圆和三角函数及相似练习题

......1313圆和三角函数及相似练习题1、如图11,AB是。。的弦，D是半径OA的中点，过D作CDLOA交弦AB于点E,交。。于F,且CE=CB(1)求证：BCD。是的切线；(2)连接AF、BF,求/ ABF的度数；(3)如果CD=1§ BE=10, sinA=—,求。O2、如图，AB是。0的直径，C是。0上的一点，直线MN经过点C,过点A作直线MN的垂线，垂足为点D,且/BAC=/DAC. (1)猜想直线MN与。0的位置关系，并说明理由；(2)若CD=6,cos=/ACD=/,求。0的半径. / \3、已知：如图，AB是。。的直径，C是。。上一点，ODLBC于点D,过点C作。。的切线，交OD的延长线于点E,连ZBE.(1)求证：BE与。。相切；(2)连结AD并延长交BE于点F,若OB9,sinABC-,求BF的长.7、7、如图11,AB是。。的弦，D是半径OA的中点，过D作CDLOA交弦AB于点E,交O。于F,且CE=CB.......4、如图，已知。O的直径AB与弦CD相交于点E4、如图，已知。O的直径AB与弦CD相交于点E求证：CD//BF;(2)若。O的半径为5,cos/BCD=4,求线段AD的长.5F,过点B作F,过点B作PO的垂线BA,垂足为点D,5题图5、如图，PB为。。的切线，B为切点，直线PO交。。于点E,交。。于点A,延长AO与。。交于点C,连接BC,AF.(1)求证：直线PA为。。的切线；(2)试探究线段EF,OD,OP之间的等量关系，并加以证明；(3)若BC=6,tan/F=-,求cos/ACB的值和线段PE的长.26、如图，AB是。O的直径，弦CDXAB于H,过CD延长线上一点连接AG交CD于K.(1)求证：KE=GE;(2)若KG2=KD-GE,试判断AC与EF的位置关系，并说明理由;(3)在(2)的条件下，若sinE=3,AK=2后,求FG的长.5(1)求证：BC3。是的切线；。。的半径。(2)连接AF、BF,求/ABF的度数；(3)如果CD=155BE=10,sinA二一,求13V//图1r3、【解析】圆与直线的位置关系；相似和三角函数【答案】(1)证明：连结OC•.ODXBC所以/EOC=/EOB在AEOC和AEOB中OCOBEOCEOBOEOE・•.△EOC^AEOB(SAS)OBE=/OCE=90°BE与。O相切(2)解：过点D作DHLAB△ODH^AOBDOD:OB=OH:OD=DH:BD2又..sin/ABC=一3OD=6，OH=4,OH=5,DH=275又△ADHs^afb•.AH:AB=DH:PB13:18=2.5:FB36.5FB= 13【点评】（1）利用全等三角形求出角度为90。，即得到相切的结论。（2）利用三角形相似和三角函数求出三角形各线段的长。4分析】（1）由BF「是圆。的切线，AB是圆。的直径，根据切线的性质，可得到BFXAB,然后利用平行线的判定得出CD//BF（2）由AB是圆O的直径，得到/ADB=90o,由圆周角定理得出/ BAD=/BCD,再根据三角函数ADcos/BAD=cos/BCD=—=AB即可求出AD的长【解析】（1）证明：:BF是圆O的切线，AB是圆O的直径••BFXAB.CDXAB•.CD//BF,.,.,.,.(2)解：.AB是圆O的直径/ADB=90o••圆O的半径5•.AB=10••/BAD=/BCD4AD•.cos/BAD=cos/BCD=—= 5AB._ __ _4ADcosBADAB—10=85.AD=8【点评】本题考查了切线的性质、圆周角定理和解直角三角形，此题难度适中。圆是一个特殊的几何体，它有很多独到的几何性质，知识点繁多而精粹。圆也是综合题中的常客，不仅会联系三角形、四边形来考察，代数中的函数也是它的友好合作伙伴。因此圆在中考中占有重要的地位，是必考点之一。在近几年各地的中考中，圆的有关性质，如垂径定理、圆周角、切线的判定与性质等一般以计算或证明的形式考查，与圆有关的应用题、阅读理解题、探索存在性问题仍是中考命题的热点5【解析】（1）要证PA是。。的切线，只要连接OB,再证/PAO=/PBO=90°即可.（2）OD,OP分别是RtAOAD,Rt^OPA的边，而这两个三角形相似且这两边不是对应边，所以可证得 OA2=ODOP,再将EF=2OA代入即可得出EF,OD,OP之间的等量关系.（3）利用tan/F=1,得出AD,OD之间的2关系，据此设未知数后，根据 AD=BD,OD=1BC=3,AO=OC=OF=FD—OF,将AB,AC也表达成含2未知数的代数式，再在 ABC中运用勾股定理构建方程求解.【答案】解：（1）证明：如下图，连接OB,PB是。。的切线，PBO=90°.••OA=OB,BA^PO于D,AD=BD,/POA=/POB.又「PO=PO,.・.△PAO^APBO.・•・・•・直线PA为。。的切线.证明：・./PAO=ZPDA=90°,•.ZOAD+ZAOD=90°,/OPA+/AOP=90°../OAD=/OPA./.AOAD^AOPA....OD=OA,即OA2=OD-OP.OAOP又..EF=2OA,••.EF2=4ODOP.

OA=OC,AD=BD,BC=6,•.OD=2BC=32设AD=x,•••tanZF=1,，FD=2x,OA=OF=2x-3.2在Rt^AOD中，由勾股定理，得（2x—3）2=x2+32.解之得，xi=4,x2=0（不合题意，舍去）.AD=4,OA=2x-3=5..「AC是。O的直径，，/ABC=90°.而AC=2OA=10,BC=6,cosZACB=—=—.10 5,.OA2=ODOP,•.3（PE+5）=25.PE=—.3【点评】本题考查了切线的判定、相似三角形的判定和性质以及勾股定理等知识，综合性很强，并富有探究性.要证某线是圆的切线，若已知此线过圆上某点，连接圆心与这点（即为半径），再证垂直即可；若此线与圆的切点未知，可以过圆心作这条直线的垂线段（即为垂直），再证半径即可.另外，与圆有关的探究、计算问题，多与相似三角形和勾股定理有关，上来从这方面着手分析思考，有利于思路的快速打开.6、解析：利用切线的性质和等边对等角可以证明/ EGK=/EKG,然后根据等角对等边，即可证明第（ 1）小题；对于第（2）小题，可以先由等积式得到比例式，然后得到三角形相似，根据角的关系可以判断两条直线的位置关系；对于第（ 3）小题，可以先利用方程的思想求出相关线段的长，然后利用三角函数求FG的长。答案：（1）如下图，连接OG,•••EG是OO的切线OG±GE/OGK+/EGK=90CD±AB/OAG+/AKH=90OG=OA/OGK=/OAG/EGK=/AKH=/EKGKE=GE;AC//EF理由如下：2KG=KD-GE,GE=KE2KG=KD-GE,GE=KEKGKDKEKG△KGD^AKGE./KGD=/E/KGD=ZCE=ZCAC//EF（3）二.在（2）的条件下,AC//EF

./CAF=/F,/E=/C3sinE=一5sinC=—,sinF=—,tanE=tanC=—5 5 4N,交。。于Q连接BG,过G作GNLABN,交。。于Q设AH=3k,贝UCH=4k2 2CH16k 16k/BH+AH25k于是BH= = = ,OG= = AH3k3 2 6.「EG是切线，CDLAB./OGF=90°./FOG+ZF=ZE+/F./FOG=ZETOC\o"1-5"\h\zNG=OGsin/FOG=型3=5k6 5 225k 45k.BN=OB-ON=OG-OGcosZFOG=-1- =-6 5 6•••BG=,NG2+BN2=5k106点评：本题的第(3)小题是一道大型综合题，且运算量较大，属于较难题；但是，前两个小题比较基础,同学们应争取做对。7、【解析】(1)连接OB，证OBLBG即证/OBE廿EBC=90。通过OA=OBCE=CB/AED至BEG可将/OBE/EBC分另1J转化为/A、/AER结合CDLOA可证/OBE吆EBC=90;(2)连接OF,由CD垂直平分OA得AF=OF=OA再结合圆心角与圆周角关系易求/ ABF的度数；，5(3)作CGLBE于G,得/A=ZECGCG^BE垂直平分线，由CD=15BE=10,sinA=—,可求EGCECG13DE长度，通过△AD曰△CGEnT求AD,从而计算半径OA......【答案】(1)证明：连接OB OA=OB/A=ZOBE-CE=CB../CEBhEBG-/AED=/EBG，/AED=/EBG又血OA/A+/AEDhOBA廿EBC=90,BCDO是的切线；(2)..CD垂直平分OAOF=AF又OA=OFOA=OF=AF，/O=6(J,/ABF=30°;5(3)作CGLBE于G,贝U/A=/ECG-CE=CBBD=1Q..EG=BG=5「sinECG=sinA=—,•.CE=13,CG=12.13TOC\o"1-5