高中数学《数列的概念与表示第一课时》专题突破含解析

第四章数列[数学文化]——了解数学文化的发展与应用数列的历史悠久，中国、古印度、阿拉伯、古希腊等数学历史中都有数列的主题，分布广泛，人类对数列的认识很早，不晚于函数，而且各个国家、地区对数列的认识水平较深入.《庄子》中有“一尺之棰，日取其半，万世不竭”；古代《易经》中有“是故《易》有太极，是生两仪；两仪生四象，四象生八卦”，这里包含了数列的涵意.中国的刘徽《九章算术》、西方的欧几里得《几何原本》都有丰富的数列内容.它们表明，数列是非常古老的数学对象，无论东方还是西方，古往今来，数列始终是数学研究的重要问题之一，历史悠久，文化灿烂.[读图探新]——发现现象背后的知识发现规律的能力是各行各业的人都需要具备的，因此，很多职业测试中都会有数字推理的考查内容.例如，以下是“行政职业能力测验”中的一道题，你能快速地做出来并说明理由吗？根据1，2，4，7，()，16中各数字之间的关系，填出括号中的数.解答此类题目的关键无疑是要找出其中数字出现的规律.事实上，很久以前人们就开始了对类似问题的研究.例如，古希腊的毕达哥拉斯学派将1，4，9，16等数称为正方形数，因为这些数目的点可以摆成一个正方形，如下图所示.依据这一规律，我们很容易就能知道，下一个正方形数应该是25，再下一个是36，等等.你知道吗？通过寻找数字出现的规律，可以产生新的发现.19世纪的时候，门捷列夫将当时已有的原子量约为7至14的元素按从小到大的顺序排列后，得到了如下结果：元素锂硼碳铍氮原子量7111213.514化合价＋1＋3＋4＋2＋5仔细观察，你是否发现了其中的不“和谐”的地方？门捷列夫当时猜测，铍的原子量可能不是13.5，而应该约为9，这一猜测后来在实验室得到验证！数学上，通常将按一定顺序排列的数称为数列.本章我们要学习的就是数列的基础知识，以及两种规律比较常见的数列.4.1数列的概念第一课时数列的概念与表示课标要求素养要求1.通过日常生活和数学中的实例，了解数列的概念和表示方法(表格、图象、解析法).2.了解数列是一种特殊函数.从日常生活和数学中的实例，经历数列的概念的抽象过程，并在由数列的前几项归纳数列的通项公式的过程中，发展学生的数学抽象素养和逻辑推理素养.新知探究传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家在沙滩上研究数学问题.他们研究数的概念时，喜欢把数描绘成沙滩上的小石子，小石子能够摆成不同的几何图形，于是就产生一系列的形数.毕达哥拉斯发现，当小石子的数目是1，3，6，10等数时，小石子都能摆成正三角形，如图1.他把这些数叫作三角形数；当小石子的数目是1，4，9，16等数时，小石子都能摆成正方形，如图2.他把这些数叫作正方形数，等等.每一系列有形状的数按顺序排列出来就称为数列.那么数列的有关概念是什么？可分为哪几类？就让我们一起进入今天的学习吧.1.数列与数列的项“顺序”是数列最根本的性质(1)数列：按照确定的顺序排列的一列数称为数列.(2)数列的项：数列中的每一个数叫做这个数列的项.数列的第一个位置上的数叫做这个数列的第1项，常用符号a1表示，第二个位置上的数叫做这个数列的第2项，用a2表示……第n个位置上的数叫做这个数列的第n项，用an表示.其中第1项也叫做首项.2.数列的一般形式与集合的表示方法不同！数列的一般形式是a1，a2，…，an，…，简记为{an}.3.数列的表示方法(1)表示方法：解析式法、表格法、图象法.(2)数列的通项公式：如果数列{an}的第n项an与它的序号n之间的对应关系可以用一个式子来表示，那么这个式子叫做这个数列的通项公式.4.数列的单调性与函数的单调性类似，项数n相当于自变量x，项an相当于函数值f(x).类别含义递增数列从第2项起，每一项都大于它的前一项的数列递减数列从第2项起，每一项都小于它的前一项的数列常数列各项都相等的数列拓展深化[微判断]1.1，1，1，1是一个数列.(√)2.数列1，3，5，7，…的第10项是21.(×)提示第10项并不一定是21，也可能是其它任何数.3.每一个数列都有通项公式.(×)提示并不是每一个数列都有通项公式.4.如果一个数列不是递增数列，那么它一定是递减数列.(×)提示也可能是摆动数列，如：1，－1，1，－1，….[微训练]1.数列{an}的通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(n＋2，n是奇数,n－3，n是偶数，))则a3＋a6＝________.解析a3＋a6＝(3＋2)＋(6－3)＝5＋3＝8.答案82.根据数列的前几项，写出下面各数列的一个通项公式.(1)－2，－2，－2，－2，…；(2)eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，eq\f(1,5)，….答案(1)an＝－2；(2)an＝eq\f(1,n＋1)[微思考]1.数列的项和它的项数是否相同？提示数列的项与它的项数是不同的概念.数列的项是指这个数列中的某一个确定的数，是一个函数值，也就是相当于f(n)，而项数是指这个数在数列中的位置序号，它是自变量的值，相当于f(n)中的n.2.数列1，2，3，4，5，数列5，3，2，4，1与{1，2，3，4，5}有什么区别？提示数列1，2，3，4，5和数列5，3，2，4，1为两个不同的数列，因为二者的元素顺序不同，而集合{1，2，3，4，5}与这两个数列也不相同，一方面形式上不一致，另一方面，集合中的元素具有无序性.题型一数列的概念与分类【例1】(1)(多选题)下列四个数列中的递增数列是()A.1，eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，eq\f(1,4)，…B.sineq\f(π,7)，sineq\f(2π,7)，sineq\f(3π,7)，…C.－1，－eq\f(1,2)，－eq\f(1,4)，－eq\f(1,8)，…D.1，eq\r(2)，eq\r(3)，…，eq\r(21)(2)设函数f(x)＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(（3－a）x－3，x≤7，,ax－6，x>7，))数列{an}满足an＝f(n)，n∈N*，且数列{an}是递增数列，则实数a的取值范围是()A.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，3)) B.eq\b\lc\[\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(9,4)，3))C.(1，3) D.(2，3)解析(1)A是递减数列；B是摆动数列；C，D是递增数列.(2)结合函数的单调性，要使{an}递增，则应有eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(3－a>0，,a>1，,a7＝（3－a）·7－3<a8＝a8－6，))解得2<a<3，选D.答案(1)CD(2)D规律方法数列单调性的判断若满足an<an＋1(n∈N*)则是递增数列；若满足an>an＋1(n∈N*)则是递减数列；若满足an＝an＋1(n∈N*)则是常数列；若an与an＋1(n∈N*)的大小不确定时，则是摆动数列.【训练1】已知下列数列：①2，4，8，12；②0，eq\f(1,2)，eq\f(2,3)，…，eq\f(n－1,n)，…；③1，eq\f(1,2)，eq\f(1,4)，…，eq\f(1,2n－1)，…；④1，－eq\f(2,3)，eq\f(3,5)，…，eq\f(（－1）n－1·n,2n－1)，…；⑤1，0，－1，…，sineq\f(nπ,2)，…；⑥6，6，6，6，6，6.其中，(1)递增数列是________；(2)递减数列是________.(填序号)答案(1)①②(2)③题型二由数列的前几项写出数列的一个通项公式【例2】写出下面各数列的一个通项公式(1)eq\f(1,2)，eq\f(3,4)，eq\f(7,8)，eq\f(15,16)，eq\f(31,32)，…；(2)6，66，666，6666，…；(3)－1，eq\f(3,2)，－eq\f(1,3)，eq\f(3,4)，－eq\f(1,5)，eq\f(3,6)，…；(4)eq\f(3,2)，1，eq\f(7,10)，eq\f(9,17)，….解(1)这个数列前5项中，每一项的分子比分母少1，且分母依次为21，22，23，24，25，所以它的一个通项公式为an＝eq\f(2n－1,2n).(2)这个数列的前4项可写为eq\f(6,9)(10－1)，eq\f(6,9)(102－1)，eq\f(6,9)(103－1)，eq\f(6,9)(104－1)，所以它的一个通项公式为an＝eq\f(6,9)(10n－1)＝eq\f(2,3)(10n－1).(3)这个数列的奇数项为负，偶数项为正，前6项的绝对值可看作分母依次为1，2，3，4，5，6，分子依次为1，3，1，3，1，3，所以它的一个通项公式为an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(－\f(1,n)，n＝2k－1，k∈N*，,\f(3,n)，n＝2k，k∈N*.))(4)将数列变形为eq\f(3,2)，eq\f(5,5)，eq\f(7,10)，eq\f(9,17)，…，对于分子3，5，7，9，…，可得分子的通项公式为bn＝2n＋1，对于分母2，5，10，17，…，联想到数列1，4，9，16，…，可得分母的通项公式为cn＝n2＋1，所以原数列的一个通项公式为an＝eq\f(2n＋1,n2＋1)(n∈N*).规律方法此类问题主要靠观察(观察规律)、比较(比较已知数列)、归纳、转化(转化为特殊数列)、联想(联想常见的数列)等方法求解.具体注意以下几方面：(1)分式中分子、分母的特征；(2)相邻项的变化特征；(3)拆项后的特征；(4)各项的符号特征和绝对值特征；(5)化异为同；(6)对于符号交替出现的情况，可用(－1)k或(－1)k＋1处理.【训练2】写出下列数列的一个通项公式，使它的前4项分别是下列各数：(1)1，－eq\f(1,2)，eq\f(1,3)，－eq\f(1,4)；(2)eq\f(1,2)，2，eq\f(9,2)，8；(3)9，99，999，9999.解(1)这个数列的前4项的绝对值都是序号的倒数，并且奇数项为正，偶数项为负，所以它的一个通项公式为an＝eq\f(（－1）n＋1,n)，n∈N*.(2)数列中的项，有的是分数，有的是整数，可将各项都统一成分数再观察：eq\f(1,2)，eq\f(4,2)，eq\f(9,2)，eq\f(16,2)，…，所以它的一个通项公式为an＝eq\f(n2,2)，n∈N*.(3)各项加1后，变为10，100，1000，10000，…，此数列的通项公式为10n，可得原数列的一个通项公式为an＝10n－1，n∈N*.题型三数列通项公式的简单应用【例3】已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1,n（n＋2）)(n∈N*).(1)计算a3＋a4的值；(2)eq\f(1,120)是不是该数列中的项？若是，应为第几项？若不是，说明理由.解(1)∵an＝eq\f(1,n（n＋2）)，∴a3＝eq\f(1,3×5)＝eq\f(1,15)，a4＝eq\f(1,4×6)＝eq\f(1,24)，∴a3＋a4＝eq\f(1,15)＋eq\f(1,24)＝eq\f(13,120).(2)若eq\f(1,120)为数列{an}中的项，则eq\f(1,n（n＋2）)＝eq\f(1,120)，∴n(n＋2)＝120，∴n2＋2n－120＝0，∴n＝10或n＝－12(舍)，即eq\f(1,120)是数列{an}的第10项.规律方法判断某数值是否为该数列的项的方法先假定它是数列中的第n项，然后列出关于n的方程.若方程解为正整数，则是数列的一项；若方程无解或解不是正整数，则不是该数列的一项.【训练3】在数列{an}中，a1＝2，a17＝66，通项公式an是n的一次函数.(1)求{an}的通项公式；(2)判断88是不是数列{an}中的项？解(1)设an＝kn＋b(k≠0)，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(a1＝k＋b＝2，,a17＝17k＋b＝66，))解得eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(k＝4，,b＝－2.))∴an＝4n－2.(2)令an＝88，即4n－2＝88，解得n＝22.5∉N*，∴88不是数列{an}中的项.题型四数列的最值【例4】已知an＝eq\f(9n·（n＋1）,10n)(n∈N*)，则数列{an}中有没有最大项？如果有，求出最大项；如果没有，请说明理由.解法一函数单调性法令f(n)＝an，则f(n＋1)－f(n)＝an＋1－an＝eq\f(9n＋1（n＋2）,10n＋1)－eq\f(9n（n＋1）,10n)＝eq\f(9n,10n＋1)(8－n).当n<8时，an＋1－an>0，即an＋1>an，即{an}在n<8时单调递增；当n＝8时，an＋1－an＝0，即an＋1＝an，得a8＝a9；当n>8时，an＋1－an<0，即an＋1<an，得{an}在n>8时单调递减.所以数列{an}的最大项是第8项和第9项，即a8＝a9＝eq\f(99,108).法二不等式组法设an最大，则eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)，即eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\f(9n·（n＋1）,10n)≥\f(9n－1·n,10n－1)，,\f(9n·（n＋1）,10n)≥\f(9n＋1·（n＋2）,10n＋1)，))解得8≤n≤9.又因为n∈N*，所以n＝8或9.故{an}的最大项为a8＝a9＝eq\f(99,108).规律方法求数列最值的方法(1)函数的单调性法：令an＝f(n)，通过研究f(n)的单调性来研究最大(小)项.(2)不等式组法：先假设有最大(小)项.不妨设an最大，则满足eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≥an－1，,an≥an＋1))(n≥2)，解不等式组便可得到n的取值范围，从而确定n的值；求最小项用不等式组eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(an≤an－1，,an≤an＋1))(n≥2)求得n的取值范围.【训练4】已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(n－\r(254),n－\r(255))，(1)讨论数列{an}的单调性；(2)求数列{an}的最大项和最小项.解(1)数列{an}的通项公式an＝eq\f(n－\r(254),n－\r(255))＝1＋eq\f(\r(255)－\r(254),n－\r(255))，据此可得1>a1>a2>a3>…>a15，且a16>a17>a18>a19>…>1，所以当n<16时，数列{an}单调递减；当n≥16时，数列{an}单调递减.(2)由(1)，知数列{an}的最大项为a16，最小项为a15.一、素养落地1.通过学习数列的通项公式求法及应用，重点培养逻辑推理素养及提升数学运算素养.2.数列中的项具有三个性质：(1)确定性，(2)可重复性，(3)有序性.3.数列可以看作以自然数n(n≥1)为自变量，以对应的项为函数值的函数，因此数列也具有单调性，有递增数列和递减数列之分.4.根据数列的前几项求其通项公式时，抓住其每一项之间的特征，并对此进行联想、转化、归纳.二、素养训练1.下列叙述正确的是()A.数列1，3，5，7与7，5，3，1是相同的数列B.数列0，1，2，3，…可以表示为{n}C.数列0，1，0，1，…是常数列D.数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,n＋1)))是递增数列解析由数列的通项an＝eq\f(n,n＋1)知，an＋1－an＝eq\f(n＋1,n＋2)－eq\f(n,n＋1)＝eq\f(1,（n＋2）（n＋1）)＞0，即数列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(n,n＋1)))是递增数列，故选D.答案D2.数列{an}中，an＝2n，则16是这个数列的()A.第16项 B.第8项C.第4项 D.第2项解析令an＝2n＝16，得n＝4.答案C3.数列2，3，4，5，…的一个通项公式为()A.an＝n B.an＝n＋1C.an＝n＋2 D.an＝2n解析这个数列的前4项都比序号大1，所以它的一个通项公式为an＝n＋1.答案B4.已知数列eq\r(3)，3，eq\r(15)，…，eq\r(3（2n－1）)，…，那么9在此数列中的项数是()A.12 B.13C.14 D.15解析易知数列的通项公式为an＝eq\r(3（2n－1）)，令eq\r(3（2n－1）)＝9，解得n＝14.答案C5.已知an＝n2－2n＋5，求数列{an}的最小值.解由an＝n2－2n＋5＝(n－1)2＋4可知，当n＝1时，an的最小值为a1＝4.基础达标一、选择题1.已知数列{an}的通项公式为an＝eq\f(1＋（－1）n＋1,2)，则该数列的前4项依次为()A.1，0，1，0 B.0，1，0，1C.eq\f(1,2)，0，eq\f(1,2)，0 D.2，0，2，0解析当n分别等于1，2，3，4时，a1＝1，a2＝0，a3＝1，a4＝0.答案A2.若数列{an}满足an＝3n，则数列{an}是()A.递增数列 B.递减数列C.常数列 D.摆动数列解析an＋1－an＝3n＋1－3n＝2×3n>0，∴an＋1>an，即{an}是递增数列.答案A3.数列1，3，6，10，…的一个通项公式是()A.an＝n2－n＋1 B.an＝eq\f(n（n－1）,2)C.an＝eq\f(n（n＋1）,2) D.an＝n2＋1解析令n＝1，2，3，4，代入A，B，C，D检验即可.排除A，B，D，从而选C.答案C4.给出以下通项公式：①an＝eq\f(\r(2),2)[1－(－1)n]；②an＝eq\r(1－（－1）n)；③an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(\r(2)，n为奇数，,0，n为偶数，))其中可以作为数列eq\r(2)，0，eq\r(2)，0，eq\r(2)，0，…的通项公式的是()A.①② B.②③C.①③ D.①②③解析代入验证，可知①②③均可以作为eq\r(2)，0，eq\r(2)，0，eq\r(2)，0，…的通项公式.答案D5.已知数列1，eq\f(1,2)，eq\f(2,1)，eq\f(1,3)，eq\f(2,2)，eq\f(3,1)，eq\f(1,4)，eq\f(2,3)，eq\f(3,2)，eq\f(4,1)，…，则eq\f(8,9)是该数列的()A.第127项 B.第128项C.第129项 D.第130项解析将该数列的第一项1写成eq\f(1,1)，再将该数列分组，第一组1项：eq\f(1,1)；第二组2项：eq\f(1,2)，eq\f(2,1)；第三组3项：eq\f(1,3)，eq\f(2,2)，eq\f(3,1)；第四组第4项：eq\f(1,4)，eq\f(2,3)，eq\f(3,2)，eq\f(4,1)；……容易发现：每组中各个分数的分子与分母之和均为该组序号加1，且从第二组起每组的分子从1开始依次增加1，因此eq\f(8,9)应位于第十六组的第八位.由1＋2＋…＋15＋8＝128，得eq\f(8,9)是该数列的第128项.答案B二、填空题6.323是数列{n(n＋2)}的第________项.解析由an＝n2＋2n＝323，解得n＝17(负值舍去).∴323是数列{n(n＋2)}中的第17项.答案177.观察数列的特点，用一个适当的数填：1，eq\r(3)，eq\r(5)，eq\r(7)，________，eq\r(11)，….解析由于数列的前几项中根号下的数都是由小到大的奇数，所以需要填空的数为eq\r(9)＝3.答案38.数列{an}的通项公式an＝eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))，则eq\r(10)－3是此数列的第________项.解析令eq\f(1,\r(n)＋\r(n＋1))＝eq\r(10)－3，即eq\r(n＋1)－eq\r(n)＝eq\r(10)－3，∴n＝9.答案9三、解答题9.根据数列的前几项，写出下列各数列的一个通项公式.(1)－1，7，－13，19，…；(2)0.8，0.88，0.888，….解(1)符号问题可通过(－1)n或(－1)n＋1表示，其各项的绝对值的排列规律为：后面的数的绝对值总比前面数的绝对值大6，故通项公式为an＝(－1)n(6n－5).(2)将数列变形为eq\f(8,9)(1－0.1)，eq\f(8,9)(1－0.01)，eq\f(8,9)(1－0.001)，…，∴an＝eq\f(8,9)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1－\f(1,10n))).10.已知数列{an}的通项公式为an＝－n2＋n＋110.(1)20是不是{an}中的一项？(2)当n取何值时，an＝0.解(1)令an＝－n2＋n＋110＝20，即n2－n－90＝0，∴(n＋9)(n－10)＝0，∴n＝10或n＝－9(舍).∴20是数列{an}中的一项，且为数列{an}中的第10项.(2)令an＝－n2＋n＋110＝0，即n2－n－110＝0，∴(n－11)(n＋10)＝0，∴n＝11或n＝－10(舍)，∴当n＝11时，an＝0.能力提升11.已知数列{an}的通项公式是an＝eq\b\lc\{(\a\vs4\al\co1(2－n，n是奇数，,\f(1,1＋2－n)，n是偶数，))则a3＋eq\f(1,a4)＝________.解析a3＝2－3＝eq\f(1,8)，a4＝eq\f(1,1＋2－4)＝eq\f(16,17)，∴eq\f(1,a4)＝eq\f(17,16)，∴a3＋eq\f(1,a4)＝eq\f(19,16).答案eq\f(19,16)12.已知数列{an}的通项公式是an＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1).(1)判断eq\f(98,101)是不是数列{an}中的项；(2)试判断数列{an}中的项是否都在区间(0，1)内；(3)在区间eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,3)，\f(2,3)))内有没有数列{an}中的项？若有，是第几项；若没有，请说明理由.解(1)∵an＝eq\f(9n2－9n＋2,9n2－1)＝eq\f(（3n－1）（3n－2）,（3n