江苏省扬州市2022～2023学年九年级（上）期中数学试卷【含答案】

江苏省扬州市2022～2023学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共24分）1.下列方程中有实数根的是（）A.x2+2x+2=0 B.x2﹣2x+3=0 C.x2﹣3x+1=0 D.x2+3x+4=02.若x=3是方程x2﹣5x+m=0的一个根，则这个方程的另一个根是（）A.﹣2 B.2 C.﹣5 D.53.如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠AOC=130°，则∠D等于（）A.20° B.25° C.35° D.50°4.用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（）A. B. C. D.5.如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥的侧面积是（）A.30cm2 B.30πcm2 C.60πcm2 D.120cm26.直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是A. B. C. D.7.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法中错误的是（）A.当a＞0，c＜0时，方程一定有实数根B.当c=0时，方程至少有一个根为0C.当a＞0，b=0，c＜0时，方程两根一定互为相反数D.当abc＜0时，方程的两个根同号，当abc＞0时，方程的两个根异号8.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD对角线的交点，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（）A.4 B. C. D.二、填空题（每题3分，共30分）9.一元二次方程x2＝2x的解为________．10.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是_________．11.如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于°.12.如图半径为30cm的转动轮转过80°时，传送带上的物体A平移的距离为_____．13.在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，55，25，这组数据的众数_____．14.现有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．该圆锥底面圆的半径为_____cm．15.某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为_____元．16.关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______．17.若，那么代数式的值是_________.18.如图，是以为直径的半圆上一点，连接、，分别以、为边向外作正方形、正方形，、、弧、弧的中点分别是、、、．若，，则的长为______．三、解答题（共10小题，总分96分）19.（1）解方程：2x2+4x﹣5=0（配方法）（2）解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）=0．20.如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，．请连结线段CB，求四边形ABCD各内角的度数．21.关于一元二次方程，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．22.如图，分别与相切于点，点在上，且，，垂足为．（1）求证：；（2）若的半径，，求的长23.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？24.省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲10898109乙107101098（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是环，乙的平均成绩是环；（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．计算方差的公式：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋＋(xn－)2]．25.如图，半圆O的直径AB=20，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．（1）求AP的长；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．26.如图⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC于D，连接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若AE＝2，CE＝2．求⊙O的半径和AB的长度．27.如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除三位“和谐数”，设个位上的数字为x（，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．28.如图，以点P(−1，0)为圆心圆，交x轴于B、C两点（B在C的左侧），交y轴于A、D两点（A在D的下方），AD=，将△ABC绕点P旋转180°，得到△MCB．（1）求B、C两点的坐标；（2）请在图中画出线段MB、MC，并判断四边形ACMB的形状（不必证明），求出点M的坐标；（3）动直线l从与BM重合的位置开始绕点B顺时针旋转，到与BC重合时停止，设直线l与CM交点为E，点Q为BE的中点，过点E作EG⊥BC于G，连接MQ、QG．请问在旋转过程中∠MQG的大小是否变化？若不变，求出∠MQG的度数；若变化，请说明理由．

江苏省扬州市2022～2023学年九年级（上）期中数学试卷一、选择题（每题3分，共24分）1.下列方程中有实数根是（）A.x2+2x+2=0 B.x2﹣2x+3=0 C.x2﹣3x+1=0 D.x2+3x+4=0C【详解】解：A．△=22﹣4×1×2=﹣6＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；B．△=（﹣2）2﹣4×1×3=﹣8＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；C．△=（﹣3）2﹣4×1×1=5＞0，则该方程有实数根，故本选项正确；D．△=32﹣4×1×4=﹣7＜0，则该方程无实数根，故本选项错误；故选C．点睛：本题考查了根的判别式．总结：一元二次方程根的情况与判别式△的关系：（1）△＞0⇔方程有两个不相等的实数根；（2）△=0⇔方程有两个相等的实数根；（3）△＜0⇔方程没有实数根．2.若x=3是方程x2﹣5x+m=0的一个根，则这个方程的另一个根是（）A.﹣2 B.2 C.﹣5 D.5B【详解】试题解析：由根与系数的关系，设另一个根为x，则3+x="5，"即x="2．"故选B．考点：根与系数的关系．3.如图，AB是⊙O的直径，C，D为圆上两点，若∠AOC=130°，则∠D等于（）A.20° B.25° C.35° D.50°B【详解】解：∠BOC=180°-∠AOC=50°，根据圆周角定理可得∠D=∠BOC=25°，故选B．4.用配方法解一元二次方程时，此方程可变形为（）A. B. C. D.D【详解】故选：D．5.如图，圆锥的底面半径OB=6cm，高OC=8cm．则这个圆锥的侧面积是（）A.30cm2 B.30πcm2 C.60πcm2 D.120cm2C【详解】解：由勾股定理计算出圆锥的母线长=，圆锥漏斗的侧面积=．故选C．考点：圆锥的计算6.直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，则r的取值范围是A. B. C. D.C【详解】试题分析：根据直线与圆的位置关系来判定：①直线l和⊙O相交，则d＜r；②直线l和⊙O相切，则d=r；③直线l和⊙O相离，则d＞r（d为直线与圆的距离，r为圆的半径）．因此，∵直线l与半径r的圆O相交，且点O到直线l的距离为6，∴r的取值范围是r＞d＝6．故选C．7.对于一元二次方程ax2+bx+c=0（a≠0），下列说法中错误的是（）A.当a＞0，c＜0时，方程一定有实数根B.当c=0时，方程至少有一个根为0C.当a＞0，b=0，c＜0时，方程的两根一定互为相反数D.当abc＜0时，方程的两个根同号，当abc＞0时，方程的两个根异号D【详解】解：A．正确．当a＞0，c＜0时，△=b2﹣4ac＞0，则方程一定有实数根；B．正确．当c=0时，则ax2+bx=0，则方程至少有一个根为0；C．正确．当a＞0，b=0，c＜0时，方程两根为x1，x2，x1+x2==0，则方程的两根一定互为相反数；D．错误．当ac＜0时，方程的两个根异号，当ac＞0时，方程的两个根同号．故选D．8.如图，在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，O为矩形ABCD对角线的交点，以D为圆心1为半径作⊙D，P为⊙D上的一个动点，连接AP、OP，则△AOP面积的最大值为（）A.4 B. C. D.D【详解】解：当P点移动到平行于OA且与⊙D相切时，△AOP面积的最大，如图，∵P是⊙D的切线，∴DP垂直与切线，延长PD交AC于M，则DM⊥AC，∵在矩形ABCD中，AB=3，BC=4，∴AC==5，∴OA=，∵∠AMD=∠ADC=90°，∠DAM=∠CAD，∴△ADM∽△ACD，∴，∵AD=4，CD=3，AC=5，∴DM=，∴PM=PD+DM=1+=，∴△AOP的最大面积=OA•PM==，故选D．本题考查了圆的切线的性质，矩形的性质，平行线的性质，勾股定理的应用以及三角形相似的判定和性质，本题的关键是判断出P处于什么位置时面积最大．二、填空题（每题3分，共30分）9.一元二次方程x2＝2x的解为________．x1＝0，x2＝2【分析】利用因式分解法求解即可．【详解】移项得x2－2x=0，即x（x－2）=0，解得x=0或x=2．故本题考查了一元二次方程的解法．解一元二次方程常用的方法有直接开平方法，配方法，公式法，因式分解法，要根据方程的特点灵活选用合适的方法．10.某种品牌的手机经过四、五月份连续两次降价，每部售价由3200元降到了2500元．设平均每月降价的百分率为，根据题意列出的方程是_________．3200（1-x）2=2500【分析】本题可根据：原售价×（1-降低率）2=降低后的售价得出两次降价后的价格，然后即可列出方程．【详解】解：依题意得：两次降价后的售价为3200（1-x）2=2500，

故答案为3200（1-x）2=2500．本题考查降低率问题，由：原售价×（1-降低率）2=降低后的售价可以列出方程．11.如图，平面上两个正方形与正五边形都有一条公共边，则∠α等于°.72【分析】先分别求出正五边形的一个内角为108°，正方形的每个内角是90°，再根据圆周角是360度求解即可．【详解】正五边形的一个内角为108°，正方形的每个内角是90°，所以∠α=360°-108°-90°-90°=72°，故答案72.本题考查了多边形的内角和，熟练掌握多边形内角和公式：（n-2）•180°是解题的关键.12.如图半径为30cm的转动轮转过80°时，传送带上的物体A平移的距离为_____．##【分析】根据弧长公式即可求解．【详解】解：由题意得，R=30cm，，故l==（cm）．故答案．本题考查了弧长公式的运用，理解传送带上的物体A平移的距离为半径为30cm的转动轮转过角的扇形的弧长是解题的关键．13.在今年“全国助残日”捐款活动中，某班级第一小组7名同学积极捐出自己的零花钱，奉献自己的爱心．他们捐款的数额分别是（单位：元）50，20，50，30，25，55，25，这组数据的众数_____．50和25【详解】解：50、25出现了2次，出现的次数最多，则众数是50和25，故答案为50和25．14.现有一个圆心角为90°，半径为8cm的扇形纸片，用它恰好围成一个圆锥的侧面（接缝忽略不计）．该圆锥底面圆的半径为_____cm．2【分析】由题意可得，扇形的弧长是圆锥底面圆的周长，列出等式，即可得出答案.【详解】解：圆锥的底面周长是：设圆锥底面圆的半径是r，则2πr＝4π解得：r＝2故答案是：2．本题主要考查的圆锥的侧面展开图和圆的弧长计算.15.某商品的价格标签已丢失，售货员只知道“它的进价为80元，打七折售出后，仍可获利5%”．你认为售货员应标在标签上的价格为_____元．120【分析】假设出标签上写的价格，然后七折售出后，卖价为0.7x，仍获利5%，即获利（80×5%）元，列出方程．【详解】解：获利=（售价－进价）÷进价×100%，设售价x元，则=80×5%，解得：x=120．故120．此题考查了一元一次方程的应用，首先读懂题目的意思，根据题目给出的条件，找出合适的等量关系，列出方程，再求解．16.关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，则实数k的取值范围是_______．k＜2且k≠1【分析】根据一元二次方程的定义和判别式的意义得到k﹣1≠0且＝（﹣2）2﹣4（k﹣1）＞0，然后求出两个不等式的公共部分即可．【详解】解：∵关于x的一元二次方程（k－1）x2－2x+1=0有两个不相等的实数根，∴k－1≠0且∆=（－2）2－4（k－1）＞0，解得：k＜2且k≠1．故k＜2且k≠1．本题考查了一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的根的判别式＝b2﹣4ac：当＞0，方程有两个不相等的实数根；当＝0，方程有两个相等的实数根；当＜0，方程没有实数根．17.若，那么代数式的值是_________.-6【详解】试题分析：由已知条件得到x2+x=1；再将所求的代数式变形为：x（x2+x）+x2-7，然后将其整体代入求值即可．解：∵，∴x2+x=1，∴x3+2x2−7=x3+x2+x2−7=x(x2+x)+x2−7=x+x2−7=1-7=−6.故答案为−6.18.如图，是以为直径的半圆上一点，连接、，分别以、为边向外作正方形、正方形，、、弧、弧的中点分别是、、、．若，，则的长为______．13【分析】连接OP，OQ，由DE，FG，弧AC，弧BC的中点分别是M，N，P，Q，可得OP⊥AC，OQ⊥BC，从而得出H、I是AC、BD的中点，利用中位线定理得出OH+OI=（AC+BC）=9，和PH+QI，从而利用AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI，求解即可．【详解】解：连接OP，OQ，∵DE，FG，弧AC，弧BC的中点分别是M，N，P，Q，∴OP⊥AC，OQ⊥BC，∴H、I是AC、BD的中点，∴OH+OI=（AC+BC）=9，∵MH+NI=AC+BC=18，MP+NQ=14，∴PH+QI=18﹣14=4，∴AB=OP+OQ=OH+OI+PH+QI=9+4=13．故答案为13．本题考查了中位线定理，解题的关键是正确的作出辅助线，题目中还考查了垂径定理的知识，难度不大．三、解答题（共10小题，总分96分）19.（1）解方程：2x2+4x﹣5=0（配方法）（2）解方程：（x﹣3）2+4x（x﹣3）=0．(1)x=﹣1±;(2)x=3或x=0.6【详解】试题分析：（1）根据配方法的步骤依次计算可得；（2）用因式分解法求解可得．试题解析：解：（1）∵2x2+4x=5，∴x2+2x=，则x2+2x+1=+1，即（x+1）2=，∴x+1=±，则x=﹣1±；（2）∵（x﹣3）（5x﹣3）=0，∴x﹣3=0或5x﹣3=0，解得：x=3或x=0.6．20.如图，AB是半圆的直径，C、D是半圆上的两点，且∠BAC=20°，．请连结线段CB，求四边形ABCD各内角的度数．55°，70°，125°，110°【详解】试题分析：连结BC，根据圆周角定理得∠ACB=90°，则利用互余可计算出∠B=70°，再根据圆内接四边形的性质计算出∠D=180°﹣∠B=110°，接着根据圆周角定理和三角形内角和定理，由弧AD=弧CD得到∠DAC=∠DCA=35°，然后计算∠DAB=∠DAC+∠BAC=55°，∠DCB=∠DCA+∠ACB=125°．试题解析：解：连结BC，如图，∵AB是半圆的直径，∴∠ACB=90°，∵∠BAC=20°，∴∠B=70°，∵四边形ABCD是圆O的内接四边形，∴∠D=180°﹣∠B=110°，∵弧AD=弧CD，∴∠DAC=∠DCA=（180°-110°）=35°，∴∠DAB=∠DAC+∠BAC=55°，∠DCB=∠DCA+∠ACB=125°，即四边形ABCD各内角的度数分别为55°，70°，125°，110°．21.关于的一元二次方程，其根的判别式的值为1，求m的值及该方程的根．x1=1,x2=【详解】解：，⊿=b2-4ac=（3m-1）2+4m(1-2m)=1,∴m=2或0显然m=2．当m=2时，此方程的解为：x1=1,x2=.22.如图，分别与相切于点，点在上，且，，垂足为．（1）求证：；（2）若的半径，，求的长（1）见解析（2）5【详解】解：（1）证明：如图，连接，则．∵，∴．∵，∴四边形是平行四边形．∴．（2）连接，则．∵，，，∴，．∴．∴．设，则．在中，有．∴．即．23.商场某种商品平均每天可销售30件，每件盈利50元．为了尽快减少库存，商场决定采取适当的降价措施．经调查发现，每件商品每降价1元，商场平均每天可多售出2件．设每件商品降价x元．据此规律，请回答：（1）商场日销售量增加件，每件商品盈利元（用含x的代数式表示）；（2）在上述条件不变、销售正常情况下，每件商品降价多少元时，商场日盈利可达到2100元？（1）2x，，（2）每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．【详解】（1）2x，．(2)解：由题意，得(30＋2x)(50－x)＝2100解之得x1＝15，x2＝20．∵该商场为尽快减少库存，降价越多越吸引顾客．∴x＝20．答：每件商品降价20元，商场日盈利可达2100元．24.省射击队为从甲、乙两名运动员中选拔一人参加全国比赛，对他们进行了六次测试，测试成绩如下表（单位：环）：第一次第二次第三次第四次第五次第六次甲10898109乙107101098（1）根据表格中的数据，计算出甲的平均成绩是环，乙的平均成绩是环；（2）分别计算甲、乙六次测试成绩的方差；（3）根据（1）、（2）计算的结果，你认为推荐谁参加全国比赛更合适，请说明理由．计算方差的公式：s2＝[(x1－)2＋(x2－)2＋＋(xn－)2]．（1）9，9；（2），；（3）甲，理由见解析．【分析】（1）平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数，所以甲的平均成绩＝（10＋8＋9＋8＋10＋8）÷6＝9，乙的平均成绩＝（10＋7＋10＋10＋9＋8）÷6＝9；（2）应用方差公式，直接计算即可；（3）方差就是和中心偏离的程度，用来衡量一批数据的波动大小在样本容量相同的情况下，方差越大，说明数据的波动越大，越不稳定，因此作出判断．【详解】解：（1）（1）甲：（10+8+9+8+10+9）÷6=9（环），乙：（10+7+10+10+9+8）÷6=9（环）；故9；9．（2）s2甲＝＝＝；s2乙＝＝＝．（3）推荐甲参加全国比赛更合适，理由如下：两人的平均成绩相等，说明实力相当；但甲的六次测试成绩的方差比乙小，说明甲发挥较为稳定，故推荐甲参加比赛更合适．本题主要考查了平均数的求法以及方差的求法，正确的记忆方差公式是解决问题的关键．25.如图，半圆O的直径AB=20，将半圆O绕点B顺针旋转45°得到半圆O′，与AB交于点P．（1）求AP的长；（2）求图中阴影部分的面积（结果保留π）．(1)20-10;(2)25π+50【分析】（1）先根据题意判断出△O′PB是等腰直角三角形，由锐角三角函数的定义求出PB的长，进而可得出AP的长；（2）根据S阴影=S扇形O′A′P+S△O′PB直接进行计算即可．【详解】解：（1）∵∠OBA′=45°，O′P=O′B，∴△O′PB是等腰直角三角形，∴PB=BO，∴AP=AB﹣BP=20﹣10；（2）阴影部分面积为：S阴影=S扇形O′A′P+S△O′PB=×π×100+10×10×=25π+50．本题考查的是扇形面积的计算及图形旋转的性质，解答此题的关键是根据旋转的性质得出S阴影=S扇形O′A′P′+S△O′PB．26.如图⊙O是△ABC的外接圆，∠ABC＝45°，延长BC于D，连接AD，使得AD∥OC，AB交OC于E．（1）求证：AD与⊙O相切；（2）若AE＝2，CE＝2．求⊙O的半径和AB的长度．（1）见解析；（2）AB＝．【分析】（1）连接OA，要证明切线，只需证明OA⊥AD，根据AD∥OC，只需得到OA⊥OC，根据圆周角定理即可证明；（2）设⊙O的半径为R，则OA=R，OE=R-2，AE=2，在Rt△OAE中根据勾股定理可计算出R=4；作OH⊥AB于H，根据垂径定理得AH=BH，再利用面积法计算出OH=，然后根据勾股定理计算出AH=，再利用垂径定理得出AB=2AH═．【详解】（1）连接OA，∵∠ABC＝45°，∴∠AOC＝2∠ABC＝90°，∴OA⊥OC；又∵AD∥OC，∴OA⊥AD，∴AD是⊙O的切线．（2）设⊙O的半径为R，则OA＝R，OE＝R﹣2，AE＝2，在Rt△OAE中，∵AO2+OE2＝AE2，∴R2+（R﹣2）2＝（2）2，解得R＝4，作OH⊥AB于H，如图，OE＝OC﹣CE＝4﹣2＝2，则AH＝BH，∵OH•AE＝•OE•OA，∴OH＝＝＝，在Rt△AOH中，AH＝＝，∵OH⊥AB，∴AB＝2AH＝．本题考查了切线的判定定理．综合运用了圆周角定理、等腰直角三角形的性质、等腰三角形的性质、30度的直角三角形的性质得到有关线段之间的关系，综合性较强，是中考常考体型.27.如果把一个自然数各数位上数字从最高位到个位依次排出一串数字，与从个位到最高位依次排出的一串数字完全相同，那么我们把这样的自然数叫做“和谐数”．例如：自然数64746从最高位到个位排出的一串数字是：6、4、7、4、6，从个位到最高排出的一串数字也是：6、4、7、4、6，所64746是“和谐数”．再如：33，181，212，4664，…，都是“和谐数”．（1）请你直接写出3个四位“和谐数”，猜想任意一个四位“和谐数”能否被11整除，并说明理由；（2）已知一个能被11整除的三位“和谐数”，设个位上的数字为x（，x为自然数），十位上的数字为y，求y与x的函数关系式．见解析，能被11整除；y=2x（1≤x≤4）【分析】根据“和谐数”的定义写出数字，然后设“和谐数”的形式为abcd，则根据题意得出a=d，b=c，然后将这个四位数除以11，将其化成代数式的形式，用a和b来表示c和d，然后得出答案，进行说明能被11整除；首先设三位“和谐数”为zyx，根据定义得出x=z，然后根据同上的方法进行计算．【详解】解：⑴、四位“和谐数”：1221，1331，1111，6666…（答案不唯一）任意一个四位“和谐数”都能被11整数，理由如下：设任意四位“和谐数”形式为：，则满足：最高位到个位排列：个位到最高位排列：由题意，可得两组数据相同，则：则∴四位“和谐数”能被11整数又∵任意自然数，∴任意四位“和谐数”都可以被11整除⑵、设能被11整除的三位“和谐数”为：，则满足：个位到最高位排列：最高位到个位排列：由题意，两组数据相同，则：故为正整数∴考点：新定义题型、代数的应用、一次函数的应用．28.如图，以点P