高等数学：（A）第三章 第4节 函数单调性与曲线的凹凸性_第1页
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文档简介

1一、单调性的判别法2一、单调性的判别法定理3证应用拉氏定理,得45例2解注意:(1)函数的单调性是一个区间上的性质，要用导数在这一区间上的符号来判定，而不能用一点处的导数符号来判别一个区间上的单调性．6（2）函数在整个定义域上不一定是单调的，但在不同的区间上具有单调性，且改变单调性的点只可能是的点及导数不存在的点．7

（3）讨论函数单调性的步骤：

1）确定函数的定义域；

2）求函数导数为零的点及一阶导数不存在的点；

3）这些点将定义域分成若干个小区间，列表讨论。（4）区间内个别点导数为零,不影响区间的单调性.例如,8例3.确定函数的单调区间.解:令得故的单调增区间为的单调减区间为9例4解单调区间为10例5证11证明：因此，单调减少,f(x)单调减少也就是1213问题:如何研究曲线的弯曲方向?图形上任意弧段位于弦的上方图形上任意弧段位于弦的下方141.曲线的凹凸与拐点的定义定义1.设函数

在区间上连续,(1)若恒有则称的图形是凹的;(2)若恒有则称的图形函数图形上凹凸的分界点称为拐点

.是凸的.152、曲线凹凸的判定定理116证:利用一阶泰勒公式可得两式相加17例1.判断曲线的凹凸性.解:当时时故曲线在上是向上凹的.说明(1)在个别二阶导数为0的点,若此点两侧二阶导数不变号,则不改变曲线的凹凸性.18例2解注意到,19例3.求曲线的拐点.解:不存在因此点(0,0)

为曲线的拐点.20说明（2）判别曲线的凹凸性及拐点的方法步骤：（a）求出；（b）求出使的点及不存在的点；（c）检查在这些点左右两边的符号，从而决定曲线的凹凸区间及拐点。21例4.求曲线的凹凸区间及拐点.解:1)求2)求拐点可疑点坐标令得对应3)

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