微分中值定理课件

一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理§2.7微分中值定理上页下页铃结束返回首页一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理§2.7微1一、罗尔定理设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标相等

提问：

f

(x)?观察与思考

提示：

f

(x)0下页一、罗尔定理设连续光滑的曲线y=f(x)2罗尔定理

如果函数yf(x)在闭区间[a

b]上连续在开区间(a

b)内可导且有f(a)f(b)那么至少存在一点x(a

b)使得f

(x)0

简要证明

(1)若f(x)是常函数则f(x)0定理的结论显然是成立的

下页罗尔定理简要证明(1)3(2)若f(x)不是常函数则f(x)在(a

b)内至少有一个最大值点或最小值点不妨设有一最大值点x(a

b)于是因此必有f(x)=0

下页

简要证明

罗尔定理

如果函数yf(x)在闭区间[a

b]上连续在开区间(a

b)内可导且有f(a)f(b)那么至少存在一点x(a

b)使得f

(x)0

(2)若f(x)不是常函数则f(x)在(4应注意的问题：如果定理的三个条件有一个不满足则定理的结论有可能不成立

下页罗尔定理

如果函数yf(x)在闭区间[a

b]上连续在开区间(a

b)内可导且有f(a)f(b)那么至少存在一点x(a

b)使得f

(x)0

应注意的问题：下页罗尔定理5

首页首页6二、拉格朗日中值定理观察与思考设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不相等

提问：直线AB的斜率k=?

f

(x)?提示：下页直线AB的斜率二、拉格朗日中值定理观察与思考提问：提示：下页7如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续在开区间(a

b)内可导那么在(a

b)内至少有一点x使得f(b)f(a)f

(x)(ba)

拉格朗日中值定理下页直线AB的斜率如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续8则函数j(x)在区间[a

b]上满足罗尔定理的条件

于是至少存在一点x(a

b)使

简要证明

由此得f(b)f(a)f

(x)(ba)

下页如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续在开区间(a

b)内可导那么在(a

b)内至少有一点x使得f(b)f(a)f

(x)(ba)

拉格朗日中值定理f

(x)0即则函数j(x)在区间[ab]上满足罗尔定理的条件9f(b)f(a)f

(x)(ba)

f(xDx)f(x)f

(xqDx)Dx(0<q<1)

Dyf

(xqDx)Dx(0<q<1)

拉格朗日中值公式下页如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续在开区间(a

b)内可导那么在(a

b)内至少有一点x使得f(b)f(a)f

(x)(ba)

拉格朗日中值定理注：dyf

(x)Dx是函数增量Dy的近似表达式

f

(xDx)Dx是函数增量Dy的精确表达式

f(b)f(a)f(10f(b)f(a)f

(x)(ba)

f(xDx)f(x)f

(xqDx)Dx(0<q<1)

Dyf

(xqDx)Dx(0<q<1)

拉格朗日中值公式如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续在开区间(a

b)内可导那么在(a

b)内至少有一点x使得f(b)f(a)f

(x)(ba)

拉格朗日中值定理定理

如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零那么f(x)在区间I上是一个常数>>>f(b)f(a)f(11

证明

设f(x)ln(1x)显然f(x)在区间[0

x]上满足拉格朗日中值定理的条件根据定理就有f(x)f(0)f

(x)(x0)0<x<x

又由0<x<x有

例1

首页证明设f(x)ln(1x)显然f(12例2证明恒等式:证明设则在［-1，1］上连续，在（-1，1）内可导，且因此，在［-1，1］是一个常数。而所以例2证明恒等式:证明设则在［-1，13三、柯西中值定理柯西中值定理

函数f(x)及F(x)在闭区间[a

b]上连续在开区间(a

b)内可导且F

(x)在(a

b)内恒不为零那么在(a

b)内至少有一点x使得下页显然如果取F(x)x那么F(b)F(a)ba

F

(x)1因而柯西中值公式就可以写成

f(b)f(a)f

(x)(ba)(a<x<b)

这样就变成了拉格朗日中值公式了

———柯西中值公式三、柯西中值定理柯西中值定理下页显然如果14定理的几何意义结束三、柯西中值定理柯西中值定理

函数f(x)及F(x)在闭区间[a

b]上连续在开区间(a

b)内可导且F

(x)在(a

b)内恒不为零那么在(a

b)内至少有一点x使得定理的几何意义结束三、柯西中值定理柯西中值定理15一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理§2.7微分中值定理上页下页铃结束返回首页一、罗尔定理二、拉格朗日中值定理三、柯西中值定理§2.7微16一、罗尔定理设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标相等

提问：

f

(x)?观察与思考

提示：

f

(x)0下页一、罗尔定理设连续光滑的曲线y=f(x)17罗尔定理

如果函数yf(x)在闭区间[a

b]上连续在开区间(a

b)内可导且有f(a)f(b)那么至少存在一点x(a

b)使得f

(x)0

简要证明

(1)若f(x)是常函数则f(x)0定理的结论显然是成立的

下页罗尔定理简要证明(1)18(2)若f(x)不是常函数则f(x)在(a

b)内至少有一个最大值点或最小值点不妨设有一最大值点x(a

b)于是因此必有f(x)=0

下页

简要证明

罗尔定理

如果函数yf(x)在闭区间[a

b]上连续在开区间(a

b)内可导且有f(a)f(b)那么至少存在一点x(a

b)使得f

(x)0

(2)若f(x)不是常函数则f(x)在(19应注意的问题：如果定理的三个条件有一个不满足则定理的结论有可能不成立

下页罗尔定理

如果函数yf(x)在闭区间[a

b]上连续在开区间(a

b)内可导且有f(a)f(b)那么至少存在一点x(a

b)使得f

(x)0

应注意的问题：下页罗尔定理20

首页首页21二、拉格朗日中值定理观察与思考设连续光滑的曲线y=f(x)在端点A、B处的纵坐标不相等

提问：直线AB的斜率k=?

f

(x)?提示：下页直线AB的斜率二、拉格朗日中值定理观察与思考提问：提示：下页22如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续在开区间(a

b)内可导那么在(a

b)内至少有一点x使得f(b)f(a)f

(x)(ba)

拉格朗日中值定理下页直线AB的斜率如果函数f(x)在闭区间[ab]上连续23则函数j(x)在区间[a

b]上满足罗尔定理的条件

于是至少存在一点x(a

b)使

简要证明

由此得f(b)f(a)f

(x)(ba)

下页如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续在开区间(a

b)内可导那么在(a

b)内至少有一点x使得f(b)f(a)f

(x)(ba)

拉格朗日中值定理f

(x)0即则函数j(x)在区间[ab]上满足罗尔定理的条件24f(b)f(a)f

(x)(ba)

f(xDx)f(x)f

(xqDx)Dx(0<q<1)

Dyf

(xqDx)Dx(0<q<1)

拉格朗日中值公式下页如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续在开区间(a

b)内可导那么在(a

b)内至少有一点x使得f(b)f(a)f

(x)(ba)

拉格朗日中值定理注：dyf

(x)Dx是函数增量Dy的近似表达式

f

(xDx)Dx是函数增量Dy的精确表达式

f(b)f(a)f(25f(b)f(a)f

(x)(ba)

f(xDx)f(x)f

(xqDx)Dx(0<q<1)

Dyf

(xqDx)Dx(0<q<1)

拉格朗日中值公式如果函数f(x)在闭区间[a

b]上连续在开区间(a

b)内可导那么在(a

b)内至少有一点x使得f(b)f(a)f

(x)(ba)

拉格朗日中值定理定理

如果函数f(x)在区间I上的导数恒为零那么f(x)在区间I上是一个常数>>>f(b)f(a)f(26

证明

设f(x)ln(1x)显然f(x)在区间[0

x]上满足拉格朗日中值定理的条件根据定理就有f(x)f(0)f

(x)(x0)0<x<x

又由0<x<x有

例1

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