高三数学不等式、推理与证明测试

8/8高三数学不等式、推理与证明测试高中最重要的阶段,大家一定要把握好高中,多做题,多练习,为高考奋战,编辑老师为大家整理了高三数学不等式、推理与证明,希望对大家有帮助。高三数学章末综合测试题(11)不等式、推理与证明一、选择题(本大题共12小题,每题5分,共60分.在每题给出的四个选项中,只有一项为哪一项符号题目要求的)1.a,b,cR,那么以下命题中正确的选项是()A.假设ab,那么ac2bc2B.假设acbc,那么abC.假设a3b3且ab0,那么1aD.假设a2b2且ab0,那么1a1b解析C当c=0时,可知选项A不正确;当c0时,可知B不正确;由a3b3且ab0知a0且b0,所以1a1b成立;当a0且b0时,可知D不正确.2.假设集合A={x||x-2|3,xR},B={y|y=1-x2,xR},那么AB=()A.[0,1]B.[0,+)C.[-1,1]D.解析C由|x-2|3,得-15,即A={x|-1B={y|y1}.故AB=[-1,1].3.用数学归纳法证明1+2+22++2n+2=2n+3-1,在验证n=1时,左边计算所得的式子为()A.1B.1+2C.1+2+22D.1+2+22+23解析D当n=1时,左边=1+2+22+23.4.x,y,zR+,且xyz(x+y+z)=1,那么(x+y)(y+z)的最小值是()A.1B.2C.3D.4解析B∵(x+y)(y+z)=xy+y2+xz+yz=y(x+y+z)+xz=y1xyz+xz=1xz+xz21xzxz=2,当且仅当xz=1,y(x+y+z)=1时,取=,(x+y)(y+z)min=2.5.要证a2+b2-1-a2b20,只要证明()A.2ab-1-a2b2B.a2+b2-1-a4+b420C.a+b22-1-a2b2D.(a2-1)(b2-1)0解析D因为a2+b2-1-a2b2(a2-1)(b2-1)0,应选D.6.对于平面和共面的直线m、n,以下命题为真命题的是()A.假设m,mn,那么n∥B.假设m∥,n∥,那么m∥nC.假设m,n∥,那么m∥nD.假设m、n与所成的角相等,那么m∥n解析C对于平面和共面的直线m,n,真命题是假设m,n∥,那么m∥n.7.假设不等式2x2+2kx+k4x2+6x+31对于一切实数都成立,那么k的取值范围是()A.(-,+)B.(1,3)C.(-,3)D.(-,1)(3,+)解析B∵4x2+6x+3=4x2+32x+3=4x+342+3434,不等式等价于2x2+2kx+k4x2+6x+3,即2x2+(6-2k)x+3-k0对任意的x恒成立,=(6-2k)2-8(3-k)0,18.设函数f(x)=x2+x+a(a0)满足f(m)0,那么f(m+1)的符号是()A.f(m+1)B.f(m+1)0C.f(m+1)D.f(m+1)0解析C∵f(x)的对称轴为x=-12,f(0)=a0,由f(m)0,得-19.a0,b0,那么1a+1b+2ab的最小值是()A.2B.22C.4D.5解析C∵a0,b0,1a+1b+2ab21ab+2ab4,当且仅当a=b=1时取等号,1a+1b+2abmin=4.10.使不等式log2x(5x-1)0成立的一个必要不充分条件是()A.xB.15C.15解析Dlog2x(5x-1)5x-10,2x1,5x-11或5x-10,01,5x-1x15,x12,x25或x15,0x12或1511.假设f(x)=x2-4x+3,假设实数x、y满足条件f(y)0,那么点(x,y)所构成的区域的面积等于()A.1B.2C.3D.4解析B由f(y)0可得fyfx,fx0,即13,x-yx+y-40,画出其表示的平面区域如下图,可得面积S=21221=2,应选B.12.设x,y满足约束条件3x-y-60,x-y+20,x0,y0,假设目标函数z=ax+by(a0,b0)的最大值为12,那么2a+3b的最小值为()A.256B.83C.113D.4解析A作出可行域(四边形OBAC围成的区域,包括边界)如图,作出直线l：ax+by=0,当直线l经过点A时,z=ax+by取得最大值.解x-y+2=0,3x-y-6=0,得点A(4,6),4a+6b=12,即a3+b2=1,2a+3b=2a+3ba3+b2=23+32+ab+ba23+32+2=256,当且仅当a=b时取等号.二、填空题(本大题共4小题,每题5分,共20分.把答案填在题中横线上)13.等差数列{an}中,有a11+a12++a2019=a1+a2++a3030,那么在等比数列{bn}中,会有类似的结论：________.解析由等比数列的性质可知,b1b30=b2b29==b11b20,10b11b12b20=30b1b2b30.【答案】10b11b12b20=30b1b2b3014.实数x,y满足约束条件x-y+40,x+y0,x3,那么z=4x2-y的最小值为________.解析作出不等式组所表示的可行域(图略),z=4x2-y=22x2y=22x+y,令=2x+y,可求得=2x+y的最小值是-2,所以z=4x2-y的最小值为2-2=14.【答案】1415.某公司租地建仓库,每月占用费y1与仓库到车站的距离成反比,而每月库存货物的运费y2与仓库到车站的距离成正比.如果在距离车站10km处建仓库,这项费用y1和y2分别为2万元和8万元,那么,要使这两项费用之和最小,仓库应建在离车站________km处.解析设仓库建在离车站dkm处,由y1=2=k110,得k1=20,y1=20d.由y2=8=10k2,得k2=45,y2=45d.y1+y2=20d+4d5220d4d5=8,当且仅当20d=4d5,即d=5时,费用之和最小.【答案】516.在不等边三角形中,a为最大边,要想得到A为钝角的结论,三边a,b,c应满足________.解析由余弦定理cosA=b2+c2-a22bc0,所以b2+c2-a20,即a2b2+c2.【答案】a2b2+c2三、解答题(本大题共6小题,共70分.解容许写出文字说明、证明过程或演算步骤)17.(10分)表中的对数值有且只有两个是错误的.x1.5356lgx3a-b+c2a-ba+c1+a-b-cx7891427lgx2(a+c)3(1-a-c)2(2a-b)1-a+2b3(2a-b)(1)假设上表中lg3=2a-b与lg5=a+c都是正确的,试判断lg6=1+a-b-c是否正确?给出判断过程;(2)试将两个错误的对象值均指出来并加以改正(不要求证明).解析(1)由lg5=a+c得lg2=1-a-c,lg6=lg2+lg3=1-a-c+2a-b=1+a-b-c,满足表中数值,即lg6在假设下是正确的.(2)lg1.5与lg7是错误的,正确值应为lg1.5=lg32=lg3-lg2=2a-b-1+a+c=3a-b+c-1.lg7=lg14-lg2=1-a+2b-1+a+c=2b+c.18.(12分)f(x)=-3x2+a(6-a)x+6.(1)解关于a的不等式f(1)(2)假设不等式f(x)b的解集为(-1,3),求实数a、b的值.解析(1)∵f(x)=-3x2+a(6-a)x+6,f(1)=-3+a(6-a)+6=-a2+6a+30即a2-6a-30,解得3-23不等式解集为{a|3-23(2)f(x)b的解集为(-1,3),即方程-3x2+a(6-a)x+6-b=0的两根为-1,3,2=a6-a3,-3=-6-b3,解得a=33,b=-3.19.(12分)(2019南京模拟)数列{an}满足a1=0,a2=1,当nN*时,an+2=an+1+an.求证：数列{an}的第4m+1(mN*)项能被3整除.解析(1)当m=1时,a4m+1=a5=a4+a3=(a3+a2)+(a2+a1)=(a2+a1)+2a2+a1=3a2+2a1=3+0=3.即当m=1时,第4m+1项能被3整除.命题成立.(2)假设当m=k时,a4k+1能被3整除,那么当m=k+1时,a4(k+1)+1=a4k+5=a4k+4+a4k+3=2a4k+3+a4k+2=2(a4k+2+a4k+1)+a4k+2=3a4k+2+2a4k+1.显然,3a4k+2能被3整除,又由假设知a4k+1能被3整除,3a4k+2+2a4k+1能被3整除.即当m=k+1时,a4(k+1)+1也能被3整除.命题也成立.由(1)和(2)知,对于任意nN*,数列{an}中的第4m+1(mN*)项能被3整除.20.(12分)设二次函数f(x)=x2+ax+a,方程f(x)-x=0的两根x1和x2满足0(1)求实数a的取值范围;(2)试比拟f(0)f(1)-f(0)与116的大小,并说明理由.解析(1)令g(x)=f(x)-x=x2+(a-1)x+a,由题意可得0,01,g10,g003-22或a3+22,-1故实数a的取值范围是(0,3-22).(2)f(0)f(1)-f(0)=g(0)g(1)=2a2,令h(a)=2a2,∵当a0时,h(a)单调递增,当0即f(0)f(1)-f(0)116.21.(12分){an}是正数组成的数列,a1=1,且点(an,an+1)(nN*)在函数y=x2+1的图象上.(1)求数列{an}的通项公式;(2)假设数列{bn}满足b1=1,bn+1=bn+2an,求证：bnbn+2解析(1)由得an+1=an+1,那么an+1-an=1,又a1=1,所以数列{an}是以1为首项,1为公差的等差数列.故an=1+(n-1)1=n.(2)由(1)知,an=n,从而bn+1-bn=2n.当n2时,bn=(bn-bn-1)+(bn-1-bn-2)++(b2-b1)+b1=2n-1+2n-2++2+1=1-2n1-2=2n-1.又b1=1也适合上式,所以bn=2n-1,bnbn+2-b2n+1=(2n-1)(2n+2-1)-(2n+1-1)2=(22n+2-2n+2-2n+1)-(22n+2-22n+1+1)=-2n0.所以bnbn+222.(12分)某营养师要为某个儿童预定午餐和晚餐.一个单位的午餐含12个单位的碳水化合物,6个单位蛋白质和6个单位的维生素C;一个单位的晚餐含8个单位的碳水化合物,6个单位的蛋白质和10个单位的维生素C.另外,该儿童这两餐需要的营养中至少含64个单位的碳水化合物,42个单位的蛋白质和54个单位的维生素C.如果一个单位的午餐、晚餐的费用分别是2.5元和4元,那么满足上述的营养要求,并且花费最少,