年中考数学第一轮总复习与圆有关的计算课件公开课

第三节与圆有关的计算第三节与圆有关的计算圆锥、圆柱的相关计算弧长与面积的计算与圆有关的计算圆锥圆柱弧长公式面积公式圆锥、圆柱弧长与面积与圆有关圆锥圆柱弧长公式面积公式考点精讲【对接教材】人教：九上第二十四章P111-P120；

北师：九下第三章P100-P102.考点精讲【对接教材】人教：九上第二十四章P111-P120；弧长与面积的计算圆的周长：C＝___________弧长：l＝___________面积公式弧长公式圆的面积：S＝____________扇形的面积：S扇形＝＝_________

r为圆的半径，n为弧所对的圆心角的度数，l是扇形的弧长2πrπr2弧长与面圆的周长：C＝___________面积公式弧长公式圆锥、圆柱的相关计算名称示意图面积、周长、体积特征圆锥S底面圆=πr2C底面圆=2πrV圆锥＝πr2h1.圆锥的轴截面是等腰三角形，圆锥的母线l、底面圆的半径r和圆锥的高h，这三个量之间的数量关系为r2+h2=l2；2.圆锥的侧面展开图是扇形；3.圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图扇形的弧长即2πr=

；4.圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的半径圆锥、圆柱名称示意图面积、周长、体积特征圆锥S底面圆=πr2圆锥、圆柱的相关计算名称示意图面积、周长、体积特征圆柱S圆柱侧=_______S圆柱全=2πrh＋2πr2V圆柱＝πr2h侧面展开图为矩形2πrh圆锥、圆柱名称示意图面积、周长、体积特征圆柱S圆柱侧=___圆锥的相关计算（省卷3考，昆明卷2013.∴S△OCD＝＝＝，∵OC为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；∴S阴影＝S扇形AOC－S△OAC＝－AC·OE∴∠CDG＝∠ADC＝∠BDG＝60°.(2016昆明卷12题4分)如图，AB为⊙O的直径，AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°,连接AD,OC,BC.S阴影＝2(S△OAC－S扇形△OAG)＝2×(－)＝－.∴∠T＝∠ABT＝45°，∴∠BAT＝90°.∴S△OAC＝OA·AC＝×2×＝，(7分)(1)求证：BC是⊙O的切线；∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD＝∠E，23D.在⊙D中，DE＝DF，∴∠DFE＝∠DEF，∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，(1)证明：如解图，连接OC，(1分)（2018省卷22题9分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC.45π∴S总阴影＝S阴影BDC＋S阴影CEF＝－＋－＝－.改变图形：直角三角形斜边与圆相切(2)解：如解图，连接EF，全国视野核心素养提升第1题图1.（2019资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为()A.5πB.6πC.20πD.24πA圆锥的相关计算（省卷3考，昆明卷2013.全国视野第2题图2.如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了()A.πcmB.2πcmC.3πcmD.5πcmC第2题图2.如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，∵∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；圆的周长：C＝___________3πD.πcmB.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，又∵OC为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；解：如解图，过点O作OE⊥CD于点E.20πD.又∵OC＝OF，∴△COF为等边三角形，∴∠FCE＝30°，EF∥CDB.(2016昆明卷12题4分)如图，AB为⊙O的直径，AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°,连接AD,OC,BC.（2018省卷22题9分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC.(1)求证：CD是⊙O的切线；∴S扇形OBC＝＝＝，(7分)（2019省卷11题4分）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是()（2019南充）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD,∠BCD=∠A.(2016昆明卷12题4分)如图，AB为⊙O的直径，AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°,连接AD,OC,BC.又∵∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，圆锥的侧面展开图是扇形；第3题图a,则勒洛三角形的周长为_________.πa∵∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，第3题图a,则勒洛三角第4题图4.（数学文化）（2019湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝(弦×矢+矢2).弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分ABAB=8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_________平方米.10第4题图4.（数学文化）（2019湘潭）《九章算术》是我国玩转云南8年中考真题弧长与扇形的相关计算（省卷2考，昆明卷2考）命题点11.（2014省卷7题3分）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（）A.πB.2πC.3πD.12πC2.(2015省卷8题3分)若扇形的面积为3π,圆心角为60°,则该扇形的半径为()A.3B.9C.23D.32D玩转云南8年中考真题弧长与扇形的相关计算（省卷2考，昆明卷23.(2016昆明卷12题4分)如图，AB为⊙O的直径，AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°,连接AD,OC,BC.下列结论不正确的是()A.EF∥CDB.△COB是等边三角形C.CG=DGD.

的长为π第3题图D3.(2016昆明卷12题4分)如图，AB为⊙O的直径，A4.（2020昆明卷5题3分）如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O,OA垂直平分边CD,垂足为B,AB=17cm,用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为_________cm.第4题图10π4.（2020昆明卷5题3分）如图，边长为2cm的正圆锥的相关计算（省卷3考，昆明卷2013.13）命题点25.(2017昆明卷13题3分·源于人教九上P116第10题)如图,从直径为4cm的圆形纸片中,剪出一个圆心角为90°的扇形OAB,且点O，A，B在圆周上,把它围成一个圆锥,则圆锥的底面圆的半径是_________cm.第5题图6.（2019省卷11题4分）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是()A.48πB.45πC.36πD.32πA圆锥的相关计算（省卷3考，昆明卷2013.13）命题点25.7.（2020省卷13题4分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE(阴影部分，点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是()A.B.1C.D.

第7题图D7.（2020省卷13题4分）如图，正方形ABCD的边长为8.(2017省卷13题4分)正如我们小学学过的圆锥体积公式V＝πr2h(π表示圆周率，r表示圆锥的底面半径，hπ计算到小数点后第7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把π计算得更精确.在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少.现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内，即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习.8.(2017省卷13题4分)正如我们小学学过的圆锥体积公下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于9π，则这个圆锥的高等于()A.5πB.5C.3πD.3D圆柱的相关计算（省卷2016.16）命题点39.(2016省卷6题3分)如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为6、16π的长方形，那么这个圆柱的体积等于__________.384π或144下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，阴影部分面积的相关计算（省卷4考，昆明卷4考）命题点410.(2017省卷5题3分)如图，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O,切点分别为E,F,G,H，则图中阴影部分的面积为_________.第10题图2π+4阴影部分面积的相关计算（省卷4考，昆明卷4考）命题点410.11.（2018昆明卷6题3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为__________.（结果保留根号和π）第11题图11.（2018昆明卷6题3分）如图，正六边形ABCDEF12.(2019省卷13题4分)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=5，BC=13，CA=12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是()A.4B.6.25C.7.5D.9第12题图A12.(2019省卷13题4分)如图，△ABC的内切圆⊙O6πC.∵OC为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2016省卷20题8分)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E，点F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE.如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了()(1)证明：如解图，连接OC，(2016昆明卷12题4分)如图，AB为⊙O的直径，AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°,连接AD,OC,BC.则AE＝CE，∠COE＝60°，23D.又∵OC＝OF，∴△COF为等边三角形，∴∠FCE＝30°，∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，48πB.∴∠ODC＝90°，(4分)即OD⊥AC，6πC.∴∠DOC＝∠A＝60°，(1)求证：BC是⊙O的切线；∴S阴影BDC＝S△COD－S扇形OBC＝××2－＝－.∴S△OCD＝＝＝，（数学文化）（2019湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝(弦×矢+矢2).（2019资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为()(2015省卷8题3分)若扇形的面积为3π,圆心角为60°,则该扇形的半径为()13.(2016昆明卷22题8分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是边AC上的一点,连接BD,使∠A=2∠1,E是BC上的一点,以BE为直径的⊙O经过点D.(1)求证:AC是⊙O的切线;第13题图13.(1)证明：如解图，连接OD，(1分)∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，又∵∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠A＝90°，∴∠DOC＋∠C＝∠A＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，(4分)即OD⊥AC，∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；(5分)6πC.13.(2016昆明卷22第13题解图【一题多解】如解图，连接OD，(1分)∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，又∵∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，∵∠C＝∠C，∴△CDO∽△CBA，∵∠ABC＝90°，∴∠CDO＝∠CBA＝90°，(4分)即OD⊥AC，∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；(5分)第13题解图【一题多解】如解图，连接OD，(1分)(2)若∠A=60°,⊙O的半径为2,求阴影部分的面积(结果保留根号和π).(2)解：∵∠A＝60°，由(1)知∠DOC＝∠A，∴∠DOC＝∠A＝60°，在Rt△ODC中，tan60°＝，∵OD＝2，∴CD＝OD·tan60°＝，∴S△ODC＝OD·CD＝×2×

＝

，(6分)∴S扇形ODE＝＝，(7分)∴S阴影＝S△ODC－S扇形ODE＝-.(8分)(2)若∠A=60°,⊙O的半径为2,求阴影部分的面积(结果14.(2016省卷20题8分)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E，点F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE.(1)求证：DE是⊙O的切线;第14题图(1)证明：如解图，连接OC，(1分)∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，又∵AC平分∠BAE，∴∠OAC＝∠CAE，∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD＝∠E，又∵AE⊥DC，∴∠E＝90°，∴∠OCD＝90°，(3分)∴OC⊥DC，∵OC为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(4分)14.(2016省卷20题8分)如图，AB为⊙O的直径，C(2)解：在Rt△AED中，∵∠D＝30°，AE＝6，∴AD＝2AE＝12，由(1)知，∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，∵∠D＝30°，∴DO＝2OC＝DB＋OB＝DB＋OC，∴DB＝OB＝OC＝OA＝AD＝4，∴DO＝8，(5分)(2)设AE=6,∠D=30°,求图中阴影部分的面积.第14题解图∴CD＝＝＝

，(6分)∴S△OCD＝＝＝

，又∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴∠DOC＝90°－∠D＝60°，∴S扇形OBC＝＝＝，(7分)∴S阴影＝S△OCD－S扇形OBC＝

－.(8分)(2)解：在Rt△AED中，(2)设AE=6,∠D=30°,15.(2016昆明卷22题9分)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F.(1)求证：CF是⊙O的切线；第15题图(1)证明：如解图，连接OD，(1分)∵四边形EBOC是平行四边形，∴BE＝OC，BE∥OC，∴∠OBD＝∠AOC，∠ODB＝∠DOC，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠DOC＝∠AOC，(2分)15.(2016昆明卷22题9分)如图，AB是⊙O的直径，在△DOC和△AOC中，∴△DOC≌△AOC(SAS)，(3分)∴∠CDO＝∠CAO，∵∠CAO＝90°，∴∠CDO＝90°，即OD⊥CF，(4分)∵OD是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线；(5分)在△DOC和△AOC中，∴△DOC≌△AOC(SAS)，(3(2)若∠F＝30°,EB＝4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)．(2)解：如解图，设OC与⊙O交于点G，∵∠F＝30°，EB＝4，由(1)得OC＝BE＝4，∠FCA＝180°－∠CFA－∠CAF＝60°，∠FOD＝60°，∠FCO＝∠OCA＝∠F＝30°，∠DOC＝∠AOC＝60°，∴OA＝2，(6分)在Rt△OCA中，∠CAO＝90°，由勾股定理得AC＝＝

，∴S△OAC＝OA·AC＝×2×

＝

，(7分)∴S扇形OAG＝＝

，(8分)S阴影＝2(S△OAC－S扇形△OAG)＝2×(

－)＝－.(9分)第15题解图(2)若∠F＝30°,EB＝4,求图中阴影部分的面积(结果保16.（2018省卷22题9分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC.(1)求证：CD是⊙O的切线；第16题图(1)证明：如解图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＋∠OCB＝∠BAC＋∠ABC＝90°，∴OC⊥CD.∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(4分)16.（2018省卷22题9分）如图，已知AB是⊙O的直径在△DOC和△AOC中，(1)证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，圆锥的相关计算（省卷3考，昆明卷2013.∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，弧长：l＝___________∴OD＝2OC＝OB＋BD，∴OC＝OB＝BD＝2，(1)证明：如解图，连接OD，(1分)3πD.证明：∵AT＝AB，∠ABT＝45°，∴S△OCD＝＝＝，现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内，即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD＝∠E，圆锥的相关计算（省卷3考，昆明卷2013.(2016昆明卷12题4分)如图，AB为⊙O的直径，AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°,连接AD,OC,BC.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E,F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE.(1)证明：如解图，连接OC，∴S扇形OBC＝＝＝，(7分)∴S总阴影＝S阴影BDC＋S阴影CEF＝－＋－＝－.又∵∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，(2)若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积.(2)解：∵∠D＝30°，由(1)知，OC⊥CD，∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°.在Rt△ODC中，∠D＝30°，∴OD＝2OC＝OB＋BD，∴OC＝OB＝BD＝2，如解图，过点O作OE⊥AC于点E，则AE＝CE，∠COE＝60°，∴OE＝1，CE＝，(6分)∴AC＝2CE＝

，∴S阴影＝S扇形AOC－S△OAC＝－AC·OE＝-××1=

-.(9分)第16题解图在△DOC和△AOC中，(2)若∠D=30°，BD=2，求图教材改编题教材母题1.（人教九上P98练习第1题）如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.求证:AT是⊙O的切线.第1题图证明：∵AT＝AB，∠ABT＝45°，∴∠T＝∠ABT＝45°，∴∠BAT＝90°.又∵AB为⊙O的直径，∴AT是⊙O的切线．教材改编题教材母题1.（人教九上P98练习第1题）如图,A增加设问：求长度母题变式第2题图2.（2019南充）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD,∠BCD=∠A.(1)求证：BC是⊙O的切线；(1)证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，∴∠A＋∠ACD＝90°.∵∠BCD＝∠A，∴∠BCD＋∠ACD＝∠ACB＝90°，∴OC⊥BC.又∵OC为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；增加设问：求长度母题变式第2题图2.（2019南充）如图，(2)若BC＝5,BD＝3,求点O到CD的距离．解：如解图，过点O作OE⊥CD于点E.在Rt△BCD中，∵BC＝5，BD＝3，∴CD＝4.∵∠ADC＝∠CDB＝90°，∠BCD＝∠A，∴Rt△BDC∽Rt△CDA，∴＝，∴AD＝.∵OE⊥CD，OA＝OC，∴E为CD的中点．∴OE＝AD＝.E(2)若BC＝5,BD＝3,求点O到CD的距离．解：如解图，改变图形：直角三角形斜边过圆心对接中考第3题图3.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E,F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE.（1）求证：DE是⊙O的切线；(1)证明：如解图，连接OC，∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA.∵AC平分∠BAE，∴∠OAC＝∠CAE，∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD＝∠E.∵AE⊥DE，∴∠E＝90°，∴∠OCD＝90°，∴OC⊥CD.∵点C在⊙O上，OC为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；改变图形：直角三角形斜边过圆心对接中考第3题图3.如图，A（2）若DC=,∠D=30°，求图中阴影部分的面积.(2)解：如解图，连接OF、CF，∵在Rt△CDO中，∠D＝30°，DC＝2，∴OD＝4，OC＝2，∠BOC＝60°，由(1)知，OC∥AE，∴∠DAE＝∠BOC＝60°.在△AOF中，∵OA＝OF，∠DAE＝60°，∴△AOF为等边三角形，∴∠AOF＝60°，∴∠COF＝60°.又∵OC＝OF，∴△COF为等边三角形，∴∠FCE＝30°，第3题图（2）若DC=,∠D=30°，求图中阴影部分∴EF＝CF·sin∠FCE＝2·sin30°＝1，CE＝CF·cos30°＝，∴S阴影CEF＝S梯形EFOC－S扇形OCF＝(1＋2)××-＝－，∴S阴影BDC＝S△COD－S扇形OBC＝×

×2－＝

－

.∴S总阴影＝S阴影BDC＋S阴影CEF＝

－

＋－＝－.∴EF＝CF·sin∠FCE＝2·sin30°＝1，CE＝C改变图形：直角三角形斜边与圆相切第4题图4.如图，在Rt△ABC中，∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，交AB于点D，以点D为圆心，DA为半径的圆与AB交于点E，与CD交于点F．（1）求证：BC是⊙D的切线；(1)证明：如解图，过点D作DG⊥BC于点G，∵∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，∴DA⊥AC，∠ACD＝∠BCD.∵CD＝CD，∴△ADC≌△GDC(AAS)．∴DG＝DA，∴DG为⊙D的半径，∴BC是⊙D的切线；G改变图形：直角三角形斜边与圆相切第4题图4.如图，在Rt△(2)若EF∥BC，且BC＝6，求图中阴影部分的面积．(2)解：如解图，连接EF，∵EF∥BC，由(1)知DG⊥BC，∴DG⊥EF，∴＝，∴∠BDG＝∠CDG.由(1)知△ADC≌△GDC，∴∠CDG＝∠ADC，∴∠CDG＝∠ADC＝∠BDG＝60°.第4题解图G(2)若EF∥BC，且BC＝6，求图中阴影部分的面积．(2)∵EF∥BC，∴∠DEF＝∠B，∠DFE＝∠DCB，在⊙D中，DE＝DF，∴∠DFE＝∠DEF，∴∠B＝∠DCB，∴DB＝DC.∵DG⊥BC，∴CG＝BC＝3.在Rt△DCG中，DG＝＝.∴S阴影＝S△DGC－S扇形GDF＝×3×－＝－.∵EF∥BC，∴∠DEF＝∠B，∠DFE＝∠DCB，第三节与圆有关的计算第三节与圆有关的计算圆锥、圆柱的相关计算弧长与面积的计算与圆有关的计算圆锥圆柱弧长公式面积公式圆锥、圆柱弧长与面积与圆有关圆锥圆柱弧长公式面积公式考点精讲【对接教材】人教：九上第二十四章P111-P120；

北师：九下第三章P100-P102.考点精讲【对接教材】人教：九上第二十四章P111-P120；弧长与面积的计算圆的周长：C＝___________弧长：l＝___________面积公式弧长公式圆的面积：S＝____________扇形的面积：S扇形＝＝_________

r为圆的半径，n为弧所对的圆心角的度数，l是扇形的弧长2πrπr2弧长与面圆的周长：C＝___________面积公式弧长公式圆锥、圆柱的相关计算名称示意图面积、周长、体积特征圆锥S底面圆=πr2C底面圆=2πrV圆锥＝πr2h1.圆锥的轴截面是等腰三角形，圆锥的母线l、底面圆的半径r和圆锥的高h，这三个量之间的数量关系为r2+h2=l2；2.圆锥的侧面展开图是扇形；3.圆锥底面圆的周长等于其侧面展开图扇形的弧长即2πr=

；4.圆锥的母线长等于其侧面展开图扇形的半径圆锥、圆柱名称示意图面积、周长、体积特征圆锥S底面圆=πr2圆锥、圆柱的相关计算名称示意图面积、周长、体积特征圆柱S圆柱侧=_______S圆柱全=2πrh＋2πr2V圆柱＝πr2h侧面展开图为矩形2πrh圆锥、圆柱名称示意图面积、周长、体积特征圆柱S圆柱侧=___圆锥的相关计算（省卷3考，昆明卷2013.∴S△OCD＝＝＝，∵OC为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；∴S阴影＝S扇形AOC－S△OAC＝－AC·OE∴∠CDG＝∠ADC＝∠BDG＝60°.(2016昆明卷12题4分)如图，AB为⊙O的直径，AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°,连接AD,OC,BC.S阴影＝2(S△OAC－S扇形△OAG)＝2×(－)＝－.∴∠T＝∠ABT＝45°，∴∠BAT＝90°.∴S△OAC＝OA·AC＝×2×＝，(7分)(1)求证：BC是⊙O的切线；∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD＝∠E，23D.在⊙D中，DE＝DF，∴∠DFE＝∠DEF，∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，(1)证明：如解图，连接OC，(1分)（2018省卷22题9分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC.45π∴S总阴影＝S阴影BDC＋S阴影CEF＝－＋－＝－.改变图形：直角三角形斜边与圆相切(2)解：如解图，连接EF，全国视野核心素养提升第1题图1.（2019资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为()A.5πB.6πC.20πD.24πA圆锥的相关计算（省卷3考，昆明卷2013.全国视野第2题图2.如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了()A.πcmB.2πcmC.3πcmD.5πcmC第2题图2.如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，∵∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；圆的周长：C＝___________3πD.πcmB.∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，又∵OC为⊙O的半径，∴BC是⊙O的切线；解：如解图，过点O作OE⊥CD于点E.20πD.又∵OC＝OF，∴△COF为等边三角形，∴∠FCE＝30°，EF∥CDB.(2016昆明卷12题4分)如图，AB为⊙O的直径，AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°,连接AD,OC,BC.（2018省卷22题9分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC.(1)求证：CD是⊙O的切线；∴S扇形OBC＝＝＝，(7分)（2019省卷11题4分）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是()（2019南充）如图，在△ABC中，以AC为直径的⊙O交AB于点D，连接CD,∠BCD=∠A.(2016昆明卷12题4分)如图，AB为⊙O的直径，AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°,连接AD,OC,BC.又∵∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，圆锥的侧面展开图是扇形；第3题图a,则勒洛三角形的周长为_________.πa∵∠BAC＝90°，CD平分∠ACB，第3题图a,则勒洛三角第4题图4.（数学文化）（2019湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝(弦×矢+矢2).弧田是由圆弧和其所对的弦围成（如图中的阴影部分），公式中“弦”指圆弧所对弦长，“矢”等于半径长与圆心到弦的距离之差，运用垂径定理（当半径OC⊥弦AB时，OC平分ABAB=8米，半径等于5米的弧田，按照上述公式计算出弧田的面积为_________平方米.10第4题图4.（数学文化）（2019湘潭）《九章算术》是我国玩转云南8年中考真题弧长与扇形的相关计算（省卷2考，昆明卷2考）命题点11.（2014省卷7题3分）已知扇形的圆心角为45°，半径长为12，则该扇形的弧长为（）A.πB.2πC.3πD.12πC2.(2015省卷8题3分)若扇形的面积为3π,圆心角为60°,则该扇形的半径为()A.3B.9C.23D.32D玩转云南8年中考真题弧长与扇形的相关计算（省卷2考，昆明卷23.(2016昆明卷12题4分)如图，AB为⊙O的直径，AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°,连接AD,OC,BC.下列结论不正确的是()A.EF∥CDB.△COB是等边三角形C.CG=DGD.

的长为π第3题图D3.(2016昆明卷12题4分)如图，AB为⊙O的直径，A4.（2020昆明卷5题3分）如图，边长为2cm的正六边形螺帽，中心为点O,OA垂直平分边CD,垂足为B,AB=17cm,用扳手拧动螺帽旋转90°，则点A在该过程中所经过的路径长为_________cm.第4题图10π4.（2020昆明卷5题3分）如图，边长为2cm的正圆锥的相关计算（省卷3考，昆明卷2013.13）命题点25.(2017昆明卷13题3分·源于人教九上P116第10题)如图,从直径为4cm的圆形纸片中,剪出一个圆心角为90°的扇形OAB,且点O，A，B在圆周上,把它围成一个圆锥,则圆锥的底面圆的半径是_________cm.第5题图6.（2019省卷11题4分）一个圆锥的侧面展开图是半径为8的半圆，则该圆锥的全面积是()A.48πB.45πC.36πD.32πA圆锥的相关计算（省卷3考，昆明卷2013.13）命题点25.7.（2020省卷13题4分）如图，正方形ABCD的边长为4，以点A为圆心，AD为半径画圆弧DE得到扇形DAE(阴影部分，点E在对角线AC上).若扇形DAE正好是一个圆锥的侧面展开图，则该圆锥的底面圆的半径是()A.B.1C.D.

第7题图D7.（2020省卷13题4分）如图，正方形ABCD的边长为8.(2017省卷13题4分)正如我们小学学过的圆锥体积公式V＝πr2h(π表示圆周率，r表示圆锥的底面半径，hπ计算到小数点后第7位的中国古代科学家，创造了当时世界上的最高水平，差不多过了1000年，才有人把π计算得更精确.在辉煌成就的背后，我们来看看祖冲之付出了多少.现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内，即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！他这种严谨治学的态度，不怕复杂计算的毅力，值得我们学习.8.(2017省卷13题4分)正如我们小学学过的圆锥体积公下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，若该圆锥的体积等于9π，则这个圆锥的高等于()A.5πB.5C.3πD.3D圆柱的相关计算（省卷2016.16）命题点39.(2016省卷6题3分)如果圆柱的侧面展开图是相邻两边长分别为6、16π的长方形，那么这个圆柱的体积等于__________.384π或144下面我们就来通过计算解决问题：已知圆锥的侧面展开图是个半圆，阴影部分面积的相关计算（省卷4考，昆明卷4考）命题点410.(2017省卷5题3分)如图，边长为4的正方形ABCD外切于⊙O,切点分别为E,F,G,H，则图中阴影部分的面积为_________.第10题图2π+4阴影部分面积的相关计算（省卷4考，昆明卷4考）命题点410.11.（2018昆明卷6题3分）如图，正六边形ABCDEF的边长为1，以点A为圆心，AB的长为半径，作扇形ABF，则图中阴影部分的面积为__________.（结果保留根号和π）第11题图11.（2018昆明卷6题3分）如图，正六边形ABCDEF12.(2019省卷13题4分)如图，△ABC的内切圆⊙O与BC、CA、AB分别相切于点D、E、F，且AB=5，BC=13，CA=12，则阴影部分（即四边形AEOF）的面积是()A.4B.6.25C.7.5D.9第12题图A12.(2019省卷13题4分)如图，△ABC的内切圆⊙O6πC.∵OC为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(2016省卷20题8分)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E，点F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE.如图，用一个半径为5cm的定滑轮带动重物上升，滑轮上一点P旋转了108°，假设绳索（粗细不计）与滑轮之间没有滑动，则重物上升了()(1)证明：如解图，连接OC，(2016昆明卷12题4分)如图，AB为⊙O的直径，AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°,连接AD,OC,BC.则AE＝CE，∠COE＝60°，23D.又∵OC＝OF，∴△COF为等边三角形，∴∠FCE＝30°，∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，48πB.∴∠ODC＝90°，(4分)即OD⊥AC，6πC.∴∠DOC＝∠A＝60°，(1)求证：BC是⊙O的切线；∴S阴影BDC＝S△COD－S扇形OBC＝××2－＝－.∴S△OCD＝＝＝，（数学文化）（2019湘潭）《九章算术》是我国古代数学成就的杰出代表作，其中《方田》章计算弧田面积所用的经验公式是：弧田面积＝(弦×矢+矢2).（2019资阳）如图，直径为2cm的圆在直线l上滚动一周，则圆所扫过的图形面积为()(2015省卷8题3分)若扇形的面积为3π,圆心角为60°,则该扇形的半径为()13.(2016昆明卷22题8分)如图,在△ABC中,∠ABC=90°,D是边AC上的一点,连接BD,使∠A=2∠1,E是BC上的一点,以BE为直径的⊙O经过点D.(1)求证:AC是⊙O的切线;第13题图13.(1)证明：如解图，连接OD，(1分)∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，又∵∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，∵∠ABC＝90°，∴∠C＋∠A＝90°，∴∠DOC＋∠C＝∠A＋∠C＝90°，∴∠ODC＝90°，(4分)即OD⊥AC，∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；(5分)6πC.13.(2016昆明卷22第13题解图【一题多解】如解图，连接OD，(1分)∵OB＝OD，∴∠1＝∠ODB，∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，又∵∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，∵∠C＝∠C，∴△CDO∽△CBA，∵∠ABC＝90°，∴∠CDO＝∠CBA＝90°，(4分)即OD⊥AC，∵OD是⊙O的半径，∴AC是⊙O的切线；(5分)第13题解图【一题多解】如解图，连接OD，(1分)(2)若∠A=60°,⊙O的半径为2,求阴影部分的面积(结果保留根号和π).(2)解：∵∠A＝60°，由(1)知∠DOC＝∠A，∴∠DOC＝∠A＝60°，在Rt△ODC中，tan60°＝，∵OD＝2，∴CD＝OD·tan60°＝，∴S△ODC＝OD·CD＝×2×

＝

，(6分)∴S扇形ODE＝＝，(7分)∴S阴影＝S△ODC－S扇形ODE＝-.(8分)(2)若∠A=60°,⊙O的半径为2,求阴影部分的面积(结果14.(2016省卷20题8分)如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E，点F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE.(1)求证：DE是⊙O的切线;第14题图(1)证明：如解图，连接OC，(1分)∵OA＝OC，∴∠OAC＝∠OCA，又∵AC平分∠BAE，∴∠OAC＝∠CAE，∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD＝∠E，又∵AE⊥DC，∴∠E＝90°，∴∠OCD＝90°，(3分)∴OC⊥DC，∵OC为⊙O的半径，∴DE是⊙O的切线；(4分)14.(2016省卷20题8分)如图，AB为⊙O的直径，C(2)解：在Rt△AED中，∵∠D＝30°，AE＝6，∴AD＝2AE＝12，由(1)知，∠OCD＝90°，在Rt△OCD中，∵∠D＝30°，∴DO＝2OC＝DB＋OB＝DB＋OC，∴DB＝OB＝OC＝OA＝AD＝4，∴DO＝8，(5分)(2)设AE=6,∠D=30°,求图中阴影部分的面积.第14题解图∴CD＝＝＝

，(6分)∴S△OCD＝＝＝

，又∵∠D＝30°，∠OCD＝90°，∴∠DOC＝90°－∠D＝60°，∴S扇形OBC＝＝＝，(7分)∴S阴影＝S△OCD－S扇形OBC＝

－.(8分)(2)解：在Rt△AED中，(2)设AE=6,∠D=30°,15.(2016昆明卷22题9分)如图，AB是⊙O的直径，∠BAC＝90°，四边形EBOC是平行四边形，EB交⊙O于点D，连接CD并延长交AB的延长线于点F.(1)求证：CF是⊙O的切线；第15题图(1)证明：如解图，连接OD，(1分)∵四边形EBOC是平行四边形，∴BE＝OC，BE∥OC，∴∠OBD＝∠AOC，∠ODB＝∠DOC，又∵OD＝OB，∴∠ODB＝∠OBD，∴∠DOC＝∠AOC，(2分)15.(2016昆明卷22题9分)如图，AB是⊙O的直径，在△DOC和△AOC中，∴△DOC≌△AOC(SAS)，(3分)∴∠CDO＝∠CAO，∵∠CAO＝90°，∴∠CDO＝90°，即OD⊥CF，(4分)∵OD是⊙O的半径，∴CF是⊙O的切线；(5分)在△DOC和△AOC中，∴△DOC≌△AOC(SAS)，(3(2)若∠F＝30°,EB＝4,求图中阴影部分的面积(结果保留根号和π)．(2)解：如解图，设OC与⊙O交于点G，∵∠F＝30°，EB＝4，由(1)得OC＝BE＝4，∠FCA＝180°－∠CFA－∠CAF＝60°，∠FOD＝60°，∠FCO＝∠OCA＝∠F＝30°，∠DOC＝∠AOC＝60°，∴OA＝2，(6分)在Rt△OCA中，∠CAO＝90°，由勾股定理得AC＝＝

，∴S△OAC＝OA·AC＝×2×

＝

，(7分)∴S扇形OAG＝＝

，(8分)S阴影＝2(S△OAC－S扇形△OAG)＝2×(

－)＝－.(9分)第15题解图(2)若∠F＝30°,EB＝4,求图中阴影部分的面积(结果保16.（2018省卷22题9分）如图，已知AB是⊙O的直径，C是⊙O上的点，点D在AB的延长线上，∠BCD=∠BAC.(1)求证：CD是⊙O的切线；第16题图(1)证明：如解图，连接OC，∵AB是⊙O的直径，∴∠ACB＝90°，∴∠BAC＋∠ABC＝90°，∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∵∠BCD＝∠BAC，∴∠BCD＋∠OCB＝∠BAC＋∠ABC＝90°，∴OC⊥CD.∵OC是⊙O的半径，∴CD是⊙O的切线；(4分)16.（2018省卷22题9分）如图，已知AB是⊙O的直径在△DOC和△AOC中，(1)证明：∵AC是⊙O的直径，∴∠ADC＝90°，圆锥的相关计算（省卷3考，昆明卷2013.∴∠DOC＝∠1＋∠ODB＝2∠1，弧长：l＝___________∴OD＝2OC＝OB＋BD，∴OC＝OB＝BD＝2，(1)证明：如解图，连接OD，(1分)3πD.证明：∵AT＝AB，∠ABT＝45°，∴S△OCD＝＝＝，现在的研究表明，仅仅就计算来讲，他至少要对9位数字反复进行130次以上的各种运算，包括开方在内，即使今天我们用纸笔来算，也绝不是一件轻松的事情，何况那时候没有现在的纸笔，数学计算不是用现在的阿拉伯数字，而是用算筹(小竹棍或小竹片)进行的，这需要怎样的细心和毅力啊！∵OB＝OC，∴∠OBC＝∠OCB，∴∠OCA＝∠CAE，∴OC∥AE，∴∠OCD＝∠E，圆锥的相关计算（省卷3考，昆明卷2013.(2016昆明卷12题4分)如图，AB为⊙O的直径，AB=6,AB⊥弦CD,垂足为G，EF切⊙O于点B，∠A=30°,连接AD,OC,BC.如图，AB为⊙O的直径，C是⊙O上一点，过点C的直线交AB的延长线于点D,AE⊥DC,垂足为E,F是AE与⊙O的交点，AC平分∠BAE.(1)证明：如解图，连接OC，∴S扇形OBC＝＝＝，(7分)∴S总阴影＝S阴影BDC＋S阴影CEF＝－＋－＝－.又∵∠A＝2∠1，∴∠DOC＝∠A，(2)若∠D=30°，BD=2，求图中阴影部分的面积.(2)解：∵∠D＝30°，由(1)知，OC⊥CD，∴∠BOC＝60°，∴∠AOC＝120°.在Rt△ODC中，∠D＝30°，∴OD＝2OC＝OB＋BD，∴OC＝OB＝BD＝2，如解图，过点O作OE⊥AC于点E，则AE＝CE，∠COE＝60°，∴OE＝1，CE＝，(6分)∴AC＝2CE＝

，∴S阴影＝S扇形AOC－S△OAC＝－AC·OE＝-××1=

-.(9分)第16题解图在△DOC和△AOC中，(2)若∠D=30°，BD=2，求图教材改编题教材母题1.（人教九上P98练习第1题）如图,AB是⊙O的直径,∠ABT=45°,AT=AB.求证:AT是⊙O的切线.第