正方形的定义性质

关于正方形的定义性质第1页，共18页，2022年，5月20日，4点13分，星期五定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形

叫做正方形。一个角是直角一个角是直角一个角是直角，一组邻边相等一组邻边相等一组邻边相等平行四边形的对边平行且相等平行四边形的对角相等平行四边形的邻角互补平行四边形的对角线互相平分性质：特有性质：矩形的四个角都是直角矩形的对角线相等特有性质：菱形的四条边都相等菱形的两条对角线互相垂直，并且每一条对角线平分一组对角性质：正方形两组对边平行，四条边都相等正方形的四个角都是直角正方形的对角线相等，互相平分且垂直，并且每一条对角线平分一组对角第2页，共18页，2022年，5月20日，4点13分，星期五探究小结矩形〃〃正方形邻边相等〃〃发现：一组邻边相等的矩形是正方形

菱形一个角是直角正方形∟发现：一个角为直角的菱形是正方形正方形定义有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形是正方形第3页，共18页，2022年，5月20日，4点13分，星期五ABCDO正方形中：（按组说）1、相等的边有哪些？2、相等的角有哪些？3、等腰三角形有哪些？4、直角三角形有哪些？5、全等三角形有哪些？第4页，共18页，2022年，5月20日，4点13分，星期五平行四边形矩形菱形正方形平行四边形、矩形、菱形、正方形的关系图第5页，共18页，2022年，5月20日，4点13分，星期五例

求证:正方形的两条对角线把这个正方形分成四个全等的等腰直角三角形.这是一道文字证明题,该怎么做?你会做吗?第一步:根据题意画出图形第二步:写出已知、求证第三步：进行证明ADCBO

已知:如图,四边形ABCD是正方形,对角线AC、BD相交于点O.

求证:△ABO、△BCO、△CDO、△DAO是全等的等腰直角三角形.证明:∵四边形ABCD是正方形,∴AC=BD,AC⊥BD,AO=BO=CO=DO.∴△ABO、△BCO、△CDO、△DAO都是等腰直角三角形,并且△ABO≌△BCO≌△CDO≌△DAO分析:利用正方形的性质,对角线互相垂直平分且相等,每条对角线平分一组对角.平分可以产生线段等量关系,垂直可以产生直角,于是可以得到四个全等的等腰直角三角形.第6页，共18页，2022年，5月20日，4点13分，星期五ADCBO

正方形对角线把正方形分成多少个等腰直角三角形？拓展讨论:结论：

分成八个等腰直角三角形，分别是△ABC、△ADC、△ABD、△BCD；△AOB、△BOC、△COD、△DOA.第7页，共18页，2022年，5月20日，4点13分，星期五例题解析1.已知:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别是AB、BC、CD、DA的中点,试判断四边形EFGH是正方形吗?为什么?ＡＢＣＤＥＦＧＨ定义：有一组邻边相等并且有一个角是直角的平行四边形

叫做正方形。第8页，共18页，2022年，5月20日，4点13分，星期五

例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，

分析：要证明BM＝CN，大家观察图形可以考虑证哪两个三角形全等?

MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。你能完成证明吗???

AB＝BC，∠1＝∠2＝45°

条件够吗？

还需要的条件是AM＝BN△ABM≌△BCN你所要证明的两个三角形已经满足了哪些条件?由正方形可以得到的条件有：第9页，共18页，2022年，5月20日，4点13分，星期五

例2．如图(3)，正方形ABCD中，AC、BD相交于O，MN∥AB且MN分别交OA、OB于M、N，求证：BM＝CN。证明：

∵四边形ABCD是正方形

∴OA＝OB,∠1＝∠2＝∠3＝45°

又∵MN∥AB∴∠OMN＝∠1＝∠3＝∠ONM＝45°

∴OM＝ON

∴OA－OM＝OB－ON

即AM＝BN

下面大家自己完成证明第10页，共18页，2022年，5月20日，4点13分，星期五

练习1．已知：正方形ABCD对角线AC、BD相交于点O，且AB＝acm，如图(2)。

求：AC的长及正方形的面积S。

练习2．已知：在正方形ABCD中，对角线AC、

BD相交于点O，且AC＝6cm，如图求：正方形的面积S。

第11页，共18页，2022年，5月20日，4点13分，星期五例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，求证：∠MFD＝45°

分析：欲证∠MFD＝45°，由于△MDF是直角三角形,只须证△MDF是等腰三角形,即只要证_____=_____要证MD＝FD，大家只须证得哪两个三角形全等?

试一试看能不能完成证明???△CMD≌△ADF第12页，共18页，2022年，5月20日，4点13分，星期五例3．已知：如图(4)在正方形ABCD中，F为CD延长线上一点，CE⊥AF于E，交AD于M，

求证：∠MFD＝45°

证明：∵CE⊥AF

∴∠ADC＝∠AEM＝90°

又∵∠CMD＝∠AME

∴∠1＝∠2

又∵CD＝AD，∠ADF＝∠MDC

∴Rt△CDM≌Rt△ADF

(AAS)

∴DM=DF

下面的证明请大家完成第13页，共18页，2022年，5月20日，4点13分，星期五练习．如图(5)，在AB上取一点C，以AC、BC为正方形的一边在同一侧作正方形AEDC和BCFG连结AF、BD延长BD交AF于H。

求证：(1)△ACF≌△DCB(2)BH⊥AF

证明：

第14页，共18页，2022年，5月20日，4点13分，星期五例4．如图(6)，△ABC的外面作正方形ABDE和ACFG，连结BG、CE，交点为N。

求证：∠CEA＝∠ABG

分析：欲证∠CEA＝∠ABG，大家想一想证明两个角相等的方法，你有办法了吗？？？通过自己的努力，看能不能解决问题？证明：∵四边形ABDE和四边形ACFG是正方形。

∴AE＝AB

AG＝AC∠1＝∠2＝90°

又∵∠EAC＝∠1＋∠BAC＝90°＋∠BAC

∠BAG＝∠2＋∠BAC＝90°＋∠BAC

∴∠EAC＝∠BAG

∴△AEC≌△ABG

(SAS)

∴∠CEA＝∠ABG

第15页，共18页，2022年，5月20日，4点13分，星期五2.已知:正方形ABCD中,点E、F、G、H分别在AB、BC、CD