中考数学 圆与相似 综合题含答案

中考数学圆与相似综合题含答案一、相似1.如图，在△ABC中，点N为AC边的任意一点，D为线段AB上一点，若/MPN的顶点P为线段CD上任一点，其两边分别与边BC，AC交于点M、N,且/MPN+ZACB=180°.图1囹2郎如图1,若AC=BC，ZACB=90°，且D为AB的中点时，求：，请证明你的结论;如图2,若BC=m，AC=n，ZACB=90°，且D为AB的中点时，则川=；Bb用如图3,若■=k，BC=m，AC=n，请直接写出：的值.(用k，m，n表示)【答案】(1)解：如图1中，作PG丄AC于G，PH丄BC于H,TAC=BC,ZACB=90°，且D为AB的中点,••CD平分ZACB,TPG丄AC于G,PH丄BC于H,PG=PH，TZPGC=ZPHC=ZGCH=90°，ZGPH=ZMPN=90°，ZMPH=ZNPG，TZPHM=ZPGN=90°，△PHM-△PGN,PM_Ph"：■<=1(3)解：如图3中，作PG丄AC于G,PH丄BC于H,DT丄AC于T,DK丄BC于K,易证△PMH-△PGN,PM_PhT一三-AC-DTS_j..JBL-BC*DK•:,DK_kn■-.,TDTIIPG,DKIIPH,PHCP_二_二_•••',.■',PH_DK_kn朋_kn【解析】【解答】解：（2）如图2中，作PG丄AC于G,PH丄BC于H,ZPGC=ZPHC=ZGCH=90°,•ZGPH=ZMPN=90°,.ZMPH=ZNPG，TZPHM=ZPGN=90°△PHM-△PGN,PM_Ph1一三T△PHC-△ACB,PG=HC,PM_PH_PH_AC_!>【分析】(1)作PG丄AC于G,PH丄BC于H,根据已知条件可证△PHM和厶PGN的两角对应相等，进而可得△PHM-△PGN,由相似三角形的对应边成比例即可求出。(2)作PG丄AC于G，PH丄BC于H,由两角对应相等，可得△PHM-△PGN，由相似三角形的对应母Ph边成比例可得：=，由两角对应相等，可得△PHC-△ACB，又PG=HC，相似三角形的对应边成比例及等量代换即可求出。(3)作PG丄AC于G，PH丄BC于H,DT丄AC于T，DK丄BC于K，由两角对应相等，△PHM-△PGN，由相似三角形的对应边成比例可得用PhDK:=「，由△ACD和ABCD的面积比及已知条件可得'•，再由垂直于同一条直线的两PhCPP(r条直线平行可得DTIIPG，DKIIPH，根据平行线分线段成比例定理可得'上■，-，再根据比例的基本性质即可求出：的值。2.如图，已知抛物线y=-x2+bx+c交y轴于点A(0,4)，交x轴于点B(4,0)，点P是抛物线上一动点，过点P作x轴的垂线PQ,过点A作AQ丄PQ于点Q,连接AP.填空：抛物线的解析式为，点C的坐标；点P在抛物线上运动，若△AQP-△AOC,求点P的坐标.【答案】(1)y=-x2+3x+4；(—1,0)0C1———TOC\o"1-5"\h\z(2)解：T点A的坐标为(0,4),点C的坐标为(一1,0),A'.T点P的横坐标为m,aP(m,-m2+3m+4).①当点P在直线AQ下方时，QP=4—(-m2+3m+4)=m2—3m,QF0Cn?-3m1—————由厶AQP-△AOC得：「：，即：^,A二:(舍去)或■'.

IS当时,TOC\o"1-5"\h\z51135/IS当时,-m2+3m+4=「，此时点P的坐标为(■;)；②当点P在直线AQ上方时，PQ=-m2+3m+4—4=-m2+3m,QPOC--af如图③，2开纸如图③，2开纸BCIH和4开纸AMNH的对角线分别是HC、HM.说明HC丄HM.将图①中的2开纸、4开纸、8开纸和16开纸按如图④所示的方式摆放，依次连接点A、B、M、I,则四边形ABMI的面积是.(用含a的代数式表示，直接写出结果)—————由厶AQP-△AOC得：「：，即：^,11•••'：=11•••'：=0（舍去）或…1=,7.751117b厂必7.751117b厂必)或(厂)【解析】【解答】解：B(4,0),『c=4(1)v抛物线y=-x2+bx+c交y轴于点A(0,4),交X轴于点b=：§综上所述：点P的坐标为-丁a：八，解得：'•：=£：,•抛物线的解析式为：y=-X2+3X+4.令y=0,得：-x2+3x+4=0,解得：x=4或x=—1，•点C的坐标为(一1，0).【分析】(1)根据题意，将A,B两点的坐标代入到解析式中，分别求出b，c,可以求出抛物线的解析式；C为X轴上的交点，令y=0,通过解一元二次方程，解得C点坐标。3.书籍开本有数学开本指书刊幅面的规格大小•如图①，将一张矩形印刷用纸对折后可以得到2开纸，再对折得到4开纸，以此类推可以得到8开纸、16开纸……若这张矩形印刷用纸的短边长为a.(1)如图②，若将这张矩形印刷用纸ABCD(ABBC)进行折叠，使得BC与AB重合，点C落在点F处，得到折痕BE；展开后，再次折叠该纸，使点A落在E处，此时折痕恰好经AB过点B,得到折痕BG,求的值.

【答案】(1)解：•・•四边形ABCD是矩形,/.ZABCZC90°••第一次折叠使点C落在AB上的F处，并使折痕经过点B,・・・ZCBE二ZFBE二45°/.ZCBEZCEB45°ABC=CE二aBE二丫寿.••第二次折叠纸片，使点A落在E处，得到折痕BG,(2)解：根据题意和(1)中的结论购_AH\jAL:，有AH••四边形(2)解：根据题意和(1)中的结论购_AH\jAL:，有AH••四边形ABCD是矩形,AZAZB90°.••△MAHs^HBC，AZAHMzbch.•ZBCHZBHC90°AZAHMZBHC二90°AZMHC90°AHC丄HM.32F帧开开D日G(3)F帧开开D日G(3)如图④，1xJ1af=ig=lani=mp=总aop=却a解析】【解答】解：根据题意知（I）中的结论，有BC=AD=■■a又VZC=ZADE=90°,ZBEC=ZAED,ABCE竺AADE,•••SABCE=S△ADE'S△INQ•••SABCE=S△ADE'S△INQ=S△MPQ•四边形ABMI的面积=S矩形ADOF+S矩形IGON+S梯形BMPC【分析】(1)利用矩形的性质及第一次折叠使点C落在AB上的F处,可得出ZCBE=ZFBE=ZCEB=45°，可得出CE=BC，利用勾股定理可用含a的代数式求出BE的长,再根据第二次折叠纸片，使点A落在E处，得到折痕BG，可用含a的代数式表示出AB的长，然后求出AB与BC的比值。(2)利用(1)的结论，可用含a的代数式表示出AH、BH、AM的长，就可求出AMAh二爾疏,利用矩形的性质可得出ZA=ZB，再根据相似三角形的性质，证明△MAH-△HBC，利用相似三角形的性质，去证明ZAHM+ZBHC=90°，然后利用垂直的定义可解答。4.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=ax2+(a+3)x+3(aVO)从左到右依次交x轴于A、B两点，交y轴于点C.(3)利用已知条件证明ABCE竺AADE,可证得sAbce=4.在平面直角坐标系中，0为坐标原点，抛物线y=ax2+(a+3)x+3(aVO)从左到右依次交x轴于A、B两点，交y轴于点C.圉L圉2求点A、C的坐标；如图1,点D在第一象限抛物线上，AD交y轴于点E,当DE=3AE，OB=4CE时，求a的值；如图2,在(2)的条件下，点P在C、D之间的抛物线上，连接PC、PD,点Q在点B、D之间的抛物线上，QFIIPC,交x轴于点F,连接CF、CB,当PC=PD,ZCFQ=2ZABC，求BQ的长.【答案】(1)解：当x=0时，y=3,•••C(0,3).当y=0时，ax2+(a+3)x+3=0，(ax+3)(x+1)=0,解得X]=-,x2=-1.vaVO,->0,A(-1,0)(2)解：如图1,过点D作DM丄AB于M.图1vOEIIDM,OM_DE_土i,.OM=3,.D点纵坐标为12a+12.OE_DM_12a+12vtanzEAO=：；.：■'=3a+3,.OE=3a+3，.CE=OC-OE=3-(3a+3)=-3a.vOB=4CE，.j••--■■=-12a,vaV0，(3)解：如图2,过点D作DT丄y轴于点T,过点P作PG丄y轴于点G,连接TP.1为•••抛物线的解析式为y=-■X2+•x+3,D(3,6),DT=3,0T=6,CT=3=DT,又:PC=PD,PT=PT,△TCP竺△TDP,ZCTP=ZDTP=45°,TG=PG.b设P(t,--t2+-t+3),JN0G=--上2+-t+3,PG=t,1.51.5TG=0T-0G=6-(_.t2+-t+3)=-t2-匚t+3,1d-t2-t+3=t，解得t=1或6,•••点P在C、D之间，•t=1.过点F作FKIIy轴交BC于点K,过点Q作QN丄x轴于点N，则ZKFC=ZOCF,ZKFB=ZC0N=90°.•••FQIIPC,ZPCF+ZCFQ=180°，ZPCF+ZPCG+Z0CF=180°，ZCFQ=ZPCG+Z0CF，ZCFK+ZKFQ=ZPCG+Z0CF，ZKFQ=ZPCG.•••P(1,5),•PG=1,CG=OG-OC=5-3=2,PG_1tanZPCG=,

OC31二二■vtanZABC=「...ZPCG=ZABC,.•.ZKFQ=ZABC.vZCFQ=2ZABC.ZCFQ=2ZKFQ，.ZKFQ=ZKFC=ZOCF=ZABC，QFOFtanZQFOFtanZOCF=—rnr•■-'ABCOF=.设FN=m，则QN=2m,Q(m+-,2m),vQ在抛物线上，1.j3.3-.(m+.)2+•x(m+-)+3=2m,.■5石解得m=•或m=-•(舍去)，.Q(4,5),vB(6，0)，.BQ=V'.BQ=V':---【解析】【分析】(1)令x=0,求出y的值，得到C点坐标；令y=0,求出x的值，根据aVO得出A点坐标；(2)如图1,过点D作DM丄AB于M.根据平行线分线段成比例定理求出OM=3，得到D点纵坐标为12a+12.再求出OE=3a+3，那么CE=OC-OE=-3a.根据■J1OB=4CE,得出-=-12a,解方程求出a=--；(3)如图2,过点D作DT丄y轴于点T,过点P作PG丄y轴于点G,连接TP.利用SSS证明△TCP^△TDP，得出ZCTP=ZDTP=45°,那么1“1“TG=PG.设P(t,-■t2+-t+3)，列出方程•t2--t+3=t,解方程求得t=1或6,根据点P在C、D之间，得到t=1.过点F作FKIIy轴交BC于点K,过点Q作QN丄x轴于点N,根据平行线的性质以及已知条件得出ZKFQ=ZPCG，进而证明ZKFQ=ZKFC=ZOCF=ZABC，由OF1JJtanZOCF='=tanZABC=•，求出OF=-.设FN=m，贝VQN=2m,Q(m+-,2m),根据1.j.5.'jQ在抛物线上列出方程--(m+■)2+■x(m+-)+3=2m，解方程求出满足条件的m的值，得到Q点坐标，然后根据两点间的距离公式求出BQ.5.如果三角形的两个内角与满足=90°,那么我们称这样的三角形为"准互余三角形”.

ACBCD團②图ACBCD團②图0)若厶ABC是"准互余三角形”，ZC>90°,ZA=60°,则/B=°；如图①，在RtAABC中，ZACB=90°,AC=4,BC=5,若AD是ZBAC的平分线，不难证明△ABD是“准互余三角形”.试问在边BC上是否存在点E(异于点D),使得△ABE也是"准互余三角形”？若存在，请求出BE的长；若不存在，请说明理由.如图②，在四边形ABCD中,AB=7,CD=12,BD丄CD,ZABD=2ZBCD，且△ABC是"准互余三角形”.求对角线AC的长.【答案】(1)15°(2)解：存在,如图①，连结AE,在RtAABC中，ZB+ZBAC=90°,TAD是ZBAC的平分线，.ZBAC=2ZBAD，.ZB+2ZBAD=90°，.△ABD是“准互余三角形”，又:△ABE也是"准互余三角形”,.ZB+2ZBAE=90°，TZB+ZBAE+ZEAC=90°，.ZEAC=ZB,又:ZC=ZC,△CAE-△CBA,CA_CL即CA2=CB・CE,•••AC=4,BC=5,

16CE=■.169BE=BC-CE=5-■=(3)解：如图②,将厶BCD沿BC翻折得到厶BCF,TCD=12,CF=CD=12,ZBCF=ZBCD,/CBD=ZCBF,又:BD丄CD,ZABD=2ZBCD,.ZCBD+ZBCD=90°,.2ZCBD+2ZBCD=180°,即ZABD+ZCBD+ZCBF=180°,.A、B、F三点共线,在RtAAFC中，.ZCAB+ZACF=90°,即ZCAB+ZACB+ZBCF=90°,ZCAB+2ZACBH90°,T△ABC是“准互余三角形”,.2ZCAB+ZACB=90°,.ZCAB=ZBCF,TZF=ZF,.△FCB-△FAC,FC_Fb.d"：■',即FC2=FA・FB,设BF=x,TAB=7,.FA=x+7,.x（x+7）=122,解得：X]=9,x2=-16（舍去）.AF=7+9=16.在RtAAFC中,

•••心；.「..-=20.【解析】【解答】(1)解:•:△ABC是“准互余三角形”，ZC>90°,ZA=60°,2ZB+ZA=90°,2ZB+60°=90°，ZB=15°.故答案为：15°【分析】(1)根据“准互余三角形"，的定义，结合题意得2ZB+ZA=90°，代入数值即可求出ZB度数.存在，根据直角三角形两内角互余和角平分线定义得ZB+2ZBAD=90°,根据"准互余三角形”，定义即可得△ABD是“准互余三角形”；根据△ABE是“准互余三角形”，以及直角三角形两内角互余可得ZEAC=ZB,根据相似三角形判定"AA”可得厶CAE-△CBA，再由相似CA_CE16三角形性质得’'-，由此求出CE=•从而得BE长.如图②，将△BCD沿BC翻折得到厶BCF,根据翻折性质、直角三角形性质、"准互余三FCFB角形"定义可得到△FCB-△FAC，再由相似三角形性质可得.■，设BF=x,代入数值即可求出x值，从而求出AF值，在RtAAFC中，根据勾股定理即可求得AC长.6.如图1,在厶ABC中，点DE分另II在AB、AC上,DEIIBC，BD=CE，(1)求证：ZB=ZC，AD=AE；(2)若ZBAC=90°,把厶ADE绕点A逆时针旋转到图2的位置，点M,P,N分别为DE,DC,BC的中点，连接MN,PM,PN.①判断△PMN的形状，并说明理由；②把厶ADE绕点A在平面内自由旋转，若AD=4,AB=10，请直接写出△PMN的最大面积为BDCb二【答案】(1)证明：TDEIIBC,•••「’-,TBD=CE,•AB=AC,•ZB=ZC,AB-BD=AC-CD,•AD=AE,即：ZB=ZC,AD=AE(2)解：△PMN是等腰直角三角形，理由：T点P,M分别是CD,DE的中点，PM=.CE,PMICE,T点N,M分别是BC,DE的中点，PN=.BD,PNIIBD,

TBD=CE,PM=PN,△PMN是等腰三角形，TPMIICE,ZDPM=ZDCE,TPNIIBD,ZPNC=ZDBC,TZDPN=ZDCB+ZPNC=ZDCB+ZDBC,.ZMPN=ZDPM+ZDPN=ZDCE+ZDCB+ZDBC=ZBCE+ZDBC=ZACB+ZACE+ZDBC=ZACB+ZABD+ZDBC=ZACB+ZABC,TZBAC=90°,.ZACB+ZABC=90°,.ZMPN=90°,.△PMN是等腰直角三角形49；1【解析】【解答】解：②由①知，△PMN是等腰直角三角形，PM=PN=BD,.PM最大时，△PMN面积最大，.••点D在AB的延长线上，.BD=AB+AD=14,.PM=7,.S^PMN最大1149=-PM2=-x72=-.【分析】(1)根据平行线分线段成比例定理及BD=CE可得AB=AC，进而可得AD=AE，由等边11对等角可得ZB=ZC.(2)①由中位线定理可得PM=CE,PM//CE,PN=BD,PN//BD,由BD=CE可得PN=PM.由两直线平行同位角相等可得ZDPM=ZDCE,ZPNC=ZDBC,利用三角形的外角的性质和等量代换可得ZMPN=ZABC+ZACB=ZBAC=90°,所以△PMN是等腰直角三角形。②当PN最大时，△PMN的面积最大，当点D在AB的延长线上时，PN最大，1PN=BD=7，根据三角形的面积计算公式可得结论。CDIIAB交OO于D,DBD与AC相父于点P,过点P作PQIIAB父于CDIIAB交OO于D,DBD与AC相父于点P,过点P作PQIIAB父于Q,设ZA的度数为a.如图1,求ZCOB的度数(用含a的式子表示)；如图2,若ZABC=90°时，AB=8，求阴影部分面积(用含a的式子表示)；AB'CD如图1,当PQ=2,求—的值.【答案】(1)解：tzA的度数为a,..ZCOB=2ZA=2a

解：当ZABC=90°时，AC为OO的直径，TCDIIAB,ZDCB=180°-90°=90,••BD为OO的直径，.P与圆心O重合，TPQIAB交于Q，OQ丄BC,.CQ=BQ，TAB=8，OQ=.AB=4,设OO的半径为r,•••△OBC的周长为16,CQ=8-r,(8-r)2+42=r2,解得r=5,CB=6,J；?jtXy2aX6X4=•阴影部分面积=■■-(3)解：TCDIABIPQ,•△BPQ-△BDC,△CPQ-△CAB,PQ_CQPQ_BC-,PQPQCQBQ€B—+—-——-—-/TPQ=2,,<■—"=2【解析】【分析】（1）根据圆周角定理可得ZCOB=2ZA=2a；（2）当/ABC=90°时，可得点P与圆心O重合，根据△OBC的周长为16以及AB=8,可求得OO的半径为5,可得出扇形COB的面积以及△OBC的面积，进而得出阴影部分面积；（3）由CDIIABIIPQ,PQCQPQBC二—_二可得△BPQ-△BDC,△CPQ-△CAB，即，「’；’'两式子相加可得2ABPCD朋■伽八,即可得出招亠乩的值.

8已知，如图，矩形ABCD中，AD=2,AB=3，点E,F分别在边AB,BC上，且BF=求qDEFG对角线DF的长；求qDEFG周长的最小值；当qDEFG为矩形时，连接BG,交EF，CD于点P，Q,求BP：QG的值.答案】(1)解：如图1所示：连接DF，•••四边形ABCD是矩形，ZC=90°,AD=BC,AB=DC,TBF=FC,AD=2；FC=1,AB=3；DC=3,在RtADCF中，由勾股定理得,故PEFG对角线DF的长2)解：如图2所示：作点F关直线AB的对称点M,连接DM交AB于点N,连接NF,ME,点E在AB上是一个动点，当点E不与点N重合时点M、E、D可构成一个三角形ME+DE>MD,当点E与点N重合时点M、E(N)、D在同一条直线上,ME+DE=MD由①和②DE+EF的值最小时就是点E与点N重合时，TMB=BF,MB=1,.MC=3,又TDC=3,.△MCD是等腰直角三角形，.MD=Jk厂\；\,.NF+DF=MD=2“J,.1DEFg=2(NF+DF)=4-DEFG解：①当AE=1,BE=2时，过点B作BH丄EF,如图3(甲)所示：图3(甲)TPEFG为矩形，ZA=ZABF=90°,又TBF=1,AD=2,.在厶ADE和厶BEF中有，AD二BES-AE：；AL=li?,△ADE竺△BEF中（SAS）,.DE=EF,.矩形DEFG是正方形；在RtAEBF中，由勾股定理得:］止・EF*X1BH'又T△BEF〜△FHB,inv.v.•.吃r.i-

在厶BPH和厶GPF中有：,4旳-山Fl：5圧TFT,△BPH-△GPF(AA),-一-.'JX又:-一-.'JX又:EP+PF=EF,又又:ABIIBC,EFIIDG,ZEBP=ZDQG,ZEPB=ZDGQ,.△EBP.△EBP-△DQG(AA),②当AE=2,BE=1时，过点G作GH丄DC,如图3（乙）所示：ABFBF图班乙)TDEFG为矩形，ZA=ZEBF=90°,TAD=AE=2,BE=BF=1,.在RtAADE和RtAEFB中，由勾股定理得:ZADEZADE=45°,又:四边形DEFG是矩形，EF=DG,ZEDG=90°,.DG=』：，ZHDG=45°,.△DHG是等腰直角三角形DH=HG=1,在厶HGQ和厶BCQ中有，

1啊-^BCQ△HGQ-△BCQ(AA),加lfQ1二■.〕'E应•••HC=HQ+CQ=2,.HQ=,又:DQ=DH+HQ,2.'J.°.DQ^—1+-,TABIIDC,EFIIDG,.•.乙EBP=ZDQG,乙EPB=ZDGQ,△EBP-△DQG(AA),图岁〔乙）图岁〔乙）BP沖.)—二_QGDQ5bJ综合所述，BP：QG的值为或.【解析】【分析】（1）-DEFG对角线DF的长就是RtADCF的斜边的长，由勾股定理求解；（2）-DEFG周长的最小值就是求邻边2（DE+EF）最小值，DE+EF的最小值就是以AB为对称轴，作点F的对称点M,连接DM交AB于点N,点E与N点重合时即DE+EF=DM时有最小值，在RtADMC中由勾股定理求DM的长；（3）-DEFG为矩形时有两种情况，一是一般矩形，二是正方形，分类用全等三角形判定与性质，等腰直角三角形判定与性质，三角形相似的判定与性质和勾股定理求解.二、圆的综合9.如图，OO的半径为6cm，经过OO上一点C作OO的切线交半径OA的延长于点B,作/ACO的平分线交OO于点D,交OA于点F,延长DA交BC于点E.（1）求证：ACIOD；（2）如果DE丄BC，求AC的长度.【答案】（1）证明见解析；（2）2n.【解析】试题分析：（1）由OC=OD,CD平分ZACO,易证得ZACD=ZODC,即可证得ACIIOD；（2）BC切OO于点C，DE丄BC,易证得平行四边形ADOC是菱形，继而可证得AAOC是等边三角形，则可得：ZAOC=60°,继而求得弧AC的长度.试题解析：（1）证明:OC=OD，•••ZOCD=ZODC.VCD平分ZACO,...ZOCD=ZACD,•ZACD=ZODC,•ACIOD；（2）VBC切OO于点C,•BC±OC.VDE±BC,•OCIDE.VACIOD,•四边形ADOC是平行四边形.VOC=OD,•平行四边形ADOC是菱形，•OC=AC=OA,•△AOC是等边三60兀x6角形,.ZAOC=60°,•弧AC的长度==2n.180点睛：本题考查了切线的性质、等腰三角形的判定与性质、菱形的判定与性质以及弧长公式.此题难度适中，注意掌握数形结合思想的应用.10.（类比概念）三角形的内切圆是以三个内角的平分线的交点为圆心，以这点到三边的距离为半径的圆，则三角形可以称为圆的外切三角形，可以得出三角形的三边与该圆相切.以此类推，如图1，各边都和圆相切的四边形称为圆外切四边形（性质探究）如图1,试探究圆外切四边形的ABCD两组对边AB,CD与BC,AD之间的数量关系猜想结论：（要求用文字语言叙述）写出证明过程（利用图1,写出已知、求证、证明）（性质应用）初中学过的下列四边形中哪些是圆外切四边形（填序号）A：平行四边形：B：菱形：C：矩形；D：正方形如图2,圆外切四边形ABCD，且AB=12,CD=8，则四边形的周长.圆外切四边形的周长为48cm，相邻的三条边的比为5：4：7,求四边形各边的长.【答案】见解析.【解析】【分析】根据切线长定理即可得出结论；①圆外切四边形是内心到四边的距离相等，即可得出结论；根据圆外切四边形的对边和相等，即可求出结论；根据圆外切四边形的性质求出第四边，利用周长建立方程求解即可得出结论.【详解】性质探讨：圆外切四边形的对边和相等，理由：如图1,已知：四边形ABCD的四边AB,BC,CD,DA都于OO相切于G,F,E,H.求证：AD+BC=AB+CD．证明：TAB,AD和OO相切，•••AG=AH，同理：BG=BF,CE=CF,DE=DH,AD+BC=AH+DH+BF+CF=AG+BG+CE+DE=AB+CD，即：圆外切四边形的对边和相等.故答案为：圆外切四边形的对边和相等；性质应用：①T•根据圆外切四边形的定义得：圆心到四边的距离相等.T平行四边形和矩形不存在一点到四边的距离相等,而菱形和正方形对角线的交点到四边的距离相等.故答案为：B,D；T圆外切四边形ABCD,•••AB+CD=AD+BC.TAB=12,CD=8,•AD+BC=12+8=20,•四边形的周长是AB+CD+AD+BC=20+20=40.故答案为：40；T相邻的三条边的比为5：4：7,•设此三边为5x,4x,7x,根据圆外切四边形的性质得：第四边为5x+7x-4x=8x.T圆外切四边形的周长为48cm,•4x+5x+7x+8x=24x=48,•x=2,•此四边形的四边为4x=8cm,5x=10cm,7x=14cm,8x=16cm.【点睛】本题是圆的综合题,主要考查了新定义圆的外切的性质,四边形的周长,平行四边形,矩形,菱形,正方形的性质,切线长定理,理解和掌握圆外切四边形的定义是解答本题的关键.11.如图，△ABC的内接三角形，P为BC延长线上一点，ZPAC之B,AD为O0的直径,过C作CG丄AD于E,交AB于F,交O0于G.

判断直线PA与OO的位置关系，并说明理由；求证：AG2=AF・AB；若OO的直径为10，AC=2运，AB=4j5，求△AFG的面积.【答案】(1)PA与OO相切，理由见解析；(2)证明见解析；(3)3.【解析】试题分析：(1)连接CD,由AD为OO的直径，可得ZACD=90°，由圆周角定理，证得乙B=ZD,由已知ZPAC=ZB,可证得DA丄PA，继而可证得PA与OO相切.连接BG，易证得△AFG-△AGB，由相似三角形的对应边成比例，证得结论连接BD,由AG2=AF・AB,可求得AF的长，易证得厶AEF-△ABD，即可求得AE的长，继而可求得EF与EG的长，则可求得答案.试题解析：解：(1)PA与OO相切•理由如下：如答图1,连接CD,TAD为OO的直径，•••ZACD=90°.ZD+ZCAD=90°.TZB=ZD，ZPAC=ZB，•ZPAC=ZD.ZPAC+ZCAD=90°,即DA丄PA.T点A在圆上，PA与OO相切.(2)证明：如答图2,连接BG,

•••AD为OO的直径，CG丄AD,AAc二Ad.azAGF=Zabg.ZGAF=ZBAG,A△AGF-△ABG.AAG：AB=AF：AG.AAG2=AF・AB.AAG：AB=AF：AG.AAG2=AF・AB.（3）如答图3，连接BD，•••AD是直径,AZABD=90°.•••AG2=AF・AB,AG=AC=2,AB=4\；'5,AAF=f5.TCGIAD,AZAEF=ZABD=90°.AEAFTZEAF=ZBAD,A△AEF-△ABD.A二——ABAD即竺左4\510解得：AE=2.AEF=\：AF2一AE2=1.EG»AG2―AE2=4,aFG=EG—EF=4—1=3.aS二丄-FG-AE二1x3x2二3aafg22考点：1.圆周角定理；2.直角三角形两锐角的关系；3.相切的判定；4.垂径定理；5.相似三角形的判定和性质；6.勾股定理；7.三角形的面积.12.如图，OO的直径AB=26,P是AB上（不与点A、B重合）的任一点，点C、D为O0上的两点，若/APD=ABPC,则称/CPD为直径AB的"回旋角”.⑴若/BPC=ZDPC=60°,则/CPD是直径AB的"回旋角”吗？并说明理由；13⑵若Cd的长为才n求"回旋角"ZCPD的度数；⑶若直径AB的"回旋角”为120°，且△PCD的周长为24+13朽，直接写出AP的长.【答案】（1）ZCPD是直径AB的"回旋角”，理由见解析；（2）"回旋角"ZCPD的度数为45°；⑶满足条件的AP的长为3或23.【解析】【分析】（1）由ZCPD、ZBPC得到ZAPD,得到ZBPC=ZAPD，所以ZCPD是直径AB的"回旋角”；（2）利用CD弧长公式求出ZCOD=45°,作CE丄AB交O0于E,连接PE,利用ZCPD为直径AB的"回旋角”，得到ZAPD=ZBPC,ZOPE=ZAPD,得到1ZOPE+ZCPD+ZBPC=180°，即点D,P,E三点共线，ZCED=_ZCOD=22.5°,2得到ZOPE=90°-22.5°=67.5°,则ZAPD=ZBPC=67.5°,所以ZCPD=45°；（3）分出情况P在OA上或者OB上的情况，在OA上时，同理（2）的方法得到点D,P,F在同一条直线上，得到△PCF是等边三角形，连接OC,OD,过点O作0G丄CD于G,利用sinZDOG,求得CD,利用周长求得DF,过O作OH丄DF于H,利用勾股定理求得OP,进而得到AP；在OB上时，同理OA计算方法即可【详解】ZCPD是直径AB的“回旋角",理由：TZCPD=ZBPC=60°,ZAPD=180°-ZCPD-ZBPC=180°-60°-60°=60°,ZBPC=ZAPD,.ZCPD是直径AB的“回旋角"；(2)如图1,TAB=26,.OC=OD=OA=13,设ZCOD=n°,13-CD的长为牙nn兀n1313.二兀1804.n=45,ZCOD=45°,作CE丄AB交OO于E,连接PE,ZBPC=ZOPE,TZCPD为直径AB的“回旋角",ZAPD=ZBPC,ZOPE=ZAPD,TZAPD+ZCPD+ZBPC=180°,ZOPE+ZCPD+ZBPC=180°,•••点D,P,E三点共线，1.ZCED=_ZCOD=22.5°,2zOPE=90°-22.5°=67.5°,.ZAPD=ZBPC=67.5°,.ZCPD=45°,即："回旋角”ZCPD的度数为45°,⑶①当点P在半径OA上时，如图2,过点C作CF丄AB交OO于F,连接PF,.PF=PC,同(2)的方法得,点D,P,F在同一条直线上,T直径AB的"回旋角”为120°,.ZAPD=ZBPC=30°,.ZCPF=60°,.△PCF是等边三角形,.ZCFD=60°,连接OC,OD,.ZCOD=120°,过点O作OG丄CD于G,1.CD=2DG,ZDOG=_ZCOD=60°,213V3.DG=ODsinZDOG=13xsin60°=2.CD=13V3,T△PCD的周长为24+13V3,.PD+PC=24,TPC=PF,.PD+PF=DF=24,过O作OH丄DF于H,.DH=1DF=12,2在RtAOHD中，OH=JOD2-DH2=5在RtAOHP中，ZOPH=30°,OP=10,AP=OA-OP=3；②当点P在半径OB上时，同①的方法得，BP=3,AP=AB-BP=23,即：满足条件的AP的长为3或23.【点睛】本题是新定义问题，同时涉及到三角函数、勾股定理、等边三角形性质等知识点，综合程度比较高，前两问解题关键在于看懂题目给到的定义，第三问关键在于P点的分类讨论13..如图，△ABC中，ZACB=90°,ZA=30°，AB=6.D是线段AC上一个动点(不与点A重合)，OD与AB相切，切点为E,OD交射线DC于点F,过F作FG丄EF交直线BC于点G,设OD的半径为r.求证AE=EF；当OD与直线BC相切时，求r的值；当点G落在OD内部时，直接写出r的取值范围.6JT【答案】(1)见解析,(2)r=^3,(3)弋'3<r<三一【解析】【分析】连接DE,则ZADE=60°=ZDEF+ZDFE，而ZDEF=ZDFE，则ZDEF=ZDFE=30°=ZA,即可求解；如图2所示，连接DE,当圆与BC相切时，切点为F,ZA=30°,AB=6，则BF=3,

AD=2r，由勾股定理，即可求解；(3)分点F在线段AC上、点F在线段AC的延长线上两种情况，分别求解即可.【详解】解：设圆的半径为r；(1)连接DE,则/ADE=60°=ZDEF+ZDFE，而上DEF=ZDFE，则ZDEF=ZDFE=30°=ZA，AE=EF；(2)如图2所示，连接DE，当圆与BC相切时，切点为FZA=30°,AB=6，贝9BF=3，AD=2r，由勾股定理得：(3r)2+9=36,解得：r=；(3)①当点F在线段AC上时，如图3所示，连接DE、DG,FC=3\3-3r,GC=、污FC=9-3爲r②当点F在线段AC的延长线上时，如图4所示，连接DE、DG,35033503E图斗FC=3、3-3r,GC=、P3FC=3运r-9E图斗两种情况下GC符号相反，GC2相同，由勾股定理得：DG2=CD2+CG2,点G在圆的内部，故：DG2Vr2,即：(3、远-2r)2+(3*3r-9)2<r2整理得：5r2-1R'3r+18<0【点睛】本题考查了圆的综合题：圆的切线垂直于过切点的半径；利用勾股定理计算线段的长．AB是O0直径，在AB的异侧分别有定点C和动点P，如图所示，点P在半圆弧AB上运动(不与A、B重合)，过C作CP的垂线CD，交PB的延长线于D，已知AB=5，BC:CA=4:3.求证：AC•CD=PC•BC；当点P运动到AB弧的中点时，求CD的长；当点P运动到什么位置时，APCD的面积最大？请直接写出这个最大面积.【答案】⑴证明见解析；(2)CD=；(3)当PC为OO直径时，△PCD的最大面积解析】分析】ACBC由圆周角定理可得/PCD=ZACB=90°,可证△ABC-△PCD，可得=而,即可得证．由题意可求BC=4,AC=3，由勾股定理可求CE的长，由锐角三角函数可求PE的长，即可得PC的长，由AC・CD=PC・BC可求CD的值；TOC\o"1-5"\h\z14当点P在Ab上运动时，S—xPCxCD，由(1)可得：CD――PC，可得vpcd23142S—~^xPCPC=7PC2，当PC最大时，△PCD的面积最大，而PC为直径时最vpcd233大，故可求解．【详解】证明：(1)/AB为直径,ZACB=90°TPC丄CD,.ZPCD=90°.ZPCD=ZACB,且ZCAB=ZCPB.△ABC-△PCD.AC_BC~CP~~CD.AC・CD=PC・BC（2）TAB=5,BC：CA=4：3,ZACB=90°.BC=4，AC=3，当点P运动到Ab的中点时，过点B作BE丄PC于点ET点P是Ab的中点，ZPCB=45°，且BC=4•••CE沁琴S2ZCAB=ACPB.tanZCAB=BC二4CAB=BEAC3PE•PE=婕2•pc=pe+ce=¥+2迈=呼TAC・CD=PC・BC•••3xCD=灿2...cd=求证：△PCM为等边三角形；求证：△PCM为等边三角形；若PA=1，PB=2，求梯形PBCM的面积.、15片【答案】（1）见解析；（2）~4它331(3)当点P在AB上运动时，S&PCD=-xPCxCD,4由(1)可得：CD=3pc•S=-xPCx4PC=-PC2,PCD233当PC最大时，△PCD的面积最大,250•当pc为。。直径时，△PCD的最大面积=3x52=了【点睛】本题是圆的综合题，考查了相似三角形的判定和性质，圆的有关知识，锐角三角函数，求出PC的长是本题的关键．如图，等边△ABC内接于OO,P是弧AB上任一点（点P不