微积分基础(国家开放大学)-第1章-第2节-极限的概念和计算解析课件

第1章第2节

§1.2极限的概念与计算§1.2.1数列的极限§1.2.2函数的极限§1.2.3左极限和右极限§1.2.4无穷小量§1.2.5极限的计算1第1章第2节

§1.2极限的概念与计算§1.2.1数列的极§2.1数列的极限引例(割圆术)：古代数学家利用圆内接正多边形来推算圆面积.该方法的思路是： 虽然整个圆周是弯曲的，但每一段小圆弧却可以近似的看成直的,即在很小的一段上可以近似地“以直代曲”. 边)其n值越大,正n边形就越接近于圆面积.n,AnA.在此例中,先求其近似值,再通过“无限接近”的方法导出准确值。----极限法。(考察变化趋势)引例(圆的面积求法:转化为矩形面积)2§2.1数列的极限引例(割圆术)：古代数学家利用圆内接正多边定义：一般地，按一定规律排列的一串数x1,x2,...,xn,...,称为数列,简记为{xn}.其中第n项xn称称为该数列的通项。注意1数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2数列可看作定义在整数集上的函数§2.1数列的极限3定义：一般地，按一定规律排列的一串数x1,x2,...,xn数列举例(1)(2)(3)(4)不趋于一确定值4数列举例(1)(2)(3)(4)不趋于一确定值4数列极限的描述性定义定义：给定数列{xn}，如果当n无限增大时,xn无限趋近某个确定的常数A,则称当n→∞时，数列{xn}以A为极限，记为：这时也称数列{xn}为收敛的，即当n→∞时，数列{xn}收敛于A；否则，如果当n无限增大时，xn不能无限地趋近某个固定的常数A，则称当n→∞时，数列{xn}发散。或xn→A（n→∞）5数列极限的描述性定义定义：给定数列{xn}，如果当n无限增大判断下列数列是否收敛：6判断下列数列是否收敛：6§2.2函数的极限一.x时函数f(x)的极限二.xx0时函数f(x)的极限三.函数极限的其它情形 数列作为函数的一种特殊而简单的情形,其自变量(下标)的"无限"变化模式只有一种：越来越大。然而普通函数f(x)的自变量的变化方式却多种多样,如x越来越大、越来越接近定点x0...等等。从而讨论函数值的变化趋势就有多种模式。7§2.2函数的极限一.x时函数f(x)的极限7x时函数f(x)的极限描述性定义：若当自变量的绝对值|x|无限增大时,相应的函数值f(x)无限接近某确定的常数A.则称当x趋向无穷时函数f(x)以A为极限,或f(x)收敛到A,记为例如：018x时函数f(x)的极限描述性定义：若当自变量的绝对值|xxx0时函数f(x)的极限定义：若当自变量x无限趋近x0（但x≠x0）时,函数f(x)无限接近某个确定的常数A。则称当x趋向x0时函数f(x)以A为极限,或f(x)收敛到A,记为利用定义可以容易的估计出一些简单的函数极限，如：9xx0时函数f(x)的极限定义：若当自变量x无限趋近x0（§1.2.3左极限和右极限若x从x0左侧(x<x0)趋近x0(记为xx0-)时,f(x)无限接近常数A,则称A为当xx0-时f(x)的左极限;记作若x从x0右侧(x>x0)趋近x0(记为xx0+)时,f(x)无限接近常数A,则称A为当xx0+时f(x)的右极限;记作若x无限增大(记为x+)时,f(x)无限接近常数A,则称A为当x+时f(x)的极限;记作若-x无限增大(记为x-)时,f(x)无限接近常数A,则称A为当x-时f(x)的极限;记作定理:10§1.2.3左极限和右极限若x从x0左侧(x<x0)趋近x0说明：函数极限与某一点的函数值无关，它考察的是随自变量变化引起相应函数值变化的最终趋势。例题与讲解例:求下列极限解:(1)12解:(1)(2)(3)11说明：函数极限与某一点的函数值无关，它考察的是随自变量变化引例题与讲解例1不存在在１与－１之间振荡思考：为多少？是否存在？12例题与讲解例1不存在在１与－１之间振荡思考：为多少？是否存在例题与讲解例213例题与讲解例213例题与讲解左右极限存在但不相等,例4证14例题与讲解左右极限存在但不相等,例4证14例题与讲解例5解左右极限存在且相等,15例题与讲解例5解左右极限存在且相等,15§1.2.4无穷小量一.无穷小量的概念二.无穷小量的性质三.无穷小量的比较 前面讨论了函数极限(变化趋势)的一般情况,下面我们将讨论两类特殊的函数变化趋势,它们与一般的函数极限有着密切关系。16§1.2.4无穷小量一.无穷小量的概念16无穷小量定义：在自变量的某一变化过程下,以0为极限的函数(变量)称无穷小量。常用希腊字母表示。例如:sinx0(x0);cos2x0(x/4).判断： 10-100是无穷小量吗？ x、x2是无穷小量吗？ 0是无穷小量吗？注意：无穷小量是趋向0的变量,变化趋势总是要和自变量的变化过程联系在一起。17无穷小量定义：在自变量的某一变化过程下,以0为极限的函数(变无穷小量性质(同一自变量变化过程)性质1:有限个无穷小量之和仍为无穷小量。性质2:有限个无穷小量之积仍为无穷小量。性质3:无穷小量与有界量之积仍为无穷小量。性质4:无穷小量除以极限不为零的变量,其商仍为无穷小量。注意：上述结论中"有限个"不能轻易去掉.比如无限个无穷小量之和不一定无穷小量。考虑：n个18无穷小量性质(同一自变量变化过程)性质1:有限个无穷小量之例题与讲解例：求极限解：|sinx|≤1(有界量).(无穷小量与有界量之积)思考：19例题与讲解例：求极限解：|sinx|≤1(有界量).(无穷小§1.2.5极限计算一.极限的四则运算法则二.第一个重要极限仅凭极限的描述性定义，我们可以直观的推测一些简单函数的极限，但对较复杂的函数要直接判断它的变化趋势就比较困难，甚至无能为力。因而我们需要进一步了解极限的性质、运算复杂，借助它们去求解复杂的函数极限。20§1.2.5极限计算一.极限的四则运算法则20极限的四则运算法则定理21极限的四则运算法则定理21四则运算法则(续--推论)推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2注意：四则运算法则1、2可以推广到有限多个函数的情形。(n可推广至实数)22四则运算法则(续--推论)推论1常数因子可以提到极限记号外面例题与讲解例123例题与讲解例123例题与讲解例224例题与讲解例224例题与讲解例3解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得25例题与讲解例3解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得25例题与讲解例4未定型方法：约去零因子法不可利用法则326例题与讲解例4未定型方法：约去零因子法不可利用法则326例题与讲解例5例627例题与讲解例5例627n时有理分式极限小结无穷小分出法以自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.28n时有理分式极限小结无穷小分出法以自变量的最高次幂除例题与讲解例7解先变形再求极限.29例题与讲解例7解先变形再求极限.29例题与讲解例8例9例1030例题与讲解例8例9例1030例题与讲解例11不存在不可直接用法则有界函数根据无穷小乘以有界函数仍是无穷小．是当时的无穷小量．所以无穷小有界函数无穷小

31例题与讲解例11不存在不可直接用法则有界函数根据无穷小乘以有例题与讲解例12从条件求常数32例题与讲解例12从条件求常数32二.两个重要的极限 尽管有了极限的四则运算法则能解决不少问题,但是仍有许多复杂函数求极限很困难。其中有两类问题颇具代表性，对它们进行专门研究，发展出两个重要极限。利用这两个极限的结论又能处理不少问题。为了领会这两个极限,我们先探讨一下极限存在定理。33二.两个重要的极限33第一个重要极限1.34第一个重要极限1.34关于重要极限1的说明注1型(含三角函数)注2为弧度注3在形式上完全一致，且注4如：35关于重要极限1的说明注1型(含三角函数)注2为弧度注3在形式例题与讲解例3例4例5注意区别：36例题与讲解例3例4例5注意区别：36第二个重要极限2证明的基本思路：有界，所以存在，记为单调增，再由(其中n=[x])用夹逼定理可证37第二个重要极限2证明的基本思路：有界，所以存在，记为单调增，关于重要极限2的说明注1注2在形式上完全一致,且可以如：38关于重要极限2的说明注1注2在形式上完全一致,且可以如：38例题与讲解例6例7例8例9例1039例题与讲解例6例7例8例9例1039§2.1数列的极限40§2.1数列的极限404141424243434444454546464747484849495050515152525353545455555656575758585959606061616262636364646565666667676868696970707171继续72继续72分的份数越多,拼成的图形就越接近于长方形73分的份数越737474757576767777787879798080818182828383848485858686878788888989继续90继续9091919292939394949595969697979898继续99继续99长=r

宽=r继续100长=r宽=r继续100长=r宽=r如果圆的半径为r，你能算出圆的面积吗？继续回到第3页101长=r宽=r如果圆的半径为r，继续回到第3页101第1章第2节

§1.2极限的概念与计算§1.2.1数列的极限§1.2.2函数的极限§1.2.3左极限和右极限§1.2.4无穷小量§1.2.5极限的计算102第1章第2节

§1.2极限的概念与计算§1.2.1数列的极§2.1数列的极限引例(割圆术)：古代数学家利用圆内接正多边形来推算圆面积.该方法的思路是： 虽然整个圆周是弯曲的，但每一段小圆弧却可以近似的看成直的,即在很小的一段上可以近似地“以直代曲”. 边)其n值越大,正n边形就越接近于圆面积.n,AnA.在此例中,先求其近似值,再通过“无限接近”的方法导出准确值。----极限法。(考察变化趋势)引例(圆的面积求法:转化为矩形面积)103§2.1数列的极限引例(割圆术)：古代数学家利用圆内接正多边定义：一般地，按一定规律排列的一串数x1,x2,...,xn,...,称为数列,简记为{xn}.其中第n项xn称称为该数列的通项。注意1数列对应着数轴上一个点列.可看作一动点在数轴上依次取2数列可看作定义在整数集上的函数§2.1数列的极限104定义：一般地，按一定规律排列的一串数x1,x2,...,xn数列举例(1)(2)(3)(4)不趋于一确定值105数列举例(1)(2)(3)(4)不趋于一确定值4数列极限的描述性定义定义：给定数列{xn}，如果当n无限增大时,xn无限趋近某个确定的常数A,则称当n→∞时，数列{xn}以A为极限，记为：这时也称数列{xn}为收敛的，即当n→∞时，数列{xn}收敛于A；否则，如果当n无限增大时，xn不能无限地趋近某个固定的常数A，则称当n→∞时，数列{xn}发散。或xn→A（n→∞）106数列极限的描述性定义定义：给定数列{xn}，如果当n无限增大判断下列数列是否收敛：107判断下列数列是否收敛：6§2.2函数的极限一.x时函数f(x)的极限二.xx0时函数f(x)的极限三.函数极限的其它情形 数列作为函数的一种特殊而简单的情形,其自变量(下标)的"无限"变化模式只有一种：越来越大。然而普通函数f(x)的自变量的变化方式却多种多样,如x越来越大、越来越接近定点x0...等等。从而讨论函数值的变化趋势就有多种模式。108§2.2函数的极限一.x时函数f(x)的极限7x时函数f(x)的极限描述性定义：若当自变量的绝对值|x|无限增大时,相应的函数值f(x)无限接近某确定的常数A.则称当x趋向无穷时函数f(x)以A为极限,或f(x)收敛到A,记为例如：01109x时函数f(x)的极限描述性定义：若当自变量的绝对值|xxx0时函数f(x)的极限定义：若当自变量x无限趋近x0（但x≠x0）时,函数f(x)无限接近某个确定的常数A。则称当x趋向x0时函数f(x)以A为极限,或f(x)收敛到A,记为利用定义可以容易的估计出一些简单的函数极限，如：110xx0时函数f(x)的极限定义：若当自变量x无限趋近x0（§1.2.3左极限和右极限若x从x0左侧(x<x0)趋近x0(记为xx0-)时,f(x)无限接近常数A,则称A为当xx0-时f(x)的左极限;记作若x从x0右侧(x>x0)趋近x0(记为xx0+)时,f(x)无限接近常数A,则称A为当xx0+时f(x)的右极限;记作若x无限增大(记为x+)时,f(x)无限接近常数A,则称A为当x+时f(x)的极限;记作若-x无限增大(记为x-)时,f(x)无限接近常数A,则称A为当x-时f(x)的极限;记作定理:111§1.2.3左极限和右极限若x从x0左侧(x<x0)趋近x0说明：函数极限与某一点的函数值无关，它考察的是随自变量变化引起相应函数值变化的最终趋势。例题与讲解例:求下列极限解:(1)12解:(1)(2)(3)112说明：函数极限与某一点的函数值无关，它考察的是随自变量变化引例题与讲解例1不存在在１与－１之间振荡思考：为多少？是否存在？113例题与讲解例1不存在在１与－１之间振荡思考：为多少？是否存在例题与讲解例2114例题与讲解例213例题与讲解左右极限存在但不相等,例4证115例题与讲解左右极限存在但不相等,例4证14例题与讲解例5解左右极限存在且相等,116例题与讲解例5解左右极限存在且相等,15§1.2.4无穷小量一.无穷小量的概念二.无穷小量的性质三.无穷小量的比较 前面讨论了函数极限(变化趋势)的一般情况,下面我们将讨论两类特殊的函数变化趋势,它们与一般的函数极限有着密切关系。117§1.2.4无穷小量一.无穷小量的概念16无穷小量定义：在自变量的某一变化过程下,以0为极限的函数(变量)称无穷小量。常用希腊字母表示。例如:sinx0(x0);cos2x0(x/4).判断： 10-100是无穷小量吗？ x、x2是无穷小量吗？ 0是无穷小量吗？注意：无穷小量是趋向0的变量,变化趋势总是要和自变量的变化过程联系在一起。118无穷小量定义：在自变量的某一变化过程下,以0为极限的函数(变无穷小量性质(同一自变量变化过程)性质1:有限个无穷小量之和仍为无穷小量。性质2:有限个无穷小量之积仍为无穷小量。性质3:无穷小量与有界量之积仍为无穷小量。性质4:无穷小量除以极限不为零的变量,其商仍为无穷小量。注意：上述结论中"有限个"不能轻易去掉.比如无限个无穷小量之和不一定无穷小量。考虑：n个119无穷小量性质(同一自变量变化过程)性质1:有限个无穷小量之例题与讲解例：求极限解：|sinx|≤1(有界量).(无穷小量与有界量之积)思考：120例题与讲解例：求极限解：|sinx|≤1(有界量).(无穷小§1.2.5极限计算一.极限的四则运算法则二.第一个重要极限仅凭极限的描述性定义，我们可以直观的推测一些简单函数的极限，但对较复杂的函数要直接判断它的变化趋势就比较困难，甚至无能为力。因而我们需要进一步了解极限的性质、运算复杂，借助它们去求解复杂的函数极限。121§1.2.5极限计算一.极限的四则运算法则20极限的四则运算法则定理122极限的四则运算法则定理21四则运算法则(续--推论)推论1常数因子可以提到极限记号外面.推论2注意：四则运算法则1、2可以推广到有限多个函数的情形。(n可推广至实数)123四则运算法则(续--推论)推论1常数因子可以提到极限记号外面例题与讲解例1124例题与讲解例123例题与讲解例2125例题与讲解例224例题与讲解例3解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得126例题与讲解例3解商的法则不能用由无穷小与无穷大的关系,得25例题与讲解例4未定型方法：约去零因子法不可利用法则3127例题与讲解例4未定型方法：约去零因子法不可利用法则326例题与讲解例5例6128例题与讲解例5例627n时有理分式极限小结无穷小分出法以自变量的最高次幂除分子,分母,以分出无穷小,然后再求极限.129n时有理分式极限小结无穷小分出法以自变量的最高次幂除例题与讲解例7解先变形再求极限.130例题与讲解例7解先变形再求极限.29例题与讲解例8例9例10131例题与讲解例8例9例1030例题与讲解例11不存在不可直接用法则有界函数根据无穷小乘以有界函数仍是无穷小．是当时的无穷小量．所以无穷小有界函数无穷小

132例题与讲解例11不存在不可直接用法则有界函数根据无穷小乘以有例题与讲解例12从条件求常数133例题与讲解例12从条件求常数32二.两个重要的极限 尽管有了极限的四则运算法则能解决不少问题,但是仍有许多复杂函数求极限很困难。其中有两类问题颇具代表性，对它们进行专门研究，发展出两个重要极限。利用这两个极限的结论又能处理不少问题。为了领会这两个极限,我们先探讨一下极限存在定理。134二.两个重要的极限33第一个重要极限1.135第一个重要极限