2021年河北省衡水市石家庄第二十七中学高三数学文联考试题含解析

2021年河北省衡水市石家庄第二十七中学高三数学文联考试题含解析一、选择题：本大题共10小题，每小题5分，共50分。在每小题给出的四个选项中，只有是一个符合题目要求的1.设表示不同的直线，表示不同的平面，给出下列四个命题，其中正确命题的个数为（

）①若，且，则；②若，且，则；③若，则；④若，且，则．A．1

B．2

C．3

D．4参考答案：B2.已知集合，集合，且，则

A．

B．

C．

D．参考答案：C略3.已知集合，，则的真子集个数为（

）A.1

B.3

C.4

D.7参考答案：B集合,集合,所以或,真子集有,共3个,选B.4.下列说法错误的是（

）A．命题“若x2－3x+2=0，则x=1”的逆否命题为：“若x≠1，则x2－3x+2≠0”B．“x＞1”是“|x|＞1”的充分不必要条件C．若为假命题，则p、q均为假命题．D．若命题p：“，使得x2+x+1＜0”，则p：“，均有x2+x+1≥0”参考答案：CA，命题命题“若，则”的逆否命题为：“若，则”，命题正确；B，当时，成立，当时，有或，所以原命题正确；C，当为假命题时，有p与q至少一个是假命题，所以原命题为假命题；D，命题p：“，使得”，则：“，均有”，命题正确；故选C.

5.已知数列的前项和，则数列（

）A.一定是等差数列

B.一定是等比数列

C.或者是等差数列，或者是等比数列

D.既不可能是等差数列，也不可能是等比数列参考答案：C略6.已知M,N为集合I的非空真子集，且M，N不相等，若则A.M

B.N

C.I

D.参考答案：A7.已知函数是定义在R上的奇函数，且当时，则（

）A.1

B.

C.

D.参考答案：B略8.已知实数a、b满足，则的最大值为(

)A. B. C. D.参考答案：C【分析】根据题意，将通分化简整理，再运用基本不等式求解最值.【详解】由题意，的最小值是当，即时，的值最大的最大值是：的最大值为.故选：C【点睛】本题考查基本不等式的应用求最值，综合性较强，属于中等题型.9.已知向量，，则等于(

)A.1

B.

C.2

D.参考答案：A10.若当方程所表示的圆取得最大面积时，则直线的倾斜角（

）．A.

B.

C.

D.

参考答案：A略二、填空题:本大题共7小题,每小题4分,共28分11.已知表示不超过的最大整数，如：．定义．给出如下命题：①使成立的的取值范围是；②函数的定义域为，值域为；③1006；④设函数，则函数的不同零点有3个．其中正确的命题的序号是

．参考答案：①③④略12.已知，，则

，

．参考答案：

13.设直线与圆相交于A、B两点，且弦长，则=________。参考答案：0略14.设=

。参考答案：15.已知函数,若曲线在点(,,,其中,,互不相等)处的切线互相平行,则的取值范围是

参考答案：（－1,2）16.已知向量，若，则实数______．参考答案：试题分析：因为向量，，所以，即，解得；考点：向量垂直的充要条件17.若双曲线的一个焦点与抛物线的焦点相同，则

▲

．参考答案：略三、解答题：本大题共5小题，共72分。解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤18.

(本小题满分16分)

已知：函数

，在区间上有最大值4，最小值1，设函数．

（1）求、的值及函数的解析式；（2）若不等式在时恒成立，求实数的取值范围；

（3）如果关于的方程有三个相异的实数根，求实数的取值范围．参考答案：解：（1），由题意得：

得

或

得（舍），

，…………4分（2）不等式，即，设，，，…………10分（3），即．令，则

记方程的根为、，当时，原方程有三个相异实根，记，由题可知，或．…………14分时满足题设．…………16分19.已知定义域为R的函数是奇函数.（Ⅰ）求a，b的值;（Ⅱ）当时，恒成立，求实数k的取值范围.参考答案：（Ⅰ）因为在定义域为的奇函数，所以，即，所以，因此解得

………5分（Ⅱ）由（Ⅰ）得，即，因为，所以在上是减函数，…………7分由在定义域为的奇函数，故不等式等价于，即，因为在上是减函数，所以，

…………9分由题意，对于恒成立，即恒成立，设，，则，当，即时，………………11分所以实数的取值范围.为

………12分20.（本小题满分13分）设函数（Ⅰ）求函数f(x)的单调区间；

（Ⅱ）若函数f(x)在x∈[－1，1]内没有极值点，求a的取值范围；

（Ⅲ）若对任意的a∈[3,6]，不等式在x∈[－2,2]上恒成立，求m的取值范围.参考答案：解：（Ⅰ）∵f′(x)=3x2+2ax－a2=3(x－)(x+a),又a>0，∴当x<－a或x>时f′(x)>0；当－a<x<时，f′(x)<0.∴函数f(x)的单调递增区间为（－∞，－a），(，+∞)，单调递减区间为(－a，).(4分）（Ⅱ）由题设可知，方程f′(x)=3x2+2ax－a2=0在[－1，1]上没有实根∴，解得a>3.

（8分）（Ⅲ）∵a∈[3,6]，∴由（Ⅰ）知∈[1，2]，－a≤－3又x∈[－2,2]∴f(x)max=max{f(－2),f(2)}而f(2)－f(－2)=16－4a2<0f(x)max=f(-2)=－8+4a+2a2+m（10分）

又∵f(x)≤1在[－2，2]上恒成立∴f(x)max≤1即－8+4a+2a2+m≤1即m≤9－4a－2a2,在a∈[3，6]上恒成立∵9－4a－2a2的最小值为－87∴m≤－87.

（13分略21.如图，在四棱锥P﹣ABCD中，底面ABCD是菱形，且．点E是棱PC的中点，平面ABE与棱PD交于点F．（Ⅰ）求证：；（Ⅱ）若，且平面PAD⊥平面ABCD，求平面PAF与平面AFE所成的锐二面角的余弦值．参考答案：（Ⅰ）见解析（Ⅱ）【分析】（Ⅰ）先由结合直线与平面平行的判定定理证明平面，再利用直线与平面平行的性质定理可证明；（Ⅱ）取中点，连接，．由平面平面结合平面与平面垂直的性质定理得出平面，并证明，然后建立以为原点，为轴，为轴，为轴的空间直角坐标系，然后利用向量法求出平面与平面所成的锐二面角的余弦值。【详解】证明：（Ⅰ）因为底面是菱形，所以．又因为面，面，所以面．又因为四点共面，且平面平面，平面所以，且是棱中点；（Ⅱ）取中点，连接，．因为，所以．又因为平面平面，且平面平面，所以平面．所以．在菱形中，因为，，是中点，所以．

如图，以为原点，为轴，为轴，为轴，建立空间直角坐标系．设，则，．又因为，点是棱中点，所以点是棱中点．

所以,．所以．设平面的法向量为，则有所以令，则平面的一个法向量为．因为平面，所以是平面的一个法向量．因为，

所以平面与平面所成的锐二面角的余弦值为。【点睛】本题考查直线与平面平行的性质定理，以及二面角的求法，对于二面角的求解，一般是建立空间直角坐标系，利用向量法来求解，考查空间想