中考数学旋转(大题培优 易错 难题)含答案

一、旋转真题与模拟题分类汇编(难题易错题)1．阅读材料：小胖同学发现这样一个规律：两个顶角相等的等腰三角形，如果具有公共的顶角的顶点，并把它们的底角顶点连接起来则形成一组旋转全等的三角形．小胖把具有这个规律的图形称为“手拉手"图形.如图1,在“手拉手"图形中，小胖发现若ZBAC=ZDAE,AB=AC,AD=AE，贝BD=CE.在图1中证明小胖的发现；借助小胖同学总结规律，构造“手拉手”图形来解答下面的问题：如图2,AB=BC,ZABC=ZBDC=60°,求证：AD+CD=BD；如图3,在厶ABC中，AB=AC,ZBAC=m°，点E为氐ABC外一点，点D为BC中点,ZEBC=ZACF,ED丄FD,求ZEAF的度数(用含有m的式子表示).1【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)ZEAF=2m°.【解析】分析：(1)如图1中，欲证明BD=EC，只要证明△DAB竺△EAC即可；如图2中，延长DC到E,使得DB=DE.首先证明△BDE是等边三角形，再证明△ABD竺△CBE即可解决问题；如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG,连接CG、EG、EF、FG,延长ED到1M,使得DM=DE,连接FM、CM.想办法证明△AFE^△AFG，可得ZEAF=ZFAG=-m°.详(1)证明：如图1中,'：ZBAC=ZDAE,ZDAB=ZEAC,在厶DAB和厶EAC中,

'AD=AE<ZDAB=ZEAC,AB=AC△DAB竺△EAC,BD=EC.(2)证明：如图2中，延长DC到E,使得DB=DE.TDB=DE,ZBDC=60°,.△BDE是等边三角形，.ZBD=BE,ZDBE=ZABC=60°,.ZABD=ZCBE,TAB=BC,△ABD竺△CBE,.AD=EC,.BD=DE=DC+CE=DC+AD..AD+CD=BD.(3)如图3中，将AE绕点E逆时针旋转m°得到AG,连接CG、EG、EF、FG,延长ED到M,使得DM=DE,连接FM、CM.由(1)可知AEAB竺△GAC,.Z1=Z2,BE=CG,TBD=DC,ZBDE=ZCDM,DE=DM△EDB竺△MDC,.EM=CM=CG,ZEBC=ZMCD,T乙EBC=ZACF,ZMCD=ZACF,ZFCM=ZACB=ZABC,.Z1=3=Z2,.ZFCG=ZACB=ZMCF,TCF=CF,CG=CM,CFG竺△CFM,.FG=FM,TED=DM,DF丄EM,.FE=FM=FG,TAE=AG,AF=AF,AFE竺△AFG,1ZEAF=ZFAG=—m°2m-点睛：本题考查几何变换综合题、旋转变换、等腰三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识,解题的关键是学会利用“手拉手”图形中的全等三角形解决问题,学会构造“手拉手”模型,解决实际问题,属于中考压轴题．2．（操作发现）（1）如图1,△ABC为等边三角形，先将三角板中的60°角与ZACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于30°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板斜边上取一点F,使CF=CD,线段AB上取点E,使ZDCE=30°，连接AF,EF．求ZEAF的度数；DE与EF相等吗？请说明理由；（类比探究）（2）如图2,△ABC为等腰直角三角形，ZACB=90°，先将三角板的90°角与ZACB重合，再将三角板绕点C按顺时针方向旋转（旋转角大于0°且小于45°），旋转后三角板的一直角边与AB交于点D,在三角板另一直角边上取一点F,使CF=CD，线段AB上取点E,使ZDCE=45°，连接AF,EF.请直接写出探究结果：ZEAF的度数；线段AE,ED,DB之间的数量关系.【解析】试题分析：(1)①由等边三角形的性质得出AC=BC,乙BAC=AB=60°，求出ZACF=ZBCD,证明△ACF^△BCD,得出上CAF=ZB=60°，求出上EAF=ZBAC+ACAF=120°；②证出ZDCE=ZFCE,由SAS证明△DCE里△FCE,得出DE=EF即可；(2)①由等腰直角三角形的性质得出AC=BC，ZBAC=ZB=45°,证出ZACF=ZBCD,由SAS证明△ACF^△BCD,得出ZCAF=ZB=45°,AF=DB，求出ZEAF=ZBAC+ZCAF=90°；②证出ZDCE=ZFCE,由SAS证明△DCE里△FCE,得出DE=EF；在RtAAEF中，由勾股定理得出AE2+AF2=EF2，即可得出结论.试题解析：解：(1)①T△ABC是等边三角形，二AC=BC,ZBAC=ZB=60°.TZDCF=60°,AZACF=ZBCD.在厶ACF和厶BCD中，TAC=BC,ZACF=ZBCD,CF=CD,A△ACF^△BCD(SAS),AZCAF=ZB=60°,AZEAF=ZBAC+ZCAF=120°；②DE=EF.理由如下：TZDCF=60°,ZDCE=30°,AZFCE=60°-30°=30°,AZDCE=ZFCE-在厶DCE和厶FCE中，TCD=CF,ZDCE=ZFCE,CE=CE,A△DCE竺△FCE(SAS),ADE=EF；(2)①T△ABC是等腰直角三角形，ZACB=90°,AAC=BC,ZBAC=ZB=45°.TZDCF=90°,AZACF=ZBCD-在厶ACF和厶BCD中，TAC=BC,ZACF=ZBCD,CF=CD,A△ACF^△BCD(SAS),AZCAF=ZB=45°,AF=DB,AZEAF=ZBAC+ZCAF=90°；②AE2+DB2=DE2，理由如下：TZDCF=90°,ZDCE=45°,AZFCE=90°-45°=45°,AZDCE=ZFCE-在厶DCE和厶FCE中，TCD=CF,ZDCE=ZFCE,CE=CE,A△DCE^△FCE(SAS),ADE=EF.在RtAAEF中，AE2+AF2=EF2，又TAF=DB,AAE2+DB2=DE2.3.已知△ABC是边长为4的等边三角形，边AB在射线0M上，且0A=6,点D是射线0M上的动点，当点D不与点A重合时，将△ACD绕点C逆时针方向旋转60°得到△BCE,连接DE.如图1,猜想：△CDE的形状是三角形.请证明(1)中的猜想

（3）设OD=m，当6<m<10时，△BDE的周长是否存在最小值？若存在，求出△BDE周长的最小值;若不存在，请说明理由．是否存在m的值，使△DEB是直角三角形，若存在，请直接写出m的值；若不存在,请说明理由.【答案】（1）等边；（2）详见解析；（3）①2爲+4；②当m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形．【解析】【分析】（1）由旋转的性质猜想结论；（2）由旋转的性质得到/DCE=60°，DC=EC，即可得到结论；（3）①当6<m<10时，由旋转的性质得到BE=AD，于是得到Jdbe=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,根据等边三角形的性质得到DE=CD，由垂线段最短得到当CD丄AB时，△BDE的周长最小，于是得到结论；②存在，分四种情况讨论：a）当点D与点B重合时，D,B,E不能构成三角形；彷）当0Wm<6时，由旋转的性质得到ZABE=60°,ZBDE<60°,求得/BED=90°，根据等边三角形的性质得到/DEB=60°，求得ZCEB=30°，求得OD=OA-DA=6-4=2=m；c）当6<m<10时，此时不存在；oD当m>10时，由旋转的性质得到ZDBE=60°,求得ZBDE>60°,于是得到m=14.【详解】（1）等边；（2）T#△ACD绕点C逆时针方向旋转60。得到△BCE,•••ZDCE=60°,DC=EC,A△CDE是等边三角形.（3）①存在，当6<t<10时，由旋转的性质得：BE=AD,C=BE+DB+DE=AB+DE=4+DE,由（1）知，△CDE是等边三角形，•DE=CD,△DBEJDbe=CD+4，由垂线段最短可知，当CD丄AB时，△BDE的周长最小，此时，CD=2^3,△BDE的最小周长=CD+4=2+4；②存在，分四种情况讨论：a）T当点D与点B重合时，D,B,E不能构成三角形，•当点D与点B重合时，不符合题意；彷）当0Wm<6时，由旋转可知，ZABE=60°,ZBDE<60°,•ZBED=90°，由（1）可知，

△CDE是等边三角形，•••/DEB=60°,ZCEB=30°.•••ZCEB=ZCDA,•ZCDA=30°.VZCAB=60°,•ZACD=ZADC=30°,•DA=CA=4,•OD=OA-DA=6-4=2,•m=2；CC0DBA图图CC0DBA图图rc）当6VmV10时，由ZDBE=120°〉90°,•此时不存在；d）当m〉10时，由旋转的性质可知，ZDBE=60°,又由（1）知ZCDE=60°,•ZBDE=ZCDE+ZBDC=60°+ZBDC,而ZBDC〉0°,•ZBDE〉60°,•只能ZBDE=90°,从而ZBCD=30°,•BD=BC=4,•OD=14,•m=14.综上所述：当m=2或14时，以D、E、B为顶点的三角形是直角三角形.【点睛】本题考查了旋转的性质,等边三角形的判定和性质,三角形周长的计算,直角三角形的判定,熟练掌握旋转的性质是解题的关键.4.在RtAACB和厶AEF中，ZACB=ZAEF=90°,若点P是BF的中点，连接PC,PE.特殊发现：如图1,若点E、F分别落在边AB,AC上，则结论：PC=PE成立（不要求证明）.问题探究：把图1中的△AEF绕点A顺时针旋转.⑴如图2,若点E落在边CA的延长线上，则上述结论是否成立？若成立，请给予证明；若不成立,请说明理由；（2）如图3,若点F落在边AB上,则上述结论是否仍然成立？若成立,请给予证明；若不成立,请说明理由；AC⑶记=k,当k为何值时，△CPE总是等边三角形？（请直接写出后的值，不必说）BC【答案】（1）PC=PE成立（2）,PC=PE成立（3）当k为3时，CPE总是等边三3

角形【解析】【分析】过点P作PM丄CE于点M,由EF丄AE,BC丄AC,得至I」EFIIMPIICB,从而有EMFP二，再根据点P是BF的中点，可得EM=MC,据此得到PC=PE.MCPB过点F作FD丄AC于点D,过点P作PM丄AC于点M,连接PD,先证△DAF^△EAF,即可得出AD=AE；再证△DAP^△EAP,即可得出PD=PE；最后根据FD丄AC,BC丄AC,PM丄AC,可得FDIIBCIIPM,再根据点P是BF的中点，推得PC=PD,再根据PD=PE,即可得到结论.因为△CPE总是等边三角形，可得ZCEP=60°,ZCAB=60°；由/ACB=90°,求出ACACZCBA=30°；最后根据二k,=tan30°，求出当厶CPE总是等边三角形时，k的值是BCBC多少即可.【详解】解：(1)PC=PE成立，理由如下：如图2,过点P作PM丄CE于点M,TEF丄AE,BC丄AC,二EFIIMPIICB,•••点P是BF的中点，二EM=MC，又•••点P是BF的中点，二EM=MC，又TPM丄CE,二PC=PE；(2)PC=PE成立，理由如下：如图3,过点F作FD丄AC于点D,过点P作PM丄AC于点M,连接PD,VZDAF=ZEAF,ZFDA=ZFEA=90°，在△DAF和厶EAF中，VZDAF=ZEAF，ZFDA=ZFEA，AF=AF，△DAF竺△EAF(AAS),••AD=AE，在△DAP和厶EAP中，AD=AE，ZDAP=ZEAP，AP=AP，△DAP竺△EAP(SAS),.PD=PE，FD丄AC,BC丄AC,PM丄AC,.FDIBCIPM，

.DM_FPT点P是BF的中点，DM=MC,又:PM丄AC,PC=PD,又:PD=PE,.PC=PE；（3）如图4,T△CPE总是等边三角形,.ZCEP=60°,ZCAB=60°,TZACB=90°,ZCBA=90°-ZACB=90°-60°=30°,兰二k,BCAC兰二k,BCACBC=tan30°,k=tan30°=•••当k为斗时，△CPE总是等边三角形.FFIU4【点睛】考点：1．几何变换综合题；2．探究型；3．压轴题；4．三角形综合题；5．全等三角形的判定与性质；6．平行线分线段成比例．5.（10分）已知△ABC和厶ADE是等腰直角三角形，ZACB=ZADE=90°，点F为BE中点,连结DF、CF.

耳ADTAD.EE图3（1耳ADTAD.EE图3（1）如图1,当点D在AB上，点E在AC上，请直接写出此时线段DF、CF的数量关系和位置关系（不用证明）；（2）如图2,在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转45°时，请你判断此时（1）中的结论是否仍然成立，并证明你的判断；（3）如图3，在（1）的条件下将△ADE绕点A顺时针旋转90°时，若AD=1，AC=：",求此时线段CF的长（直接写出结果）.mi【答案】（1）相等和垂直；（2）成立，理由见试题解析；（3）〉.【解析】试题分析：（1）根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半"可知DF=BF，根据ZDFE=2ZDCF，ZBFE=2ZBCF，得到上EFD+ZEFB=2ZDCB=90°,DF丄BF；（2）延长DF交BC于点G,先证明△DEF^△GCF，得到DE=CG，DF=FG，根据AD=DE，AB=BC，得到BD=BG又因为ZABC=90°，所以DF=CF且DF丄BF；（3）延长DF交BA于点H,先证明△DEF^△HBF,得到DE=BH,DF=FH,根据旋转条件可以厶ADH为直角三角形，由△ABC和厶ADE是等腰直角三角形，AC=：_，可以求出AB的值，进而可以根据勾股定理可以求出DH,再求出DF,由DF=BF，求出得CF的值.11试题解析：（1）TZACB=ZADE=90°，点F为BE中点，•.DF」BE,CF=‘BE.二DF=CF.T△ABC和厶ADE是等腰直角三角形，•.ZABC=45°.TBF=DF,ZDBF=ZBDF.TZDFE=ZABE+ZBDF,.ZDFE=2ZDBF.同理得：ZCFE=2ZCBF，.ZEFD+ZEFC=2ZDBF+2ZCBF=2ZABC=90°.DF=CF，且DF丄CF.（2）（1）中的结论仍然成立．证明如下：如图，此时点D落在AC上，延长DF交BC于点G.TZADE=ZACB=90°,.DEIIBC..ZDEF=ZGBF,ZEDF=ZBGF.TF为BE中点，EF=BF..△DEF^△GBF..DE=GB,DF=GF.TAD=DE，.AD=GB.

TAC=BC,•••AC-AD="BC-GB."DC=GC.TZACB=90°,.△DCG是等腰直角三角形.TDF=GF,DF=CF,DF丄CF.(3)如图，延长DF父BA于点H,T△ABC和厶ADE是等腰直角三角形，.AC=BC,AD=DE..ZAED=ZABC=45°.T由旋转可以得出,ZCAE=ZBAD=90°,TAEIIBC,•••ZAEB=ZCBE..ZDEF=ZHBF.TF是BE的中点，•••EF="BF.".△DEF竺△HBF..ED=HB.TAC=\'l,在RtAABC中，由勾股定理，得AB=4.TAD=1,.ED=BH=1..AH=3.在RtAHAD中，由勾股定理，得DH=£?,DF=「,.CF=二..线段CF的长为：.考点：1.等腰直角三角形的性质；2.全等三角形的判定和性质；3.勾股定理.6.在厶ABC中，AB=AC,ZA=3Oo，将线段BC绕点B逆时针旋转6Oo得到线段BD,再将线段BD平移到EF,使点E在AB上，点F在AC上.如图1,直接写出/ABD和/CFE的度数；在图1中证明：AE=CF；如图2,连接CE,判断△CEF的形状并加以证明.Z1二2【答案】(1)15。，45。；(2)证明见解析；(3)△CEF是等腰直角三角形，证明见解析.【解析】试题分析：(1)根据等腰三角形的性质得到ZABC的度数，由旋转的性质得到ZDBC的度数，从而得到/ABD的度数；根据三角形外角性质即可求得ZCFE的度数.连接CD、DF，证明△BCD是等边三角形，得到CD=BD，由平移的性质得到四边形BDFE是平行四边形，从而ABIIFD,证明△AEF^△FCD即可得AE=CF.过点E作EG丄CF于G,根据含30度直角三角形的性质，垂直平分线的判定和性质即可证明△CEF是等腰直角三角形.T在厶ABC中，AB=AC，ZA=3Oo,二ZABC=75o.T将线段BC绕点B逆时针旋转6Oo得到线段BD,即ZDBC=6Oo.J.ZABD=15°.ZCFE=ZA+ZABD=45°.如图，连接CD、DF.T线段BC绕点B逆时针旋转60得到线段BD,.BD=BC,ZCBD=60°.△BCD是等边三角形..cd=bd.线段BD平移至I」EF,.EFIIBD,EF=BD..四边形BDFE是平行四边形，EF=CD.TAB=AC,ZA=3Oo,ZABC=ZACB=75o..ZABD=ZACD=15°.•••四边形BDFE是平行四边形，二ABIIFD..ZA=ZCFD.△AEF竺△FCD(AAS).AE=CF.

(3)△CEF是等腰直角三角形，证明如下：如图，过点E作EG丄CF于G,TZCFE=45°,•••ZFEG=45°.二EG=FG.EG-^AETZA=3Oo,zAGE=90°,•••■-.1EG=_CFfG——CF•-AE=CF,•••'_'■厂.•••’_'■「.•••G为CF的中点.•••EG为CF的垂直平分线.EF=EC.ZCEF=ZFEG=90°．△CEF是等腰直角三角形．考点：1.旋转和平移问题；2．等腰三角形的性质；3．三角形外角性质；4．等边三角形的判定和性质；5.平行四边形的判定和性质；6.全等三角形的判定和性质；7．含30度直角三角形的性质；8．垂直平分线的判定和性质；9．等腰直角三角形的判定.7．(1)问题发现如图1*ACB和厶DCE均为等腰直角三角形,ZACB=90°,B,C,D在一条直线上.填空:线段AD,BE之间的关系为.(2)拓展探究如图2血ACB和厶DCE均为等腰直角三角形,ZACB=ZDCE=90°,请判断AD,BE的关系，并说明理由.(3)解决问题如图3,线段PA=3,点B是线段PA外一点,PB=5，连接AB,将AB绕点A逆时针旋转90°得到线段AC,随着点B的位置的变化，直接写出PC的范围.【答案】⑴AD=BE,AD丄BE.(2)AD=BE,AD丄BE.⑶5-3^2<PC<5+^-2.【解析】【分析】根据等腰三角形性质证厶ACD竺△BCE(SAS)，得AD=BE,ZEBC=ZCAD，延长BE交AD于点F,由垂直定义得AD丄BE.根据等腰三角形性质证厶ACD竺△BCE(SAS),AD=BE,ZCAD=ZCBE，由垂直定义得ZOHB=90°,AD丄BE；作AE丄AP,使得AE=PA,则易证△APE^△ACP,PC=BE，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE；当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE，故5-3j2<BE<5+3空2.【详解】(1)结论：AD=BE,AD丄BE.理由：如图1中，T△ACB与厶DCE均为等腰直角三角形,AC=BC,CE=CD,ZACB=ZACD=90°，在RtAACD和RtABCE中'AC=BC<ZACD=ZBCECD=CE.△ACD竺△BCE(SAS),.AD=BE,ZEBC=ZCAD延长BE交AD于点F,TBC丄AD,.ZEBC+ZCEB=90°,TZCEB=AEF,.ZEAD+ZAEF=90°,:.乙AFE=90°，即AD丄BE.AD=BE,AD丄BE.故答案为AD=BE,AD丄BE.(2)结论：AD=BE,AD丄BE.理由：如图2中，设AD交BE于H,AD交BC于0.•••△ACB与厶DCE均为等腰直角三角形,AC=BC,CE=CD,ZACB=ZECD=90°,..ACD=ZBCE,在RtAACD和RtABCE中'AC=BC<ZACD=ZBCE,CD=CE.△ACD竺△BCE(SAS),.AD=BE，ZCAD=ZCBE，TZCAO+ZAOC=90°,ZAOC=ZBOH,.ZB0H+Z0BH=90°，.ZOHB=90°，AD丄BE,AD=BE,AD丄BE.(3)如图3中，作AE丄AP，使得AE=PA,则易证△APE竺△ACP,.PC=BE，图3-1中，当P、E、B共线时，BE最小，最小值=PB-PE=5-3f2,5*5*图3-2中，当P、E、B共线时，BE最大，最大值=PB+PE=5+3叮2,・・・5-3J2WBEW5+3t2,即5-3J2WPCW5+3J2.APB@3-1CE/rC團3APB@3-1CE/rC團3点睛】本题是几何变换综合题，考查了旋转的性质、等腰直角三角形的性质、全等三角形的判定和性质等知识，解题的关键是正确寻找三角形全等的条件，学会添加辅助线，构造全等三角形解决问题，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．8小明合作学习小组在探究旋转、平移变换.如图△ABC,△DEF均为等腰直角三角形，各顶点坐标分别为A（1，1），B（2，2），C（2，1），D（、込，0），E（2、迂，0）,F（空，一竺）•22（1）他们将△ABC绕C点按顺时针方向旋转450得到△A]B]C.请你写出点A】，B】的坐标，并判断A£和DF的位置关系；（2）他们将△ABC绕原点按顺时针方向旋转450,发现旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=2^2x2+bx+c上.请你求出符合条件的抛物线解析式；（3）他们继续探究，发现将厶ABC绕某个点旋转45,若旋转后的三角形恰好有两个顶点落在抛物线y=x2上，则可求出旋转后三角形的直角顶点P的坐标.请你直接写出点P的所有坐标.所有坐标.2、迂xC'2)+、丢+c=0【答案】解：（1）{（3近丫3馱迈.2\12x+b+c=22I丿A1C和DF的位置关系是平行．（2）T△ABC绕原点按顺时针方向旋转45°后的三角形即为厶DEF，2迈xQj）+近b+C=0•••①当抛物线经过点D、E时，根据题意可得：{-（\_，解得2迈x+2岳+C=0b=—12{c=&迈*•••y=241x2—12x+8巨.②当抛物线经过点D、②当抛物线经过点D、F时，根据题意可得:解得b=—11{c=7J2二y=2\，；2x2—llx+7\：'2.2、辽x（2<2）+2y2b+c=0③当抛物线经过点E、F时，根据题意