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文档简介

第二节

一阶微分方程本节介绍几种常用的一阶微分的解法。一，一，可分离变量的微分方程：形如=f(x)g(y)的微分方程，称为可分离变量的微分方程。解法如下：1分离变量，即=f(x)dx2).两边积分，即可求得通解，=+c

3).化简，整理，即可。例1求微分方程=的通解。

解：分离变量，得=dx

两边积分，得ln|y|=ln|x|+lnC1(C1>0)

整理，得y=C1x(令C=C1)

=x

(为不为零的常数)在y=Ｃx中若令Ｃ=0,得y=0.将y=0代入原方程，方程两边相等，故y=0也是该方程的解。因此，原方程的通解为：y=Cx(C为任意数)注：把y=0称为该方程的补解。例２求微分方程=2xy,满足y|x=0＝１的特解。解：分离变量，得＝２xdx两边积分，得lny=x2+C1整理，得y=C

(CR)将y|x=0＝１代入上式，得C=1因此，所求特解为：y=例３，求微分方程dx+xydy=y2dx+ydy满足初始方程条件y(0)=2的特解。解：方程变形为：y(x-1)dy=(y2-1)dx分离变量，得dy=dx两边积分，得ln(y2-1)=ln(x-1)+lnC(Ｃ为任意常数)整理，得y2＝C(x-1)2+1将y(0)=2代入上式，得Ｃ＝３所求特解为：y2＝３+1

例４，求

=＋的通解。

解，该方程不是可分离变量的微分方程，但可通过换之，将其它的可分离变量的微分方程。

令u=即y=ux

于是＝u+x

代入原方程，得

u+x=eu+u

即x=eu分离变量，得e-udu=dx两边积分，得Ｃ－eu＝lnx将u=代入上式，得原方程的通解为：lnx=C－(隐式解)注：说明齐次微分方和的解法。.一.阶线性微分方程。形如＋P(x)y=Q(x)的微分方程，称为一阶线性微分方程．特别地，当Ｑ(x)＝０时，＋P(x)y=０，称为一阶线性齐次微分方程。１．＋P(x)y=０的解法：（分离变量）分离变量，得＝－P(x)dx两边积分，得lny=－＋lnc1整理，得

y=C（CR）２，＋P(x)y=Q(x)的通解公式：y=C(x)=[+C]

（常数变量法）例1，例１，

求微分方程＋２xy=2x的通解。解：这是Ｐ(x)=2x,

Q(x)=2x的一阶线性非齐次微分方程由通解公式，得：

解2（常数变量法）1)1)

先求的通解，lny=-+lny=

(CR)2)2)

设的通解为：代入方程则：得

Ｃ(x)=+Ｃ

原方程的通解为：y=(+C)例2.例2.

求方程满足初始条件y|x==-1的特解。解：这是方程p(x)=-tanx.

Q(x)=secx的一阶线性非齐次微分

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