角”有两层含义，一是“角相同”，二是对“任意”一个三角函数(在使得函数有意义的前提下)关系都成立.同角三角函数关系的应用利用同角三角函数的基本关系式，可以由一个角的一个三角函数值，求出这个角的其他三角函数值.利用同角关系可以进行三角函数式的化简.化简要求：(1)项数尽量少；(2)次数尽量低；(3)分母、根式中尽量不含三角函数；(4)能求值的尽可能求值.证明三角恒等式.基本原则：由繁到简.常用方法：左f右；右f左；左Q右.［基.础［巩固若a为第二象限角，则l；sin2a—sin4a可化为（C）A.sina－sin2aB.sinacosa—sinacosaD.sin2a—sina

若f(sinx)=2cosx+1,则等于()A.3+1B.1—3C.1+书或1—百D.2解析：由sinx=2求出cosx,然后再代入函数关系式.答案：C3.已知sina3.已知sina=■2WaWn则tana=答案：—2sin2a＋cos4a＋sin2acos2a的化简结果是(1B・2C.3D.1解析：sin2a＋cos4a＋sin2acos2a=sin2a＋cos2a(cos2a＋sin2a)=sin2a＋cos2a=1.答案：D5•下列各式中与雪1—2sin2cos2相等的是()A.sin2—cos2B.cos2—sin2C.sin2＋cos2D.—sin2—cos2解析：“1”的代换，1=sin22+cos22，同时要注意sin2>0,cos2V0.答案：A6.cosa+2sina=一诟，则tana=解析：\cosa+2sina解析：\cosa+2sina=—5,由］Isima+cos2a=12cosa=丄-弱.sina..tana2.cosa答案：2

cosa=3sina,OWaWn，贝Vsina•cosa的值为(),333,3A.±10B-10C•而D•土而sina•cosa解析：所求式子可化成s.:丄:（齐次分式），分子、分母同除以cos2a.sin2a＋cos2a答案：B小卄sina+cosac…「/、8•若，=2,则tana的值为（）2sina－cosa34A.1B.—1C.4D.—3解析：分子、分母同除以cosa.答案：Asin2x＋sin2y－sin2xsin2y＋cos2xcos2y=解析：sin2x＋sin2y－sin2xsin2y＋cos2xcos2y=sin2x＋sin2y(1－sin2x)＋cos2xcos2y=sin2x＋sin2ycos2x＋cos2xcos2y=sin2x＋cos2x(sin2y＋cos2y)=sin2x＋cos2x=1.答案：1［能力升级三角形.2三角形.A为三角形ABC的一个内角，若sinA+cosA=§,贝J^ABC是解析：2解析：2*.*sinA+cosA=§,•:sin•:sin5AcosA=—V0..：A为钝角.18答案：钝角答案：钝角设a为常数，且a>1,0WxW2n，则函数f（x）=cos2x+2asinx—1的最大值为解析：f(x)=1—sin2x＋2asinx—1=—(sinx—a)2＋a2.Va>1，0WxW2n，.:当x=时，f(x)=2max

2a－1.答案：2a-1已知tana=m,a是第二象限角，则sina的值等于（C.1＋m2B.1＋m2解析：m：j1+m21+m2D.由tana=m...cosaC.1＋m2B.1＋m2解析：m：j1+m21+m2D.由tana=m...cosa=1+m2.1+m21+m2/口,cos2a+sima1^得1+1an2a===1+m2.cos2acos2a故sina=tana•cosa=m•cos2a=11+m2'1]=_m£1+m2丿寸1+m2答案：D如果sin0+cos0=—:(0<0<n),则tan0的值为(544,43a.-3b・3c.±3d.-4解析：sin0+cos0=—,平方得5sin20＋2sin0cos0＋cos20__1_=25.故2sin0cos0sin20＋2sin0cos0＋cos20__1_=25.故2sin0cos024

=—25<0..0为钝角,1-2sin0cos049.(sin0-cos0)492=25‘sin770—cos0=5(—5舍去).sin0＋cos0<由、sin0—cos0_7=5sin0=5、cos0=45,•°.tan0=答案：D是否存在一个实数k,使方程8x2+6kx+2k+1=0的两个根是一个直角三角形的两

个锐角的正弦？解析：假设存在，设直角三角形两个锐角为a,0，则sina,sin0是方程8x?+6kx+2k+l=0的两个根.Ta+0=90°,.°.sin0=cosa.由根与系数的关系，得sina+cosa=sina+cosa=<3k~4,sina•cosa=2k+1109.去.将k=-109.去.将k=-代入②，得sina•cosa=sina•sin0=91172,.sinasin0异①2-2X②，整理得9k2-8k-20=0,解得k=2,k=当k=2时，原方程变为8x2+12x+5=0,A=144-160<0,所以原方程无解，k=2舍号，应有sina<0或sin0<0.实际上sina>0,sin0>0,.k=-不满足题意，.：k9值不存在.2.3三角函数的诱导公式设0°WaW90。，对于任意一个0°到360°的角0，以下四种情形中有且仅有一种成立.

a，当0e[0°,90°],<180°—a，当0£[90°,180°],0=,r二180°+a，当0£[180°,270°],l360°—a，当0£[270°,360°].思考：180°—a,180°+a,360°—a的三角函数值与a的三角函数值有怎样的关系呢？1．借助单位圆中的三角函数线推导出诱导公式．2．掌握诱导公式二至公式六及其应用．TOC\o"1-5"\h\z1．设a为任意角,角a的终边与单位圆相交于点P(x,y),则角—a的终边与单位圆的交点P』勺坐标是，角n—a的终边与单位圆的交点P2的坐标是，角n+a的终边与单位圆的交点P3的坐标是.诱导公式一：sin(2kn+a)=,cos(2kn+a)=,tan(2kn+a)=,k£Z.诱导公式二：sin(—a)=,cos(—a)=,tan(—a)=.诱导公式三：sin(n—a)=,cos(n—a)=,tan(n—a)诱导公式四：sin(n+a)=,cos(n+a)=,tan(n+a)利用诱导公式求任意角的三角函数值步骤如下任意角的三角函数利用一――^0°〜360°的角的三角函数利用—0°〜360°的角的三角函数利用—锐角三角函数查表>求值(特殊角取特殊值)△ABC中，sin(A+B)=,cos(A+B)=,tan(A+B)=a与岁—a的终边关于直线对称.9.诱导公式五：sin］》—a9.诱导公式五：sin］》—aj=cos仔—a卜10•诱导公式六：sin号+aj=cos号+a六组诱导公式可以概括成学习诱导公式的目的之一是把求任意角的三角函数值转化为求22A+BCOS—AA+BCOS—在△ABC中，sin-=诱导公式诱导公式如下表所示：三角函数角正弦余弦正切a+k・2n(kez)sinacosatanaa+n—sina—cosatana—a—sinacosa—tanan—asina—cosa—tanaT+acosa—sinan2—acosasina3丄尹+a—cosasina3尹—a—cosa—sina诱导公式的运用1.运用诱导公式化简、求值的前提条件是熟记上述诱导公式.上述诱导公式可概括为一句口诀“奇变偶不变，符号看象限”.也就是诱导公式左边的角可统一写成k・n^土a(kwz)的形式，当k为奇数时，公式等号右边的三角函数名称与左边的三角函数名称正余互变(即左边为正弦则右边为余弦，左边为余弦则右边为正弦)，当k为偶数时，公式等号右边的三角函数名称与左边一样；而公式右边的三角函数之前的符号，则把a当做锐角，k•号土a为第几象限，以及左边的三角函数在该象限的符号即为公式右边的符号.2.利用诱导公式可以化简任意角的三角函数，基本程序为“负化正，大化小，化到锐角就行了”.用诱导公式求三角函数式的值已知cos(75°+a)=3,其中a为第三象限角.求cos(105°—a)+sin(a-105°)的值.分析：从被求式和已知式的角度看，关键是寻求到75°+a与105°—a之间的关系,我们发现(75°+a)+(105°—a)=180°，这样有关系式105°—a=180°—(75°+a)，就可以用诱导公式了.解析：cos(105°—a)=cos[180°—(75°+a)]=—cos(75°+a)=—3-sin(a—105°)=—sin(105°—a)=—sin[180°—(75°+a)]=—sin(75°+a)．又cos