拓展题型-二次函数综合题课件

拓展题型二次函数综合题拓展题型二次函数综合题拓展一二次函数与线段和差问题拓展二二次函数与三角形面积问题拓展三二次函数与特殊四边形判定问题拓展一二次函数与线段和差问题拓展一二次函数与线段和差问题拓展一二次函数与线段和差问题

典例精讲例1如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)与x轴交于点A、B（1,0)，与y轴交于点C，直线y=x-2经过点A、C.抛物线的顶点为D,对称轴为直线l.（1)求抛物线的解析式；【思维教练】已知直线y=x-2经过点A、C，结合题干，可求得A、C两点的坐标，结合B(1,0)，代入抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)求解即可；例1题图①典例精讲例1如图，抛物线y=ax2+bx+c（a∴抛物线解析式为y=-x2+x-2；解：对于直线y=x-2，令y=0,得x=4,令x=0，得y=-2，∴点A（4，0），点C（0，-2），将A（4，0），B（1，0），C（0，-2）代入抛物线解析式，得解得16a+4b+c=0a+b+c=0c=-2，a=-b=c=-2，例1题图①∴抛物线解析式为y=-x2+x-2；解【思维教练】要求顶点D的坐标和对称轴l，需知抛物线的顶点式，(1)中已求得抛物线的一般式，直接化为顶点式即可得到点D的坐标和对称轴l；（2）求顶点D的坐标与对称轴l；例1题图②【思维教练】要求顶点D的坐标和对称轴l，需知抛物线的顶点式，解：由抛物线y=-x2+x-2，得y=-

（x2-5x）-2=-(x-)2+，∴抛物线顶点D的坐标为（,），对称轴l为直线x=

；例1题图②解：由抛物线y=-x2+x-2，得例1【思维教练】已知点E在x轴上，则设E点坐标为（e,0）,要求点E的坐标，已知AE=CE，需先分别用含e的式子表示出AE和CE，由于A点坐标（1）中已求得，则AE＝4-e,由题图可知点O、E、C三点可构成Rt△COE，结合C点坐标，利用勾股定理即可表示出CE的式子，建立方程求解即可；（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE，求点E的坐标；例1题图③【思维教练】已知点E在x轴上，则设E点坐标为（e,0）,要求例1题解图①在Rt△COE中，根据勾股定理得CE2=OC2+OE2=22+e2，∵AE=CE，∴(4-e)2＝22+e2，解得e=，则点E的坐标为（，0）；E解：如解图①，由点E在x轴上，可设点E的坐标为（e,0），则AE=4-e，连接CE，例1题解图①在Rt△COE中，根据勾股定理得E解：如解图①（4）设点G是y轴上一点，是否存在点G,使得GD+GB的值最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；例1题图④（4）设点G是y轴上一点，是否存在点G,使得GD+GB的值最【思维教练】线段之和最小值问题即“最短路径问题”，解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，即已知一条直线和直线同旁的两个点，要在直线上找一点，使得这两个点与这点连接的线段之和最小，解决问题的方法就是通过轴对称作出对称点来解决.如此问，要使GD+GB的值最小，先找点B关于y轴的对称点B′,再连接B′D,B′D与y轴的交点即为所求的G点，求直线B′D的解析式，再求其与y轴的交点即可；【思维教练】线段之和最小值问题即“最短路径问题”，解决这类问设直线B′D

的解析式为y=kx+d（k≠0），其中D(,)，则解得∴直线B′D的解析式为y=x+，令x=0,得y=，∴点G的坐标为（0，）；例1题解图②-k+d=0

k+d=，k=d=

，解：存在.如解图②，取点B关于y轴的对称点B′，则点B′的坐标为（-1,0）.连接B′D，直线B′D与y轴的交点G即为所求的点.B′G设直线B′D的解析式为y=kx+d例1题解图②-k+d=0（5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及△BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由；例1题图⑤【思维教练】要使△BCF的周长最小，因为BC长为定值，即要使CF+BF的值最小，由点A,B关于直线l对称，可知AC与l的交点为点F，即可使得CF+BF最小，将x=

代入直线AC的解析式，即可求得F点的坐标，在Rt△AOC中可得AC的长，在Rt△OBC中可得BC的长，即可得到△BCF周长的最小值；（5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，例1在Rt△OBC中，OB=1，OC=2，由勾股定理得BC=为定值，∴当BF+CF最小时，C△BCF最小.∵点B与点A关于直线l对称，∴AC与对称轴l的交点即为所求的点F，将x=代入直线y=x-2，得y=×-2=-，∴点F的坐标为（,-）.例1题解图③解：存在，要使△BCF的周长最小，即BC+BF+CF最小，如解图③所示.F在Rt△OBC中，OB=1，OC=2，由勾例1题解图③解：存在Rt△AOC中，由AO=4，OC=2，根据勾股定理得AC=2，∴△BCF周长的最小值为BC+AC=

+2=3

；例1题解图③F在Rt△AOC中，由AO=4，OC=2，根据勾股定理得AC=【思维教练】要使SD-SB的值最大，则需分两种情况讨论：①S、B、D三点不共线时构成三角形，由三角形三边关系得到SD-SB<BD；②当三点共线时，有SD-SB=BD.从而得到当点S在DB的延长线上时满足条件，求出直线BD的解析式后，再求出直线BD与y轴的交点坐标即可；（6）在y轴上是否存在一点S，使得SD-SB的值最大，若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由;例1题图⑥【思维教练】要使SD-SB的值最大，则（6）在y轴上是否存在当S与DB不在同一条直线上时，由三角形三边关系得SD-SB<BD，当S与DB在同一条直线上时，SD-SB=BD，∴SD-SB≤BD，即当S在DB的延长线上时，SD-SB最大，最大值为BD.设直线BD的解析式为y=mx+n,由B（1，0），D（，），得例1题解图④S解：存在.如解图④，延长DB交y轴于点S.当S与DB不在同一条直线上时，例1题解图④S解：存在.如解图m+n=0

m+n=，

m=解得，

n=-∴直线BD的解析式为y=x-,当x=0时,y=-,即当点S的坐标为（0，-）时，SD-SB的值最大；例1题解图④Sm+n=0例1题解图④S（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC于点K，设点H的横坐标为h，线段HK＝d.①求d关于h的函数关系式；②求d的最大值及此时H点的坐标；例1题图⑦【思维教练】平行于y轴的两点之间的距离为此两点的纵坐标之差的绝对值，如此问，要求d关于h的函数关系式，由题可得点H的横坐标为h，①分别将h代入抛物线及直线AC的解析式中，即可得到点H、K的纵坐标，再由点H在点K的上方，可得到d关于h的函数关系式；②利用二次函数的性质求最值，即可得HK的最大值及此时H点的坐标；（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一例1题图⑦【思维教练】∴点H的坐标为（h,-h2+h-2），∵HK∥y轴，交AC于K，∴点K的坐标为（h,h-2），∵点H在点K的上方，∴HK=d=（-h2+h-2）-（h-2）

=-h2+2h（0＜h＜4）;②由d=-h2+2h=-(h2-4h)=-(h-2)2+2可知，当h=2时，d最大，∵0<2<4,符合题意，∴当h=2时，d最大，最大值为2,此时点H的坐标（2,1）；例1题解图⑤HK解：①如解图⑤,∵点H在抛物线上，点H的横坐标为h，∴点H的坐标为（h,-h2+h-2），（8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大时，求P点的坐标，并求出最大距离是多少？例1题图⑧【思维教练】要求P点的坐标及P点到AC的最大距离，可根据三角形相似，确定对应边的最大值即可，通过作PT∥y轴交AC于L,作PQ⊥AC于点Q，证明△PLQ∽△ACO,得到PQ与PL的比等于AO与AC的比，即可得到PQ与PL的关系,再由（7）得到PL的最大值，即可得到PQ的最大距离及此时的P点坐标.（8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离∴∠PLQ=∠ACO,∠PQL=∠AOC=90°，∴△PLQ∽△ACO，∴,∴，设P点的横坐标为t，由（7）知PL=-t2+2t，例1题解图⑥解：如解图⑥，过点P作PT∥y轴，交AC于L，作PQ⊥AC于点Q，PTLQ∴∠PLQ=∠ACO,∠PQL=∠AOC=90°，例1题解图当且仅当t=2时,PL取最大值2，∴当t=2时，PQ取最大距离，此时点P的坐标为（2,1）.PTLQ当且仅当t=2时,PL取最大值2，PTLQ拓展二二次函数与三角形面积问题拓展二二次函数与三角形面积问题例2如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点C，点B在x轴的正半轴上，且AB=4，抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B,C.（1)求抛物线的解析式；例2题图①【思维教练】要求抛物线的解析式，需知过抛物线的三点A、B、C的坐标，利用直线y=x+3求得A、C两点的坐标，结合已知的AB=4，求得B点坐标，代入求解即可；

典例精讲例2如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与x轴相解：对于y=x+3，当x=0时，y=3；当y=0时，x=-3，∴A（-3，0），C（0，3），∵AB=4，∴B（1，0），∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;9a-3b+c=0a+b+c=0c=3a=-1b=-2c=3例2题图①解：对于y=x+3，当x=0时，y=3；9a-3b+c=0a【思维教练】要求△ABC的面积，需知△ABC的一条边的长度和这条边上高的长度，由于△ABC的边AB已知，底边AB上的高为OC，即为点C的纵坐标，代入面积计算公式即可求解；（2）求△ABC的面积；解：∵点C坐标为(0，3)，∴OC=3，∴S△ABC

=AB·OC=×4×3=6;例2题图①【思维教练】要求△ABC的面积，需知△ABC的一条边的长度和【思维教练】△QAE与△CBE的底边AE=BE，要使两三角形面积相等，故只要高相等，∵△CBE底边BE的高为3，∴点Q的纵坐标为3和-3时，满足条件，分别代入抛物线解析式即可求解；（3）点D为抛物线的顶点，DE是抛物线的对称轴，点E在x轴上，在抛物线上存在点Q,使得△QAE的面积与△CBE的面积相等，请直接写出点Q的坐标；例2题图②【思维教练】△QAE与△CBE的底边（3）点D为抛物线的顶点例2题解图①Q1（Q2）PQ4（Q3）解：Q点的坐标为（-2，3）或（0，3）或（-1+，-3）或（-1-，-3）；【解法提示】如解图①，依题意，AE=BE，∴当△QAE的边AE上的高为3时，△QAE的面积与△CBE的面积相等.①当y=3时，-x2-2x+3=3，解得x1=-2，x2=0，∴点Q的坐标为（-2，3）或（0，3）.②当y=-3时，-x2-2x+3=-3，解得x=-1±，∴点Q的坐标为（-1+，-3）或（-1-，-3）.综上所述，点Q的坐标为（-2，3）或（0，3）或（-1+，-3）或（-1-，-3）.例2题解图①Q1（Q2）PQ4（Q3）解：Q点的坐标为（-2【思维教练】要求四边形AOCD和△ACD的面积，由于四边形AOCD是不规则图形，则可利用S四边形AOCD=S△AOD

+S△COD计算.由于△ACD的底与高不容易计算，所以可利用S四边形AOCD

-S△AOC计算；（4）在（3)的条件下，连接AD,CD，求四边形AOCD和△ACD的面积；例2题图③【思维教练】要求四边形AOCD和△ACD的面积，由于四边形A易知点D的坐标为（-1，4），∴S四边形AOCD

=S△AOD

+S△COD=×3×4+×3×1=，∴S△ACD

=S四边形AOCD-S△AOC=-×3×3=3；例2题解图②解：如解图②，连接OD，易知点D的坐标为（-1，4），例2题解图②解：如解图②，连接（5）在直线AC的上方的抛物线上，是否存在一点M,使△MAC的面积最大？若存在，请求出点M的坐标，并求出△MAC面积的最大值；若不存在，请说明理由；例2题图④（5）在直线AC的上方的抛物线上，是否存在一点M,使△MAC【思维教练】要求图形面积最值问题，若求三角形面积最值，根据题意用未知数设出所求点的坐标，并利用所设点坐标表示出三角形的底和高，用面积公式求解；若求四边形面积最值时，常用到的方法是利用割补方法将四边形分成两个三角形，从而利用求三角形面积的方法求得用含未知数的代数式表示的线段（常用到相似三角形性质、勾股定理）.分别计算出每个三角形的面积，再进行和差计算求解.如此问，要使△MAC的面积最大，可先用含字母的式子表示出S△MAC，再利用二次函数性质讨论其最值，进而求得M点坐标；【思维教练】要求图形面积最值问题，若求三角形面积最值，根据题设M（x，-x2-2x+3），则N（x，x+3），MN=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x，∴S△MAC

=S△AMN

+S△CMN

=MN×3=(-x2-3x)=-(x+)2+，∵-<0，∴当x=-时，S△MAC的值最大为，当x=-时，y=-(-)2-2×(-)+3=，∴点M的坐标为（-，）；例2题解图③解：存在点M，使得△MAC的面积最大.如解图③，过点M作MN∥y轴，交AC于点N，NM设M（x，-x2-2x+3），则N（x，x+3），MN=-x【思维教练】要确定H点的位置，根据△HGA被分成面积为1∶2的两部分，△HAI和△AIG高相等，对称轴在y轴左侧，可分HI与IG为1∶2或2∶1两种情况，列方程即可求解；（6）点H是抛物线第二象限内一点，作HG⊥x轴，试确定H点的位置，使△HGA的面积被直线AC分为1∶2的两部分；例2题图⑤【思维教练】要确定H点的位置，根据△HGA被分成面积为1∶2解：如解图④，由（5）可知，可分两种情况讨论：①若HI=2IG，则有-x2-3x=2(x+3)（-3＜x＜0），整理得x2+5x+6=0，解得x1=-2，x2=-3（不合题意，舍去），∴H（-2，3）；②若2HI=IG，则有2(-x2-3x)=x+3（-3＜x＜0），整理得2x2+7x+3=0，解得x1=-，x2=-3（不合题意，舍去），∴H（-，）.综上所述，有两种情况：H（-2，3）或H（-，）；例2题解图④H1G2G1OH2I1I2解：如解图④，由（5）可知，可分两种情况讨论：例2题解图④H（7）在抛物线上是否存在一点R，且位于对称轴的左侧，使S△RBC=，若存在，求出此时点R的坐标；若不存在，请说明理由.【思维教练】先假设存在点R，使得S△RBC

=.过点R作BC的垂线交BC的延长线于点K，可得BC·RK=，此时点R，K坐标不易计算，可考虑作RH∥y轴与BC的延长线交于点F，利用△RKF与△BOC相似，RF·BO＝BC·RK＝9，设出R点坐标利用此关系式列方程即可求解.例2题图⑥（7）在抛物线上是否存在一点R，且位于对称轴的左侧，使S△R例2题解图⑤解：存在点R，使得S△RBC＝，且位于对称轴的左侧.如解图⑤，过点R作RK⊥BC，交BC的延长线于点K，作RH∥y轴，交x轴于点H，交BC的延长线于点F，则∠F=∠BCO，∠RKF=∠BOC=90°，∴△RKF∽△BOC，∴，∴RF·BO=BC·RK，又∵S△RBC

=，BO=1，∴BC·RK=BO·RF=，∴RF=9.FRKH例2题解图⑤解：存在点R，使得S△RBC＝，且位于由B（1，0），C（0，3）可求出直线BC的解析式为y=-3x+3，设R（x，-x2-2x+3），则F（x，-3x+3），∴RF=-3x+3-（-x2-2x+3）=x2-x，∴x2-x=9，解得x1=，x2=（不合题意，舍去），∴R（，）.FKHR例2题解图⑤由B（1，0），C（0，3）可求出直线BC的解析式为y=-3拓展三二次函数与特殊四边形判定问题拓展三二次函数与特殊四边形判定问题例3如图①，抛物线经过A（-5，0），B（-1，0），C（0，5）三点，顶点坐标为M，连接AC.抛物线的对称轴为l，l与x轴交点为D，与AC交点为E.(1)分别求出抛物线的解析式，顶点M的坐标，对称轴l的解析式；例3题图①

典例精讲例3如图①，抛物线经过A（-5，0），B（-1，0）【思维教练】要确定抛物线的解析式，顶点M的坐标和对称轴l的解析式，由于A、B、C的坐标已知，设抛物线解析式为一般式，将点A、B、C代入求出抛物线解析式，将解析式转化为顶点式，顶点M的坐标，对称轴l的解析式即可求解；例3题图①【思维教练】要确定抛物线的解析式，顶点M的坐标和对称轴l的解解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将点A（-5，0），B（-1，0），C（0，5）代入，得，解得，∴抛物线解析式为y=x2+6x+5，

=(x+3)2-4，25a-5b+c=0a-b+c=0c=5a=1b=6c=5∴顶点M的坐标为（-3，-4），对称轴l的解析式为：x=-3;例3题图①解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，25a-5b+c=【思维教练】由点P在对称轴上结合抛物线的解析式，设P（-3，p），根据PM＝CO，分P在M点上方和P在M点下方两种情况进行讨论，求出点P坐标；（2）设P是直线l上一点，且PM=CO，求点P的坐标；例3题图②【思维教练】由点P在对称轴上结合抛物线的解析式，设P（-3，解：∵点C（0，5），∴CO=5，设点P的坐标为（-3，p），如解图①，当点P在M点上方时，即为P1点，则P1M=p-（-4）=5，解得p=1，此时点P1的坐标为（-3，1）；当点P在M点下方，即为P2点，则P2M=-4-p=5，解得p=-9，此时点P2的坐标为（-3，-9），综上，这样的点P有两个，坐标分别为P1（-3，1），P2（-3，-9）；例3题解图①P1P2解：∵点C（0，5），∴CO=5，例3题解图①P1P2（3）在线段CO上取一点F,使得CF=DE,求点F的坐标,并判定四边形DECF的形状;例3题图③【思维教练】要求点F的坐标，可根据CF=DE，结合C点坐标求解，C点坐标已知，故只需求解DE的长度，由点E为l与AC的交点可知点E在AC上，先求直线AC的解析式，从而确定点E的坐标，然后确定DE的长，再结合DE确定CF，从而得到点F的坐标，利用DE∥CF，DE=CF，即可判定四边形DECF的形状；（3）在线段CO上取一点F,使得CF=DE,求点F的坐标,并解：设直线AC的解析式为，将点A（-5,0），C（0,5）代入得，解得，∴直线AC的解析式为y=x+5.令x=-3得y=-3+5=2，∴点E的坐标为（-3,2），易得点D的坐标为（-3,0），∴DE=2.例3题图②解：设直线AC的解析式为如解图②，连接DF∵DE∥CF，DE=CF，∴四边形DECF是平行四边形；例3题解图②∵CF=DE=2，点F在线段CO上，点C坐标为（0,5），∴点F的坐标为（0,3）.F如解图②，连接DF例3题解图②∵CF=DE=2，点F在线段C（4）设G是抛物线上一点，过点G作GH∥x轴交l于点H，点G坐标为何值时，以A、B、G、H为顶点的四边形是平行四边形？【思维教练】由于GH∥x轴，AB在x轴上可知GH∥AB，要使以A、B、G、H为顶点的四边形是平行四边形，则需证GH=AB即可；例3题图④（4）设G是抛物线上一点，过点G作GH∥x轴交l于点H，【思解：∵点G在抛物线上，则设点G的坐标为(g,g2+6g+5)，∵GH∥x轴，点H在l：x=-3上，∴点H(-3,g2+6g+5).∵GH∥AB，要得到以A、B、G、H为顶点的四边形是平行四边形，则必须GH=AB=4，如解图③，即|g+3|=4，解得g=1或g=-7，当g=1时，g2+6g+5=12，此时点G的坐标为（1,12）；当g=-7时，g2+6g+5=12，此时点G的坐标为（-7,12），综上，这样的点G有两个，坐标分别为（1,12），（-7,12）；例3题解图③EH1（H2）G1G2解：∵点G在抛物线上，则设点G的坐标为(g,g2+6g+5)【思维教练】由折叠的性质得到M、M′关于x轴对称，再由抛物线性质得到A、B关于MM′对称，从而利用菱形性质得出结论；（5）如图⑤，沿x轴将抛物线在x轴下方的部分翻折到x轴上方，点M的对应点为M′，判断四边形AMBM′的形状，并说明理由；例3题图⑤【思维教练】由折叠的性质得到M、M′关于x轴对称，再由抛物线由折叠性质可得点M与M′关于x轴对称，∴MD=M′D，MM′⊥AB.由抛物线性质得点A与点B关于l对称，∴AD=BD，AB⊥MM′，∴四边形AMBM′是菱形;例3题解图④解：四边形AMBM′是菱形.理由如下：如解图④，由折叠性质可得例3题解图④解：四边形AMBM′是菱形.（6）设点Q是抛物线上一点，点R是平面内一点，点Q的坐标为何值时，四边形AQCR是菱形？例3题图⑥【思维教练】由四边形AQCR是菱形可知AC是对角线，结合OC=OA，从而过点O作OP⊥AC，且OP平分AC，从而可得点Q在OP上，只需求出QP所在直线的解析式，与抛物线联立解方程组即可求得点Q的坐标.（6）设点Q是抛物线上一点，点R是平面内一点，点Q的坐标为何例4题解图⑤解：存在.如解图⑤，过点O作OP⊥AC于点P.PQ1Q2P′∵OA=OC=5，∴AP=CP，∴OP是AC的垂直平分线.∵四边形AQCR是菱形，∴点Q、R在AC的垂直平分线上，∴点Q是直线OP与抛物线的交点，过点P作PP′⊥x轴于点P′，则PP′是△AOC的中位线，∴PP′=OC=

，P′O=AO=，∴点P的坐标为（,），例4题解图⑤解：存在.如解图⑤，过点O作OP⊥AC于点P.P设直线QP的解析式为y=kx，将点P的坐标代入，可得k=-1,∴直线QP的解析式为y=-x,与抛物线联立得解得，，y=x2+6x+5y=-x，x2=y2=x1=y1=例3题解图⑤PQ2P′Q1设直线QP的解析式为y=kx，将点P的坐标代入，可得k=-1这样的Q点有两个，坐标分别为（,），（,）.这样的Q点有两个，坐标分别为（拓展题型二次函数综合题拓展题型二次函数综合题拓展一二次函数与线段和差问题拓展二二次函数与三角形面积问题拓展三二次函数与特殊四边形判定问题拓展一二次函数与线段和差问题拓展一二次函数与线段和差问题拓展一二次函数与线段和差问题

典例精讲例1如图，抛物线y=ax2+bx+c（a≠0)与x轴交于点A、B（1,0)，与y轴交于点C，直线y=x-2经过点A、C.抛物线的顶点为D,对称轴为直线l.（1)求抛物线的解析式；【思维教练】已知直线y=x-2经过点A、C，结合题干，可求得A、C两点的坐标，结合B(1,0)，代入抛物线y=ax2+bx+c(a≠0)求解即可；例1题图①典例精讲例1如图，抛物线y=ax2+bx+c（a∴抛物线解析式为y=-x2+x-2；解：对于直线y=x-2，令y=0,得x=4,令x=0，得y=-2，∴点A（4，0），点C（0，-2），将A（4，0），B（1，0），C（0，-2）代入抛物线解析式，得解得16a+4b+c=0a+b+c=0c=-2，a=-b=c=-2，例1题图①∴抛物线解析式为y=-x2+x-2；解【思维教练】要求顶点D的坐标和对称轴l，需知抛物线的顶点式，(1)中已求得抛物线的一般式，直接化为顶点式即可得到点D的坐标和对称轴l；（2）求顶点D的坐标与对称轴l；例1题图②【思维教练】要求顶点D的坐标和对称轴l，需知抛物线的顶点式，解：由抛物线y=-x2+x-2，得y=-

（x2-5x）-2=-(x-)2+，∴抛物线顶点D的坐标为（,），对称轴l为直线x=

；例1题图②解：由抛物线y=-x2+x-2，得例1【思维教练】已知点E在x轴上，则设E点坐标为（e,0）,要求点E的坐标，已知AE=CE，需先分别用含e的式子表示出AE和CE，由于A点坐标（1）中已求得，则AE＝4-e,由题图可知点O、E、C三点可构成Rt△COE，结合C点坐标，利用勾股定理即可表示出CE的式子，建立方程求解即可；（3）设点E为x轴上一点，且AE=CE，求点E的坐标；例1题图③【思维教练】已知点E在x轴上，则设E点坐标为（e,0）,要求例1题解图①在Rt△COE中，根据勾股定理得CE2=OC2+OE2=22+e2，∵AE=CE，∴(4-e)2＝22+e2，解得e=，则点E的坐标为（，0）；E解：如解图①，由点E在x轴上，可设点E的坐标为（e,0），则AE=4-e，连接CE，例1题解图①在Rt△COE中，根据勾股定理得E解：如解图①（4）设点G是y轴上一点，是否存在点G,使得GD+GB的值最小，若存在，求出点G的坐标；若不存在，请说明理由；例1题图④（4）设点G是y轴上一点，是否存在点G,使得GD+GB的值最【思维教练】线段之和最小值问题即“最短路径问题”，解决这类问题最基本的定理就是“两点之间线段最短”，即已知一条直线和直线同旁的两个点，要在直线上找一点，使得这两个点与这点连接的线段之和最小，解决问题的方法就是通过轴对称作出对称点来解决.如此问，要使GD+GB的值最小，先找点B关于y轴的对称点B′,再连接B′D,B′D与y轴的交点即为所求的G点，求直线B′D的解析式，再求其与y轴的交点即可；【思维教练】线段之和最小值问题即“最短路径问题”，解决这类问设直线B′D

的解析式为y=kx+d（k≠0），其中D(,)，则解得∴直线B′D的解析式为y=x+，令x=0,得y=，∴点G的坐标为（0，）；例1题解图②-k+d=0

k+d=，k=d=

，解：存在.如解图②，取点B关于y轴的对称点B′，则点B′的坐标为（-1,0）.连接B′D，直线B′D与y轴的交点G即为所求的点.B′G设直线B′D的解析式为y=kx+d例1题解图②-k+d=0（5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，若存在，求出点F的坐标及△BCF周长的最小值；若不存在，请说明理由；例1题图⑤【思维教练】要使△BCF的周长最小，因为BC长为定值，即要使CF+BF的值最小，由点A,B关于直线l对称，可知AC与l的交点为点F，即可使得CF+BF最小，将x=

代入直线AC的解析式，即可求得F点的坐标，在Rt△AOC中可得AC的长，在Rt△OBC中可得BC的长，即可得到△BCF周长的最小值；（5）在直线l上是否存在一点F，使得△BCF的周长最小，例1在Rt△OBC中，OB=1，OC=2，由勾股定理得BC=为定值，∴当BF+CF最小时，C△BCF最小.∵点B与点A关于直线l对称，∴AC与对称轴l的交点即为所求的点F，将x=代入直线y=x-2，得y=×-2=-，∴点F的坐标为（,-）.例1题解图③解：存在，要使△BCF的周长最小，即BC+BF+CF最小，如解图③所示.F在Rt△OBC中，OB=1，OC=2，由勾例1题解图③解：存在Rt△AOC中，由AO=4，OC=2，根据勾股定理得AC=2，∴△BCF周长的最小值为BC+AC=

+2=3

；例1题解图③F在Rt△AOC中，由AO=4，OC=2，根据勾股定理得AC=【思维教练】要使SD-SB的值最大，则需分两种情况讨论：①S、B、D三点不共线时构成三角形，由三角形三边关系得到SD-SB<BD；②当三点共线时，有SD-SB=BD.从而得到当点S在DB的延长线上时满足条件，求出直线BD的解析式后，再求出直线BD与y轴的交点坐标即可；（6）在y轴上是否存在一点S，使得SD-SB的值最大，若存在，求出点S的坐标；若不存在，请说明理由;例1题图⑥【思维教练】要使SD-SB的值最大，则（6）在y轴上是否存在当S与DB不在同一条直线上时，由三角形三边关系得SD-SB<BD，当S与DB在同一条直线上时，SD-SB=BD，∴SD-SB≤BD，即当S在DB的延长线上时，SD-SB最大，最大值为BD.设直线BD的解析式为y=mx+n,由B（1，0），D（，），得例1题解图④S解：存在.如解图④，延长DB交y轴于点S.当S与DB不在同一条直线上时，例1题解图④S解：存在.如解图m+n=0

m+n=，

m=解得，

n=-∴直线BD的解析式为y=x-,当x=0时,y=-,即当点S的坐标为（0，-）时，SD-SB的值最大；例1题解图④Sm+n=0例1题解图④S（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一点，过点H作y轴的平行线，交AC于点K，设点H的横坐标为h，线段HK＝d.①求d关于h的函数关系式；②求d的最大值及此时H点的坐标；例1题图⑦【思维教练】平行于y轴的两点之间的距离为此两点的纵坐标之差的绝对值，如此问，要求d关于h的函数关系式，由题可得点H的横坐标为h，①分别将h代入抛物线及直线AC的解析式中，即可得到点H、K的纵坐标，再由点H在点K的上方，可得到d关于h的函数关系式；②利用二次函数的性质求最值，即可得HK的最大值及此时H点的坐标；（7）若点H是抛物线上位于AC上方的一例1题图⑦【思维教练】∴点H的坐标为（h,-h2+h-2），∵HK∥y轴，交AC于K，∴点K的坐标为（h,h-2），∵点H在点K的上方，∴HK=d=（-h2+h-2）-（h-2）

=-h2+2h（0＜h＜4）;②由d=-h2+2h=-(h2-4h)=-(h-2)2+2可知，当h=2时，d最大，∵0<2<4,符合题意，∴当h=2时，d最大，最大值为2,此时点H的坐标（2,1）；例1题解图⑤HK解：①如解图⑤,∵点H在抛物线上，点H的横坐标为h，∴点H的坐标为（h,-h2+h-2），（8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离最大时，求P点的坐标，并求出最大距离是多少？例1题图⑧【思维教练】要求P点的坐标及P点到AC的最大距离，可根据三角形相似，确定对应边的最大值即可，通过作PT∥y轴交AC于L,作PQ⊥AC于点Q，证明△PLQ∽△ACO,得到PQ与PL的比等于AO与AC的比，即可得到PQ与PL的关系,再由（7）得到PL的最大值，即可得到PQ的最大距离及此时的P点坐标.（8）设点P是直线AC上方抛物线上一点，当P点与直线AC距离∴∠PLQ=∠ACO,∠PQL=∠AOC=90°，∴△PLQ∽△ACO，∴,∴，设P点的横坐标为t，由（7）知PL=-t2+2t，例1题解图⑥解：如解图⑥，过点P作PT∥y轴，交AC于L，作PQ⊥AC于点Q，PTLQ∴∠PLQ=∠ACO,∠PQL=∠AOC=90°，例1题解图当且仅当t=2时,PL取最大值2，∴当t=2时，PQ取最大距离，此时点P的坐标为（2,1）.PTLQ当且仅当t=2时,PL取最大值2，PTLQ拓展二二次函数与三角形面积问题拓展二二次函数与三角形面积问题例2如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与x轴相交于点A,与y轴相交于点C，点B在x轴的正半轴上，且AB=4，抛物线y=ax2+bx+c经过点A,B,C.（1)求抛物线的解析式；例2题图①【思维教练】要求抛物线的解析式，需知过抛物线的三点A、B、C的坐标，利用直线y=x+3求得A、C两点的坐标，结合已知的AB=4，求得B点坐标，代入求解即可；

典例精讲例2如图，在平面直角坐标系xOy中，直线y=x+3与x轴相解：对于y=x+3，当x=0时，y=3；当y=0时，x=-3，∴A（-3，0），C（0，3），∵AB=4，∴B（1，0），∵抛物线y=ax2+bx+c经过点A（-3，0），B（1，0），C（0，3），∴，解得，∴抛物线的解析式为y=-x2-2x+3;9a-3b+c=0a+b+c=0c=3a=-1b=-2c=3例2题图①解：对于y=x+3，当x=0时，y=3；9a-3b+c=0a【思维教练】要求△ABC的面积，需知△ABC的一条边的长度和这条边上高的长度，由于△ABC的边AB已知，底边AB上的高为OC，即为点C的纵坐标，代入面积计算公式即可求解；（2）求△ABC的面积；解：∵点C坐标为(0，3)，∴OC=3，∴S△ABC

=AB·OC=×4×3=6;例2题图①【思维教练】要求△ABC的面积，需知△ABC的一条边的长度和【思维教练】△QAE与△CBE的底边AE=BE，要使两三角形面积相等，故只要高相等，∵△CBE底边BE的高为3，∴点Q的纵坐标为3和-3时，满足条件，分别代入抛物线解析式即可求解；（3）点D为抛物线的顶点，DE是抛物线的对称轴，点E在x轴上，在抛物线上存在点Q,使得△QAE的面积与△CBE的面积相等，请直接写出点Q的坐标；例2题图②【思维教练】△QAE与△CBE的底边（3）点D为抛物线的顶点例2题解图①Q1（Q2）PQ4（Q3）解：Q点的坐标为（-2，3）或（0，3）或（-1+，-3）或（-1-，-3）；【解法提示】如解图①，依题意，AE=BE，∴当△QAE的边AE上的高为3时，△QAE的面积与△CBE的面积相等.①当y=3时，-x2-2x+3=3，解得x1=-2，x2=0，∴点Q的坐标为（-2，3）或（0，3）.②当y=-3时，-x2-2x+3=-3，解得x=-1±，∴点Q的坐标为（-1+，-3）或（-1-，-3）.综上所述，点Q的坐标为（-2，3）或（0，3）或（-1+，-3）或（-1-，-3）.例2题解图①Q1（Q2）PQ4（Q3）解：Q点的坐标为（-2【思维教练】要求四边形AOCD和△ACD的面积，由于四边形AOCD是不规则图形，则可利用S四边形AOCD=S△AOD

+S△COD计算.由于△ACD的底与高不容易计算，所以可利用S四边形AOCD

-S△AOC计算；（4）在（3)的条件下，连接AD,CD，求四边形AOCD和△ACD的面积；例2题图③【思维教练】要求四边形AOCD和△ACD的面积，由于四边形A易知点D的坐标为（-1，4），∴S四边形AOCD

=S△AOD

+S△COD=×3×4+×3×1=，∴S△ACD

=S四边形AOCD-S△AOC=-×3×3=3；例2题解图②解：如解图②，连接OD，易知点D的坐标为（-1，4），例2题解图②解：如解图②，连接（5）在直线AC的上方的抛物线上，是否存在一点M,使△MAC的面积最大？若存在，请求出点M的坐标，并求出△MAC面积的最大值；若不存在，请说明理由；例2题图④（5）在直线AC的上方的抛物线上，是否存在一点M,使△MAC【思维教练】要求图形面积最值问题，若求三角形面积最值，根据题意用未知数设出所求点的坐标，并利用所设点坐标表示出三角形的底和高，用面积公式求解；若求四边形面积最值时，常用到的方法是利用割补方法将四边形分成两个三角形，从而利用求三角形面积的方法求得用含未知数的代数式表示的线段（常用到相似三角形性质、勾股定理）.分别计算出每个三角形的面积，再进行和差计算求解.如此问，要使△MAC的面积最大，可先用含字母的式子表示出S△MAC，再利用二次函数性质讨论其最值，进而求得M点坐标；【思维教练】要求图形面积最值问题，若求三角形面积最值，根据题设M（x，-x2-2x+3），则N（x，x+3），MN=-x2-2x+3-（x+3）=-x2-3x，∴S△MAC

=S△AMN

+S△CMN

=MN×3=(-x2-3x)=-(x+)2+，∵-<0，∴当x=-时，S△MAC的值最大为，当x=-时，y=-(-)2-2×(-)+3=，∴点M的坐标为（-，）；例2题解图③解：存在点M，使得△MAC的面积最大.如解图③，过点M作MN∥y轴，交AC于点N，NM设M（x，-x2-2x+3），则N（x，x+3），MN=-x【思维教练】要确定H点的位置，根据△HGA被分成面积为1∶2的两部分，△HAI和△AIG高相等，对称轴在y轴左侧，可分HI与IG为1∶2或2∶1两种情况，列方程即可求解；（6）点H是抛物线第二象限内一点，作HG⊥x轴，试确定H点的位置，使△HGA的面积被直线AC分为1∶2的两部分；例2题图⑤【思维教练】要确定H点的位置，根据△HGA被分成面积为1∶2解：如解图④，由（5）可知，可分两种情况讨论：①若HI=2IG，则有-x2-3x=2(x+3)（-3＜x＜0），整理得x2+5x+6=0，解得x1=-2，x2=-3（不合题意，舍去），∴H（-2，3）；②若2HI=IG，则有2(-x2-3x)=x+3（-3＜x＜0），整理得2x2+7x+3=0，解得x1=-，x2=-3（不合题意，舍去），∴H（-，）.综上所述，有两种情况：H（-2，3）或H（-，）；例2题解图④H1G2G1OH2I1I2解：如解图④，由（5）可知，可分两种情况讨论：例2题解图④H（7）在抛物线上是否存在一点R，且位于对称轴的左侧，使S△RBC=，若存在，求出此时点R的坐标；若不存在，请说明理由.【思维教练】先假设存在点R，使得S△RBC

=.过点R作BC的垂线交BC的延长线于点K，可得BC·RK=，此时点R，K坐标不易计算，可考虑作RH∥y轴与BC的延长线交于点F，利用△RKF与△BOC相似，RF·BO＝BC·RK＝9，设出R点坐标利用此关系式列方程即可求解.例2题图⑥（7）在抛物线上是否存在一点R，且位于对称轴的左侧，使S△R例2题解图⑤解：存在点R，使得S△RBC＝，且位于对称轴的左侧.如解图⑤，过点R作RK⊥BC，交BC的延长线于点K，作RH∥y轴，交x轴于点H，交BC的延长线于点F，则∠F=∠BCO，∠RKF=∠BOC=90°，∴△RKF∽△BOC，∴，∴RF·BO=BC·RK，又∵S△RBC

=，BO=1，∴BC·RK=BO·RF=，∴RF=9.FRKH例2题解图⑤解：存在点R，使得S△RBC＝，且位于由B（1，0），C（0，3）可求出直线BC的解析式为y=-3x+3，设R（x，-x2-2x+3），则F（x，-3x+3），∴RF=-3x+3-（-x2-2x+3）=x2-x，∴x2-x=9，解得x1=，x2=（不合题意，舍去），∴R（，）.FKHR例2题解图⑤由B（1，0），C（0，3）可求出直线BC的解析式为y=-3拓展三二次函数与特殊四边形判定问题拓展三二次函数与特殊四边形判定问题例3如图①，抛物线经过A（-5，0），B（-1，0），C（0，5）三点，顶点坐标为M，连接AC.抛物线的对称轴为l，l与x轴交点为D，与AC交点为E.(1)分别求出抛物线的解析式，顶点M的坐标，对称轴l的解析式；例3题图①

典例精讲例3如图①，抛物线经过A（-5，0），B（-1，0）【思维教练】要确定抛物线的解析式，顶点M的坐标和对称轴l的解析式，由于A、B、C的坐标已知，设抛物线解析式为一般式，将点A、B、C代入求出抛物线解析式，将解析式转化为顶点式，顶点M的坐标，对称轴l的解析式即可求解；例3题图①【思维教练】要确定抛物线的解析式，顶点M的坐标和对称轴l的解解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，将点A（-5，0），B（-1，0），C（0，5）代入，得，解得，∴抛物线解析式为y=x2+6x+5，

=(x+3)2-4，25a-5b+c=0a-b+c=0c=5a=1b=6c=5∴顶点M的坐标为（-3，-4），对称轴l的解析式为：x=-3;例3题图①解：设抛物线解析式为y=ax2+bx+c，25a-5b+c=【思维教练】由点P在对称轴上结合抛物线的解析式，设P（-3，p），根据PM＝CO，分P在M点上方和P在M点下方两种情况进行讨论，求出点P坐标；（2）设P是直线l上一点，且PM=CO，求点P的坐标；例3题图②【思维教练】由点P在对称轴上结合抛物线的解析式，设P（-3，解：∵点C（0，5），∴CO=5，设点P的坐标为（-3，p），如解图①，当点P在M点上方时，即为P1点，则P1M=p-（-4）=5，解得p=1，此时点P1的坐标为（-3，1）；当点P在M点下方，即为P2点，则P2M=-4-p=5，解得p=-9，此时点P2的坐标为（-3，-9），综上，这样的点P有两个，坐标分别为P1