《函数的最大（小）值与导数、生活中的优化问题举例》强化训练

PAGE12《函数的最大小值与导数、生活中的优化问题举例》强化训练

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1．已知某生产厂家的年利润y单位：万元与年产量单位：万件的函数关系式为y＝－eq\f1,33＋81－234，则使该生产厂家获取最大年利润的年产量为A．13万件 B．11万件C．9万件 D．7万件2．函数f＝e－在区间[－1，1]上的最大值是A．1＋eq\f1,e B．1C．e＋1 D．e－13．若函数f＝－3＋32＋9＋a在区间[－2，－1]上的最大值为2，则它在该区间上的最小值为A．－5 B．7C．10 D．－194．函数y＝eq\f4,2＋1在定义域内A．有最大值2，无最小值B．无最大值，有最小值－2C．有最大值2，最小值－2D．无最值5．设直线＝t与函数f＝2，g＝ln的图象分别交于点M，N，则当|MN|达到最小时t的值为A．1 \f1,2\f\r5,2 \f\r2,26．函数y＝＋2cos在区间eq\b\lc\[\rc\]\a\vs4\al\co10，\fπ,2上的最大值是________．7．若函数f＝3－3－a在区间[0，3]上的最大值、最小值分别为m，n，则m－n＝________．8．要做一个底面为长方形的带盖的箱子，其体积为72dm3，其底面两邻边长度之比为1∶2，则长为________，宽为________，高为________时，可使表面积最小．9．已知a为实数，且函数f＝2－4－a．1求导函数f′；2若f′－1＝0，求函数f在[－2，2]上的最大值、最小值．

10．设函数f＝3－eq\f9,22＋6－a1对于任意实数，f′≥m恒成立，求m的最大值；2若方程f＝0有且仅有一个实根，求a的取值范围．

[1．已知a≤eq\f1－,＋ln对任意∈eq\b\lc\[\rc\]\a\vs4\al\co1\f1,2，2恒成立，则a的最大值为A．0 B．1C．2 D．32．内接于半径为R的球且体积最大的圆锥的高为A．R B．2R\f4,3R \f3,4R3．已知函数f的定义域为[－1，5]，部分对应值如下表：－10245y12021f的导函数y＝f′的图象如图所示．

1f的极小值为________；2若函数y＝f－a有4个零点，则实数a的取值范围为________．4．已知函数f＝e－2＋a有零点，则a的取值范围是________．5．某种产品的成本为6元，每件售价为元>6，年销售量为u万件，且u＝－eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1－\f21,4eq\s\ua＝f1＝e－13解析：选′＝－32＋6＋9＝－3－3＋1．令f′＝0，得＝3或－1∵∈[－2，－1]时，f′<0，∴f在[－2，－1]上递减．∴f－2＝2，即a＋2＝2，a＝0，它的最小值为f－1＝－54解析：′＝eq\f4（2＋1）－4·2,（2＋1）2＝eq\f－42＋4,（2＋1）2＝0，得＝±1

－∞，－1－1－1，111，＋∞y′－0＋0－y↘极小值↗极大值↘由上表可知＝－1时，y取极小值也是最小值－2；＝1时，y取极大值也是最大值25解析：选D由已知条件可得|MN|＝t2－lnt，设ft＝t2－lnt，t>0，则f′t＝2t－eq\f1,t令f′t＝0，可得t＝eq\f\r2,2当0<t<eq\f\r2,2时，f′t<0，当t>eq\f\r2,2时，f′t>0，∴当t＝eq\f\r2,2时，ft可取得最小值feq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f\r2,2，即得当|MN|达到最小时，t＝eq\f\r2,26解析：y′＝1－2sin＝0，＝eq\fπ,6，比较0，eq\fπ,6，eq\fπ,2处的函数值，得yma＝eq\fπ,6＋eq\r3答案：eq\fπ,6＋eq\r37解析：∵f′＝32－3，∴当>1或<－1时，f′>0；当－1<<1时，f′<0∴f在[0，1]上单调递减，在[1，3]上单调递增．∴fmin＝f1＝1－3－a＝－2－a＝n又∵f0＝－a，f3＝18－a，∴f0<f3．∴fma＝f3＝18－a＝m，∴m－n＝18－a－－2－a＝20答案：208解析：设体积为V，底面相邻两边的长度分别为dm，2dm，高为ydm，则V＝22·y，∴y＝eq\f72,22＝eq\f36,2，∴表面积S＝222＋y＋2y＝42＋6y＝42＋eq\f216,∴S′＝8－eq\f216,2，令S′＝0，得＝3∴当长为6dm，宽为3dm，高为4dm时，表面积最小．答案：6dm3dm4dm9解：1f′＝2－4′－a＋2－4－a′＝2－a＋2－4＝32－2a－42由f′－1＝3＋2a－4＝0，得a＝eq\f1,2，代入f′，得f′＝32－－4令f′＝0有＝－1，eq\f4,3于是f－2＝0，f－1＝eq\f9,2，feq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co1\f4,3＝－eq\f50,27，f2＝0比较可知fma＝eq\f9,2，fmin＝－eq\f50,2710解：1f′＝32－9＋6＝3－1－2，由题意可知当∈－∞，＋∞时，f′≥m恒成立，即32－9＋6－m≥0恒成立．所以Δ＝81－126－m≤0，解得m≤－eq\f3,4，即m的最大值为－eq\f3,42因为当<1时，f′>0；当1<<2时，f′<0；当>2时，f′>0，所以当＝1时，f取极大值f1＝eq\f5,2－a；当＝2时，f取极小值f2＝2－a故当f2>0或f1<0时，f＝0仅有一个实根．解得a<2或a>eq\f5,2

[1解析：＝eq\f1－,＋ln，则f′＝eq\f－＋－1,2＋eq\f1,＝eq\f－1,2当∈eq\b\lc\[\rc\\a\vs4\al\co1\f1,2，1时，f′<0，故函数f在eq\b\lc\[\rc\\a\vs4\al\co1\f1,2，1上单调递减；当∈1，2]时，f′>0，故函数f在1，2]上单调递增，∴fmin＝f1＝0，∴a≤0，即a的最大值为02解析：，底面半径为r，则R2＝R－h2＋r2，∴r2＝2Rh－h2∴V＝eq\fπ,3r2h＝eq\fπ,3h2Rh－h2＝eq\f2π,3Rh2－eq\fπ,3h3，V′＝eq\f4π,3Rh－′＝0得h＝eq\f4R,3或h＝0舍去．当0<h<eq\f4R,3时，V′>0；当eq\f4R,3<h<2R时，V′<0因此当h＝eq\f4,3R时，圆锥体积最大．3解析：1由y＝f′的图象可知，

－1，000，222，444，5f′＋0－0＋0－f↗极大值↘极小值↗极大值↘∴f2为f的极小值，f2＝02y＝f的大致图象如图所示：

若函数y＝f－a有4个零点，则a的取值范围为1≤a<2答案：102[1，24解析：函数f＝e－2＋a有零点，即方程e－2＋a＝0有实根，即函数g＝2－e，y＝a有交点，而g′＝2－e，易知函数g＝2－e在－∞，ln2上递增，在ln2，＋∞上递减，因而g＝2－e的值域为－∞，2ln2－2，所以要使函数g＝2－e，y＝a有交点，只需a≤2ln2－2即可．答案：－∞，2ln2－2]5解：1由题意，知当＝10时，u＝28，∴28＝－eq\b\lc\\rc\\a\vs4\al\co110－\f21,4eq\s\ua＝135即当售价为9元时，最大年利润为135万元6解：1函数的定义域为0，＋∞，f′＝1－eq\f1,，f′2＝eq\f1,2，f2＝1－ln2，∴曲线y＝f在点2，f2处的切线方程为y－1－ln2＝eq\f1,2－2，即－2y－2ln2＝02令f′＝0，得＝1，列表如下：0，111，＋∞f′－0＋f↘0↗∴函数f的极小值为03依题意，对∀∈0，＋∞，f≥b－2恒成