(06)第6章++统计量及其抽样分布

第6章章统统计量量及其其抽样样分布布6.1统统计量量6.2关关于分分布的的几个个概念念6.3由由正态态分布布导出出的几几个重重要分分布6.4样样本均均值的的分布布与中中心极极限定定理6.5样样本比比例的的抽样样分布布学习目目标了解统统计量量及其其分布布的几几个概概念了解由由正态态分布布导出出的几几个重重要分分布理解样样本均均值的的分布布与中中心极极限定定理掌握样样本比比例的的抽样样分布布6.1统计量量6.1.1统统计量量的概概念6.1.2常常用统统计量量6.1.3次次序统统计量量6.1.4充充分统统计量量统计量量(statistic)设X1,X2,…,Xn是从总总体X中抽取取的容容量为为n的一个个样本本，如如果由由此样样本构构造一一个函函数T(X1,X2,…,Xn)，不不依赖赖于任任何未未知参参数，，则称称函数数T(X1,X2,…,Xn)是一一个统统计量量，其作用用是把把样本本中有有关总总体的的信息息汇集集起来来。样本均均值、、样本本比例例、样样本方方差等等都是是统计计量统计量量是样样本的的一个个函数数统计量量是统统计推推断的的基础础常用统统计量量样本均均值、、样本本方差差、样样本变变异系系数等等矩：在统统计学学中，，矩是是指以以期望望值为为基础础而定定义的的数字字特征征。矩矩可以以分为为原点点矩和和中心心距两两种。。样本均均值为为一阶阶原点点矩；；样本方方差为为二阶阶中心心距。。次序统统计量量（顺顺序统统计量量）一组样本本观测测值X1,X2,…,Xn由小到到大的的排序序X（1））≤X（2））≤…≤≤X（i））≤…≤≤X（n））后，称称X（1）），X（2）），…，，X（n））为次序序统计计量中位数数、分分位数数、四四分位位数等等都是是次序序统计计量充分统统计量量定义：：统计计量加加工过过程中中一点点信息息都不不损失失的统统计量量通常常称为为充分分统计计量例：P1596.2关于分分布的的几个个概念念6.2.1总总体分分布6.2.2样样本分分布6.2.3抽抽样分分布6.2.4渐渐进进分布布6.2.5随随机模模拟获获得的的近似似分布布总体：：是我我们所所关心心的若若干个个元素素（个个体））的集集合。。总体体中每每个元元素的的取值值是不不同的的，这这些观观察值值所形形成的的分布布就是是总体体分布布。总体分分布：总体体中各各元素素的观观察值值所形形成的的相对对频数数分布布，称称为总总体分分布。。总体分分布(populationdistribution)总体：：是我我们所所关心心的若若干个个元素素（个个体））的集集合。。总体体中每每个元元素的的取值值是不不同的的，这这些观观察值值所形形成的的分布布就是是总体体分布布。总体分分布：总体体中各各元素素的观观察值值所形形成的的相对对频数数分布布，称称为总总体分分布。。总体分分布(populationdistribution)样本:是从从总体体中所所抽取取的部部分元元素的的集合合样本分分布：从总总体中中抽取取一个个容量量为n的样样本，，由这这n个个观察察值形形成的的相对对频数数分布布，称称为样样本分分布。。注意：样本本来自自总体体，其其中包包含着着总体体的一一些信信息和和特征征，因因此样样本分分布也也称为为经验验分布布。注注意与与抽样样分布布是不不同的的概念念。样本分分布(sampledistribution)抽样分分布：：某个个样本本统计计量的的抽样样分布布，从从理论论上说说就是是在重重复选选取容容量为为n的的样本本时，，由该该统计计量的的所有有可能能取值值形成成的相相对频频数分分布。。从一般般意义义上，，抽样样分布布就是是指样样本统统计量量的概概率分分布。。例如如，样样本均均值的的分布布、样样本比比例的的分布布、样样本方方差的的分布布等都都称为为抽样样分布布。下下面重重点介介绍样样本均均值的的抽样样分布布。抽样分分布(samplingdistribution)渐近分布P160近似分布P160(了解)6.3由正态分布布导出的几几个重要分分布6.3.12分布6.3.2t分布6.3.3F分布2分布由阿贝(Abbe)于1863年首先给出出，后来由由海尔墨特特(Hermert)和卡·皮尔逊(K·Pearson)分别于1875年和1900年推导出来来设，，则令，，则Y服从自由度度为1的2分布，即当总体，，从中中抽取容量量为n的样本，则则2分布(2distribution)分布的变量量值始终为为正分布的形状状取决于其其自由度n的大小，通通常为不对对称的正偏偏分布，但但随着自由由度的增大大逐渐趋于于对称期望为：E(2)=n，方差为：：D(2)=2n(n为自由度)可加性：若若U和V为两个独立立的2分布随机变变量，U~2(n1)，V~2(n2),则U+V这一随机变变量服从自自由度为n1+n2的2分布2分布(性质和特点点)c2分布(图示)不同容量样本的抽样分布c2n=1n=4n=10n=20t分布t分布高塞特(W.S.Gosset)于1908年年在一篇以以“Student”(学生生)为笔名名的论文中中首次提出出t分布是类似似正态分布布的一种对对称分布，，它通常要要比正态分分布平坦和和分散一个特定的的分布依赖赖于称之为为自由度的的参数。随随着自由度度的增大，，分布也逐逐渐趋于正正态分布t分布图示xt

分布与标准正态分布的比较t分布标准正态分布t不同自由度的t分布标准正态分布t(df=13)t(df=5)zF分布由统计学家家费希尔(R.A.Fisher)提出的，以以其姓氏的的第一个字字母来命名名设若U为服从自由由度为n1的2分布，即U~2(n1)，V为服从自由由度为n2的2分布，即V~2(n2),且U和V相互独立，，则称F为服从自由由度n1和n2的F分布，记为为F分布(Fdistribution)F分布(图示)不同自由度度的F分布F（1,10)(5,10)(10,10)6.4样本均值的的分布与中中心极限定定理在重复选取取容量为n的样本时，，由样本均均值的所有有可能取值值形成的相相对频数分分布一种理论概概率分布推断总体均均值的理论基础础样本均值的的抽样分布布样本均值的的抽样分布布(例题分析析)【例】设一个总体体，含有4个元元素(个体体)，即总体单单位数N=4。4个个体分别别为x1=1，x2=2，x3=3，x4=4。总体的均均值、方差差及分布如如下总体分布14230.1.2.3均值和方差差样本均值的的抽样分布布(例题分析析)现从总体中中抽取n＝2的简单单随机样本本，在重复复抽样条件件下，共有有42=16个样样本。所有有样本的结结果为3,43,33,23,132,42,32,22,124,44,34,24,141,441,33211,21,11第二个观察值第一个观察值所有可能的n=2的样本（共16个）样本均值的的抽样分布布(例题分析析)计算出各样样本的均值值，如下表表。并给出出样本均值值的抽样分分布3.53.02.52.033.02.52.01.524.03.53.02.542.542.03211.51.01第二个观察值第一个观察值16个样本的均值（x）x样本均值的抽样分布1.000.10.20.3P

(x)1.53.04.03.52.02.5样本均值的的分布与总总体分布的的比较(例题分析析)=2.5σ2=1.25总体分布14230.1.2.3抽样分布P(x)1.00.1.2.31.53.04.03.52.02.5x样本均值的的抽样分布布

与中心心极限定理理=50

=10X总体分布n=4抽样分布xn=16当总体服从从正态分布布N(μ,σ2)时，来自自该总体的的所有容量量为n的样本的均均值x也服从正态态分布，x的数学期望望为μ，方差为σ2/n。即x～N(μ,σ2/n)中心极限定定理(centrallimittheorem)当样本容量足够大时(n

30)，样本均值的抽样分布逐渐趋于正态分布中心极限定定理：设从从均值为，方差为2的一个任意意总体中抽抽取容量为为n的样本，当当n充分大时，，样本均值值的抽样分分布近似服服从均值为为μ、方差为σ2/n的正态分布布一个任意分布的总体x中心极限定定理(centrallimittheorem)x的分布趋于于正态分布布的过程抽样分布与与总体分布布的关系总体分布正态分布非正态分布大样本小样本正态分布正态分布非正态分布样本样本均值的的抽样分布布(数学期望望与方差)样本均值的的数学期望望样本均值的的方差重复抽样不重复抽样样样本均值的的抽样分布布(数学期望望与方差)比较及结论论：1.样本本均值的均均值(数学学期望)等等于总体体均值2.样本本均值的方方差等于总总体方差的的1/n均值的抽样样标准误差差所有可能的的样本均值值的标准差差，测度所所有样本均均值的离散散程度也称标准误误差小于总体标标准差计算公式为为样本比例的的抽样分布布定义：总体体(或样本本)中具有有某种属性性的单位与与全部单位位总数之比比不同性别的的人与全部部人数之比比合格品(或或不合格品品)与全全部产品总总数之比总体比例可可表示为样本比例可可表示为比例(proportion)样本比例（即成数）的抽样分分布（简称称比例分布布）抽样总体样本比例X,(N)比例=Ni/Nx,(n)所有可能的的样本的比比例（））所形成成的分布，，称为样本本比例的抽抽样分布。。在重复选取取容量为的的样本时，，由样本比比例的所有有可能取值值形成的相相对频数分分布一种理论概概率分布当样本容量量很大时，，样本比例例的抽样分分布可用正正态分布近近似推断总体比比例的理论基础础样本比例的的抽样分布布样本比例的的数学期望望样本比例的的方差重复抽样根据中心极极限定理，，只要样本本足够大，，的分布