几何与代数：第11周第1-2次-方程组求解-特征值特征向量

Schmidt正交化、正交矩阵见第10周课件

第四章

n维向量第5节线性方程组解的结构行变换§4.5线性方程组解的结构一.线性方程组的相容性

回忆：ARsn,bRs,对于线性方程组Ax=b,例1[A,b]阶梯形[A,b]~~(1)Ax=b有解<=>

A

与

[A,b]

的非零行数相等；(2)当A

与

[A,b]的非零行数都等于n时,Ax=b有唯一解；(3)当A

与

[A,b]的非零行数(记为r)相等且小于n时,Ax=b有无穷多解,通解中含有n–r

个自由未知量.~~~~~~~~~第四章n维向量§4.5方程组解的结构行变换§4.5线性方程组解的结构一.线性方程组的相容性

回忆：ARsn,bRs,对于线性方程组Ax=b,例1[A,b]阶梯形[A,b]~~A

的非零行数=r(A)=r(A)；

~~第四章n维向量§4.5方程组解的结构~[A,b]的非零行数=r([A,b])=r([A,b]).~~~§4.5线性方程组解的结构一.线性方程组的相容性

定理4.13.设ARsn,bRs,则(1)Ax=b有解r([A,b])=r(A);

(2)当r([A,b])=r(A)=n时,Ax=b有唯一解;(3)当r([A,b])=r(A)<n时,Ax=b有无穷多解,且通解中含有nr(A)

个自由未知量.例1第四章n维向量§4.5方程组解的结构注：对于矩阵方程AX=B,有以下结论。AX=B

有解<=>r(A,B)=r(A)记B=(b1b2…bt).则AX=B

有解<=>A(x1

x2…xt)=(b1b2…bt)有解<=>Axj=bj

有解，j=1,2,…,t.<=>r(A,bj)=r(A),j=1,2,…,t.<=>r(A,b1b2…bt)=r(A).(思考)第四章n维向量§4.5方程组解的结构二.齐次线性方程组的解的结构

另外,A=A(k)=k(A)=.A=,A=A(+)=A+A=.设ARsn,Ax=的解空间构成Rn的一个子空间：

{Rn|A=}:=K(A)

又称其为矩阵A的核空间(零空间).称K(A)的基为Ax=

的基础解系(fundamentalsetofsolutions).定义第四章n维向量§4.5方程组解的结构Ax=的解集{|A

=}1,2,…,s线性无关Ax=的基础解系

可以由1,2,…,s

线性表示

第四章n维向量§4.5方程组解的结构2.Ax=的一个基础解系1,2,…,s

=

k11+k22+…+kss

任意数Ax=的一般解第四章n维向量§4.5方程组解的结构例1设矩阵A

经过一系列初等行变换可化为10130010-200000求方程组Ax=的基础解系.定理4.14.设ARsn,秩(A)=

r.

(1)

若r=n,则Ax=

没有基础解系;(2)若r<n,则Ax=

有基础解系,且dimK(A)=n–r.x1=c1,r+1xr+1

+c1,r+2xr+2

+…+c1nxn

x2=c2,r+1xr+1

+c2,r+2xr+2

+…+c2nxn

………xr=cr,r+1xr+1

+cr,r+2xr+2

+…+crnxn

第四章n维向量§4.5方程组解的结构求解齐次线性方程组Ax=的基础解系的一般步骤：A初等行变换行阶梯形秩(A)<n?简化阶梯形求得通解只有零解N

初等行变换Y求得基础解系第四章n维向量§4.5方程组解的结构,第四章n维向量§4.5方程组解的结构例2设矩阵A

经初等行变换化为02030110-200010求Ax=的基础解系.(求核空间K(A)

的基.)三.非齐次线性方程组的一般解

1.Ax

=b

的导出组:Ax

=.性质1.设1,2都是Ax

=b的解,则1–2是

Ax

=的解.性质2.是Ax

=b的解,是Ax

=的解,则

+是Ax

=b的解.2.非齐次线性方程组的解向量的性质第四章n维向量§4.5方程组解的结构定理4.15.*——是Ax=b的一个特解1,…,nr——Ax=

的基础解系Ax=

b的通解为x=*+

k11

+…+knrnr

.第四章n维向量§4.5方程组解的结构Ax=b的一般解3.解非齐次线性方程组Amnx=b的一般步骤[Ab]初等行变换行阶梯形秩(A)=秩([Ab])?简化阶梯形求得Ax=b的特解和Ax=的基础解系无解N初等行变换Y求得Ax=b的一般解第四章n维向量§4.5方程组解的结构例3.求方程组的一般解.第四章n维向量§4.5方程组解的结构3211-213-24174118053初等行变换3211-20-10-411100-4309初等行变换00-19/2471/20104-1-11001-3/40-9/4四.在解析几何中的应用

1.两直线的相对位置A1x+B1y+C1z+D1=0A2x+B2y+C2z+D2=0L1:L2:A3x+B3y+C3z+D3=0A4x+B4y+C4z+D4=0记A=A1

B1

C1A2

B2

C2A3

B3

C3A4

B4

C4,D=D1D2D3D4.第四章n维向量§4.5方程组解的结构1.两直线的相对位置[A,D]=A1

B1

C1

D1A2

B2

C2

D2A3

B3

C3

D3A4

B4

C4

D4.重合相交平行异面无穷多解唯一解无解位置关系Ax=D秩无解r(A)=r(A,D)=2r(A)=r(A,D)=3r(A)=2,r(A,D)=3r(A)=3,r(A,D)=4第四章n维向量§4.5方程组解的结构有其它判断方法2.三平面的相对位置1:A1x+B1y+C1z+D1=02:A2x+B2y+C2z+D2=03:A3x+B3y+C3z+D3=0记A=A1

B1

C1A2

B2

C2A3

B3

C3,[A,D]=A1

B1

C1

D1A2

B2

C2

D2A3

B3

C3

D3.D=D1D2D3.第四章n维向量§4.5方程组解的结构重合交于一线交于一点无交点无穷多解位置关系Ax=D秩无解r(A)=r(A,D)=1r(A)=r(A,D)=2r(A)=r(A,D)=3r(A)+1=r(A,D)2.三平面的相对位置[A,D]=A1

B1

C1

D1A2

B2

C2

D2A3

B3

C3

D3.唯一解无穷多解第四章n维向量§4.5方程组解的结构例4

讨论下列三个平面的相对位置.1:x+y+bz=3;2

:2x+(a+1)y+(b+1)z=7;3

:(1-a)y+(2b-1)z=0.其中，a,b是参数.第四章n维向量§4.5方程组解的结构注：一般来说，第一步假定只有一个交点，此时可以得到a,b的一个范围；在剩下的范围内，a,b

是一些具体的取值，我们就可以通过求解对应的具体方程组，来判断解的情况，从而判断平面的位置关系.例5.证明r(ATA)=r(A).证明:设A为mn的矩阵,x为n维列向量.

注意到Ax

=(ATA)x

=

同时，由(ATA)x

=xT(ATA)x

=0(Ax)T(Ax)

=0Ax

=.

故Ax

=与(ATA)x

=

同解,

因此n–r(ATA)=n–r(A).

进而得

r(ATA)=r(A).第四章n维向量§4.5方程组解的结构K(A)=K(ATA)(A可以是一个向量)五.其它应用例6

设A,B分别是s×n,n×t矩阵,证明：若

AB=O,则

r(A)+r(B)

≤n.(即为推论2.8)第四章n维向量§4.5方程组解的结构第四章n维向量§4.6最小二乘解§4.6线性方程组的最小二乘解

(Leastsquaressolution)大东股份公司股票最近十天的收市价如下表所示123456718.519.620.320.519.820.621.5假定天数x与股票价格y

服从三次关系

y=ax3+bx2+cx+d将上述数据代入假定的方程中，得到七个以a,b,c,d为未知数的方程组,其未必有解！xy·······y=ax3+bx2+cx+d第四章n维向量§4.6最小二乘解Ax=b

没有解，即Ax-b=没有解寻求最佳近似解x0，使得：||Ax0–b||=min||Ax–b||x∈Rn即寻找x0使得||

Ax0–b||=min||a–b||a∈R(A)b假定As×n第四章n维向量§4.6最小二乘解第四章n维向量定理4.16假设V是Rs的子空间，b

∈Rs

,

∈V,则||

-b||=min||a

–b

||当且仅当a∈V-b

与V中每个向量都正交.bV§4.6最小二乘解Ax=b

没有解，即Ax-b=没有解寻求最佳近似解x0，使得：||Ax0–b||=min||Ax–b||x∈Rn即寻找x0使得||

Ax0–b||=min||a–b||a∈R(A)bR(A)第四章n维向量§4.6最小二乘解即寻找x0使得||

Ax0–b||=min||a–b||a∈R(A)第四章n维向量§4.6最小二乘解即寻找x0使得

Ax0–b与R(A)中的每个向量都正交R(A)=L(1

2n)定理4.16即寻找x0使得

Ax0–b与1

2n都正交,i.e.,<i

,Ax0–b>=iT(Ax0–b)

=0,i=1,2,…,n.

即寻找x0使得||

Ax0–b||=min||a–b||a∈R(A)第四章n维向量§4.6最小二乘解第四章n维向量ATAx0=ATb.该方程一定有解x0（见习题四(B)42）称其为Ax=b的正规方程，称其解为Ax=b的最小二乘解.§4.6最小二乘解作业习题四(B)30(1),31;32,35;

36--40

上交时间：12月4日（周二）

第5章特征值与特征向量第1节矩阵的特征值与特征向量(eigenvalue,eigenvector)平面上的二次曲线

ax2+2bxy+cy2+dx+ey+f=0的度量性质可以用矩阵

的特征向量来刻画。A=abbc第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量§5.1方阵的特征值和特征向量计算An

如果存在可逆矩阵P使得

A=PDP-1，D是对角阵，则

An=(PDP-1)n=PDP-1PDP-1...PDP-1=PDnP-1第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量P=(p1,p2,…,pn),D=diag(d1,d2,…,dn)A=PDP-1AP=PDA(p1,p2,…,pn)=(p1,p2,…,pn

)d1

d2dn…=(d1p1,d2p2,…,dnpn)Api=dipi,i=1,2,…,n.第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量量子力学中,矩阵代表力学量,矩阵的特征向量代表定态波函数,矩阵的特征植代表力学量的某个可能的观测值.

特征植也可以是动力学中的频率，稳定分析中的极限荷载，甚至应力分析中的主应力.在图像的压缩处理中，用到的奇异值分解与矩阵的特征值紧密相连.

此外，特征值在求解ODE，分析一个系统的稳定性方面起着重要的作用.第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量一.特征值,特征向量的概念注：对于一个特征值，其对应的特征向量

有无穷多个.(

kη)第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量Aη=

η

n阶方阵

非零向量

特征值

特征向量

对应给定一个A，就有一个线性变换xAx，f即f(x)=Ax.

f是Rn到Rn上的线性变换，如果满足f(x+y)=f(x)+f(y)f(kx)=kf(x),k∈R求特征值的目的：线性变换f(η)=数乘变换0η.第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量2.几何意义设A是2×2实矩阵，则

A

可以看作是R2

上的变换.

若存在某个非零向量使得A与平行则就是A的一个特征向量.(=>A=k

),第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量

第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量

2

00

2A=OyxA

只有一些特殊的向量才能使得A与平行:一类是x轴上的向量；另一类是y轴上的向量。这些向量构成了A的所有特征向量.

A

Oxcossin

sincos

A=y只有一些特殊的角才能使得A与平行，所以只有一些特殊的角才能使得A有实的特征值和实的特征向量.第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量

第五章特征值与特征向量§5.1矩阵的特征值与特征向量Aη=

η

(EA)η=0|EA|=0

特征方程

|EA|=

a11

a12…a1n

a21

a22…a2n…………

an1

an2…ann

特征多项式

特征值

特征向量

求特征值和特征向量的一般步骤：求解特征方程|E–A|=0的根0求解(0E–A)x=

的非零解(此时方程组一定有无穷多解，只需求出它的一个基础解系η1,η2

,…,ηs)k1η1+k2η2

+…+ksηs即为A对应于特征值0的特征向量(k12+k22+…+ks2≠0)第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于1=2的特征向量为对于1=2,(2E–A)x=0

即3113|E–A|=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1x2=0x1x2=k

11(0kR).kk(0kR).第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量例1.求A=的特征值和特征向量.解:所以A的特征值为1=2,2=4.解之得A的对应于2=4的特征向量为对于2=4,(4E–A)x=0

即3113|E–A|=–311–3=(–2)(–4).x1+x2=0x1+x2=0x1x2=k

11(0kR).kk(0kR).第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量解:|E–A|=(–2)(–1)2.

所以A的特征值为1=2,2=3=1.

对于1=2,

求得(2E–A)x=0

的基础解系:p1=(0,0,1)T.

对应于1=2的特征向量为kp1(0kR).

对于2=3=1,

求得(E–A)x=0

的基础解系:p2=(–1,–2,1)T.

对应于2=3=1的特征向量为kp2(0kR).例2.求的特征值和特征向量.第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量解:|E–A|=(+1)(–2)2.

所以A的特征值为1=–1,2=3=2.

(–E–A)x=0的基础解系:p1=(1,0,1)T.

对应于1=–1的特征向量为kp1(0kR).

(2E–A)x=0的基础解系:

p2=(0,1,–1)T,p3=(1,0,4)T.

对应于2=3=2的特征向量为k2p2+k3p3

(k2,k3不同时为零).例3.求的特征值和特征向量.第5章特征值与特征向量§5.1特征值与特征向量解:|E–A|=(+6)(–3)2.

例3.求的特征值.第5章特征值