几何与代数：第一章 行列式和线性方程组的求解3

第一章

行列式和线性方程组的求解

第一节

二阶,三阶行列式

第二节

n阶行列式的概念

第三节

行列式的性质

第四节

线性方程组的求解

本次课内容概要含有n个未知元n个方程的方程组：

Cramer

法则含有n个未知元m个方程的方程组：

Gauss

消元法第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

§1.4线性方程组的求解

一.克拉默(Cramer)法则G.Cramer[瑞士](1704.7.31~1752.1.4)

C.Maclaurin[英](1698.2.?~1746.6.14)

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…an1x1+an2x2+…+annxn=bn

当D

0时有唯一解:定理1.3.线性方程组

(i=1,…,n),xi=Di

D

a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………an1

an2…ann,其中D

=

b1

a12…a1nb2

a22…a2n

…………bn

an2…ann,D1

=

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…an1x1+an2x2+…+annxn=bn

当D

0时有唯一解:定理1.3.线性方程组

(i=1,…,n),xi=Di

D

a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………an1

an2…ann,其中D

=

a11

b1…a1na21

b2…a2n

…………an1

bn…ann,D2

=

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…a2nxn=b2

…an1x1+an2x2+…+annxn=bn

当D

0时有唯一解:定理1.3.线性方程组

(i=1,…,n),xi=Di

D

a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………an1

an2…ann,其中D

=

…

a11…a1,n1b1a21…a2,n1b2

…………an1…an,n1bn.Dn

=

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…a2nxn=0

…an1x1+an2x2+…+annxn=0a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………an1

an2…ann=0.D

=

齐次线性方程组推论1.4.若齐次线性方程组

零解

非

有非零解(非零解指的是至少有一个分量xi不为0),则

例.

用Cramer法则求解下述线性方程组

x1+3x2

-2x3

+4x4

=12x1

-x2

+x3+3x4

=0-2x1+3x2+x3+4x4

=-1x1+3x2-x3+2x4

=1第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

例.

根据参数讨论下述线性方程组的解

x

+

y=1x

+

y=1第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

Cramer法则的缺陷不方便求解，因为涉及行列式的计算对于n个未知量，需要n个方程当系数行列式D=0时，如何求解？第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

二.高斯(Gauss)消元法线性方程组的一般形式:a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bs1.相容,不相容,解集合,同解.

x1

+3x2

+2x3

=-1

3x2

-

2x3

=

5

x3=2x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=32.线性方程组的初等变换与Gauss消元法先看一种简单的情形第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

4x1+2x2+2x3

=6

x1

+3x2+2x3

=-1-

x1+2x2

+

3x3=4

1/22x1+x2

+

x3

=3

x1

+3x2+2x3

=-1-

x1+2x2

+

3x3=4

x1

+3x2

+2x3

=-12x1+x2

+

x3

=3-

x1+2x2

+

3x3=4(2)例

解线性方程组

x1

+3x2

+2x3

=-12x1+x2

+

x3

=3-

x1+2x2

+

3x3=4

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5-

x1+2x2

+

3x3=4(2)++

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

5x2

+

5x3=3

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

2x3=8+x1=6/5，x2=-17/5，x3

=4第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

(1)(对换变换)互换两个方程的位置；(2)

(倍乘变换)用一个不等于零的数乘以某个方程；(3)

(倍加变换)将一个方程的某个倍数加到另一个方程。线性方程组的初等变换：(1)反复运用初等变换将原方程组变成阶梯形方程组；(2)用回代的方式求得阶梯形方程组的解。Gauss

消元法：第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

注:可以证明

(1)初等变换不改变线性方程组的解；

(2)任意线性方程组都可经过若干次初等变换化成同解的阶梯形方程组。第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

4x1+2x2+2x3

=6

x1

+3x2+2x3

=-1-

x1+2x2

+

3x3=4

1/22x1+x2

+

x3

=3

x1

+3x2+2x3

=-1-

x1+2x2

+

3x3=4

x1

+3x2

+2x3

=-12x1+x2

+

x3

=3-

x1+2x2

+

3x3=4(2)例

解线性方程组

1/2(2)4

2

2

6132

-1-1

2

342

1

13

132

-1-1

2

3432

-12

1

13

-1

2

34

x1

+3x2

+2x3

=-12x1+x2

+

x3

=3-

x1+2x2

+

3x3=4

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5-

x1+2x2

+

3x3=4(2)+

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

5x2

+

5x3=3+第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

+32

-12

1

13

-1

2

3432

-10

-5

-35

-1

2

3432

-10

-5

-35

0

5

53

(2)++第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

2x3=8x1=6/5，x2=-17/5，x3

=432

-10

-5

-35

0

0

28

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

5x2

+

5x3=3++32

-10

-5

-35

0

5

53第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

1.

sn矩阵

a11

a12…a1na21

a22…a2n

…………as1

as2

…

asn注意矩阵与行列式的区别.对于矩阵An×n,对应的行列式记为det

A

或者|A|.行

列

元素

aij(1i

s,1

j

n)通常，上述矩阵记为

A,As×n,(aij),或

(aij)s×n三.矩阵及其初等行变换第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

3.向量n–维行向量

[a1,a2,…,an]n–维列向量

a1a2…an第i分量

ai(i=1,…,n)n阶方阵:nn矩阵2.方阵

一个11的矩阵就是一个数

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

4.同型:行数相等,列数也相等5.两个矩阵相等205030162016与a

b

c123同型205030162016

与不同型201650203016A=[aij]mn与B=[bij]mn相等:1im,1jn,aij

=bij

记为A=B.大前提:同型

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bs6.——系数矩阵

——增广矩阵

(A,b)=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………as1

as2…asnbsa11

a12…a1na21

a22…a2n

…………as1

as2…asnA=第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

4x1+2x2+

2x3

=6

x1

+3x2+2x3

=-1-

x1+2x2

+

3x3=42232-123——系数矩阵

22632-1-1234——增广矩阵

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

7.矩阵的初等行变换

(1)对换变换:ri

rj,

(2)倍乘变换:ri

k,其中k

0,

(3)倍加变换:ri+krj.第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

8.阶梯形矩阵与简化阶梯形矩阵1100401022000230000411204013220002300000,A是阶梯形矩阵，如果A满足：假如A有零行，则零行全位于A的下方；

A的每个非零行的非零首元必位于上一行的非零首元的右边。注意不是阶梯形矩阵!11004010220202300004第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

4x1+2x2+2x3

=6

x1

+3x2+2x3

=-1-

x1+2x2

+

3x3=4用Gauss消元法求解下述线性方程组例解4

2

2

6132

-1-

1

2

342

1

13

132

-1-1

2

3432

-12

1

13

-1

2

34

r1(1/2)

r2-2r1

r1

r2r3+r132

-10

-5

-35

0

5

5332

-10

-5

-35

0

0

2830

-90

-5

017

0

0

1430

-9

0

1

0-17/5

0

0

14阶梯形

r3+r2

r3(1/2)32

-10

-5

-35

0

0

14

r2+3r3r1-2r3

r2(-1/5)00

6/5

0

1

0-17/5

0

0

14

r1-3r2第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

32

-10

-5

-35

0

5

53x1=6/5，x2=-17/5，x3

=4最简形第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

则称A为简化阶梯形矩阵(或最简形)。如果阶梯阵A还满足如下条件各非零首元全为1,非零行首元所在列的除非零首元其余元素全为0,1

0

201013020001000000例如注:用数学归纳法可以证明:任何一个矩阵都可以经过有限次初等行变换化为简化阶梯形矩阵.例.设有线性方程组请根据a的取值讨论方程组的解的情况，有解时求其解。

2x3

8x4

=6

x1+2x2+x3+x4

=22x1+4x2+2x3+2x4

=a

第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

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解:002

8

6121122422

a(1/2)(2)

001

4

3

121120000

a4

12112001

4

3

0000

a4(1)

120

31001

4

3

0000

a4第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

(1)a=4时,该方程组有无穷多解.此时,x1+2x2

3x4

=1x3+4x4=

3120

31001

4

3

0000

a4x1=2x2+3x4

1x3=4x4+

3x1=2x2+3x4

1,x3=4x2+

3.其中x2

,

x4是自由未知量(2)a4时,该方程组无解.四.阶梯形线性方程组的三种基本类型

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

2x3=8x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

1

例如:x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

0

有唯一解有无数解无解第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

x1

+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

2x3=8有唯一解

(A,b)的非零行数记为r(A,b);~~

A的非零行数记为r(A);~~~~1

32-1

0-5-3

50028=[A,b]其增广矩阵为~~则有r(A,b)=r(A)=3=未知元的个数~~~第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

0

有无数解其增广矩阵为12

1

1

2

0014300000=[A,b]~~则有r(A,b)=r(A)=2<未知元的个数~~~第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

其增广矩阵为12

1

1

2

0014300001=[A,b]~~x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

1

无解则有r(A,b)≠r(A)~~~第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4=

30=0有唯一解有无数解1

32-1

0-5-3

5002812

1

1

2

0014300000解的数目Ax=bAx=b~~[A,b]~~[A,b]r(A)=r(A,b)=3r(A)=r(A,b)<4无解1

2

1

1

20014300001r(A)r(A,b)r(A)+1=r(A,b)~~~~~~~~~~~~

x1+3x2

+2x3

=-1

-5x2

-

3x3

=

5

2x3=8x1+2x2+x3+x4

=2x3+4x4

=3

0

=

1

考察一般的n元方程组a11x1+a12x2+…+a1nxn=b1

a21x1+a22x2+…+a2nxn=b2

…as1x1+as2x2+…+asnxn=bs其增广矩阵经过若干次初等行变换一定可以化成一个（简化）阶梯形矩阵(A,b)。(A,b)=a11

a12…a1nb1a21

a22…a2nb2

……………as1

as2…asnbss<,=,or,>n~~第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

………————————————————………(A,b)

~~(A,b)………………00…01第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

思考：在最后的阶梯形矩阵中,r(A)和r(A,b)的关系如何？（A,b）~~~~~r(A,b）≠r(A)~~~r(A,b）=

r(A)~~~答案:(1)(2)r(A,b）=

r(A)+1

~~~只可能是只可能是r(A,b）=

r(A)<n

~~~r(A,b）=

r(A)=n

~~~第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

矛盾方程出现，方程组无解；方程组有无穷多解方程组有唯一解第一章行列式和线性方程组的求解§1.4线性方程组的求解

特殊情形:(齐次线性方程组有非零解的一个充分条件)定理1.4.当s<n时,齐次线性方程组有非零解,且通解中至少含有ns个自由未知量.a11x1+a12x2+…+a1nxn=0

a21x1+a22x2+…+a2nxn=0

…as1x1+