《线面、线面角、二面角、翻折问题》易错疑难集训

PAGE22《线面、线面角、二面角、翻折问题》易错疑难集训过易错教材易混易错集训易错点对线、面的位置关系考虑不全面1给出下列命题：①平行于同一平面的两条直线平行；②两条平行直线中的一条直线平行于一个平面,则另一条直线也平行于这个平面；③直线与平面有无数个公共点，则直线与平面重合；④两个平面有无数个公共点，则两个平面重合其中正确命题的个数是（）

2[2022广西南宁二中高三期末考试]设表示不同的直线，表示不同的平面,给出下列命题：①若，且：，则；②若，，则；③若，则其中错误命题的个数为（）

过疑难常考疑难问题突破疑难点1直线与平面所成的角、二面角的平面角1如图，四棱锥中，底面为菱形，底面，，是上的一点，

=1\*GB2⑴证明：平面=2\*GB2⑵设二面角为，求与平面所成角的大小2如图所示，在三棱锥中，平面，分别是的中点，交于点，交于点连接

=1\*GB2⑴求证：；=2\*GB2⑵求二面角的余弦值3[2022江西南昌三校高二（下）月考]如图，三棱锥中两两垂直，分别是的中点

=1\*GB2⑴证明：平面平面；=2\*GB2⑵求二面角的正切值；=3\*GB2⑶求直线与平面所成角的正弦值疑难点2翻折类问题4[2022宁夏中卫一中高一（下）第一次月考]如图，正三角形的中线与中位线相交于点，已知是绕翻折过程中的一个图形，现给出下列四个命题：

①动点在平面上的射影在线段上；②恒有平面平面；③三棱锥的体积有最大值；④直线与不可能垂直其中正确命题的序号是5[2022北京延庆高考数学模考]如图，在矩形中，分别在线段和上，，现将矩形沿折起，记折起后的矩形为，且平面平面

=1\*GB2⑴求证:平面；=2\*GB2⑵若，求证：6[2022福建泉州高考模拟]如图1，在等腰梯形中，是梯形的高，，现将梯形沿折起，使，且，得一简单组合体，如图2所示，已知分别为的中点

=1\*GB2⑴求证:平面；=2\*GB2⑵求证：平面疑难点3探究类问题7如图，四棱锥的底面是矩形，平面，，为的中点

=1\*GB2⑴求证:平面2在上是否存在一点，使得平面若存在，试确定点的位置，并给出证明；若不存在,请说明理由8[2022山西晋中高三调研]如图，已知在四棱锥中，平面，，且，为的中点

=1\*GB2⑴求证:平面平面=2\*GB2⑵问：在棱上是否存在点，使平面若存在，求出二面角的余弦值；若不存在，请说明理由9[2022北京一零一中学高三（下）月考]如图，在三棱锥中，平面分别是的动点，且

=1\*GB2⑴求证:不论为何值，恒有平面平面=2\*GB2⑵当为何值时，平面平面过专项高考常考题型专练1[2022山东枣庄滕州三中高三（上）第四次月考]如图所示，平面，点在以为直径的圆上，点为线段的中点，点在上，且

=1\*GB2⑴求证:平面平面；=2\*GB2⑵求证:平面平面2[2022黑龙江绥化肇东一中高二（上）期中考试]如图，在四棱锥中，平面，是正三角形，与的交点恰好是的中点，，，点在线段上，且

=1\*GB2⑴求证:平面；=2\*GB2⑵求直线与平面所成角的正弦值3[2022青海西宁十四中高二（上）期中考试]在如图所示的几何体中，四边形是等腰梯形，平面

=1\*GB2⑴求证:平面；=2\*GB2⑵求点到平面的距离4[2022广东韶关高三摸底考试]在三棱柱中，分别是的中点

=1\*GB2⑴求证:平面；=2\*GB2⑵若，求证：平面；=3\*GB2⑶在=2\*GB2⑵的条件下，，求三棱锥的体积5[2022湖南长沙考前演练]如图①，四边形他为等腰梯形，且为的中点，，沿将折起构成四棱锥，如图②所示

=1\*GB2⑴设点为的中点，则在棱上是否存在一点，使得平面并证明你的结论；=2\*GB2⑵若，求四棱锥体积的最大值

参考答案过易错教材易混易错集训1答案：A解析：平行于同一平面的两条直线可能相交、异面、平行，故①错误；两条平行直线中的一条直线平行于一个平面，另一条直线可能平行于这个平面，也可能在这个平面内，故②错误;直线与平面有无数个公共点，则直线在平面内，故③错误；当两个平面的无数个公共点在一条直线上时，两个平面相交，故④2答案：B解析：①中，由，且，可知，故①正确；②中，由于，则若，由可得，若，过作平面与交于直线，则，由，从而，故②正确；③中，垂直于同一个平面的两个平面可以是相交的，故③过疑难常考疑难问题突破1答案：见解析解析：=1\*GB2⑴因为底面为菱形，所以又底面，所以设连结因为，故从而因为，所以，由此知又，所以平面=2\*GB2⑵在平面内过点作为垂足因为二面角为，所以平面平面又平面平面，故平面，与平面内两条相交直线都垂直，故于是所以底面为正方形，设到平面的距离为因为，两点到平面的距离相等，即设与平面所成的角为，则所以与平面所成的角为2答案：见解析解析：=1\*GB2⑴因为分别是的中点，所以，所以又又又=2\*GB2⑵在中，，所以，即因为，所以又，所以由=1\*GB2⑴知又同理可得，所以为二面角的平面角设，连接，在中，由勾股定理得，在中，由勾股定理得又为的重心，所以同理在中，由余弦定理得即二面角的余弦值为【方法技巧】立体几何中确定空间位置关系的基本思想是“转化”，即将证明线面平行转化为证明线线平行或者面面平行，将证明面面平行转化为证明线线平行或者线面平行3答案：见解析解析:=1\*GB2⑴因为分别是的中点,所以因为,所以又，所以平面=2\*GB2⑵如图，过点作，垂足为，连接因为且，所以所以又，所以，所以，所以是二面角的平面角依条件容易求出所以，所以二面角的正切值是

=3\*GB2⑶方法一：过点作，连接，则为直线与平面所成的角由两两垂直，得，即，所以为三棱锥的高由题中条件，易得，由又，所以，即直线与平面所成角的正弦值是方法二：设的中点为，连接尺因为为等腰直角三角形，所以又，所以，所以又，所以又，所以平面在平面内，过点作，垂足为因为平面，所以连接，则是直线与平面所成的角容易求出，所以即直线与平面所成角的正弦值是4答案：①②③解析：对于命题①，由题意，知，故又，所以平面，故该命题正确；对于命题②，由①可知正确；对于命题③，当时，三棱锥的体积有最大值，故命题③正确；对于命题④，当在平面上的射影与直线垂直时,易证与垂直，故该命题不正确5答案：见解析解析：证明:=1\*GB2⑴因为四边形都是矩形，所以，所以四边形是平行四边形，所以因为，所以=2\*GB2⑵如图，连接

因为平面，所以，所以又，所以四边形为正方形，所以又，所以，所以6答案：见解析解析：证明:=1\*GB2⑴在题图2中，连接四边形是矩形，的中点，的中点在中，的中点，=2\*GB2⑵依题意，知又的中点，又四边形是平行四边形，又，即又7答案：见解析解析：=1\*GB2⑴在矩形中，的中点，，=2\*GB2⑵在上存在一点，使得，的中点即为所求取的中点，连接的中位线，又又8答案：见解析解析：=1\*GB2⑴的中点，且梯形中，，四边形为平行四边形，又，=2\*GB2⑵在棱上存在点，使在内，过，垂足为，由=1\*GB2⑴知，又又为二面角的平面角又由平面几何知识，知，故二面角的余弦值为9答案：见解析解析：=1\*GB2⑴

，不论为何值，恒有又不论为何值，恒有平面=2\*GB2⑵由=1\*GB2⑴，知若平面，又平面，

由故当时,平面【练后反思】处理空间中平行或垂直的探索性问题，一般是先根据条件猜测点或直线的位置再给出证明探索点的存在性问题时，要多从中点或三等分点分析；直线则多考虑中位线或其他平行直线或垂线；求线段长度时，多用相似三角形构造比例关系过专项高考常考题型专练1答案：见解析解析：证明:=1\*GB2⑴因为点为线段的中点，点为线段的中点,所以因为，所以因为，所以因为，所以平面=2\*GB2⑵因为点在以为直径的上，所以，即因为，所以因为，所以因为，所以平面2答案：见解析解析：=1\*GB2⑴在正三角形中，在中，因为为的中点，，所以又，所以，所以因为，所以又，所以，又，所以，所以，所以又，所以=2\*GB2⑵由=1\*GB2⑴知又，所以又，因此连接，则就是直线与平面所成的角在中，，因此，即直线与平面所成角的正弦值为3答案：见解析解析：=1\*GB2⑴在等腰梯形中，，=2\*GB2⑵设点到平面的距离为，则由，即点到平面的距离为4答案：见解析解析：=1\*GB2⑴方法一:取的中点，连接，的中点，又的中点，，四边形是平行四边形，，方法二:取的中点，连接分别为的中点，又，又，=2\*GB2⑵又=3\*GB2⑶由=2\*GB2⑵的结论，得，由，可知，三棱锥的体积【解题通法】（1在立体几何中常见的平行关系有线线平行、线面平行和面面平行，这三种平行关系不是孤立的，而是相互联系，并且可以相互转化的2因为线线平行线面平行面面平行，所以对于平行关系的综合问题的解决，必须