排列组合(答案)

一.重点、难点：加法原理、乘法原理解决复杂问题时，若采用分步完成，则用乘法原则，若采用分类完成，则用加法原则。2.将2.将n个不同元素排成一列，为An■n!nn!3.从n个不同元素中选出m个排成一列为Am■3.n（nIm）!从n个不同元素中，任取m个组成一组。「1n!Cm■nm!（nIm）!5.Am■Cm5.Am■CmAmnnmCm■Cn-nCm■Cm・■Cnnnn__nIm一Cm■■——CmnmI1n6.C3■12010C3■84（无0）9讨论b■16.C3■12010C3■84（无0）9讨论b■1，2，3……90■1■2■2■3■…■8B9■240（4）讨论b■0，1，2……992■82■…■12■02■285［例2］3个国家种。解：每国2个共六人站成一排,要求同一国家的两个人不相邻,有不同的排法讨论（1（1（1,4）,4）,3）,（2（2（2,5）,6）,5）,（4,6）（3,6）（3,5）nnCm■——CmCm■—Cm・nnImnI1nmnI1解决排列、组合的基本方法从“特殊元素”与“特殊位置”入手分清“有序”与“无序”分清“分组”与“分配”及平均分组问题直接法（分类）间接法（从所有可能中排除）逆归与叠代【典型例题】［例1］三位数。儿，若a■b■。，则abc称为渐升数，若a■b■c,则abc为渐降数，若a■b，b■c称为凸数，若a■b，b■c称为凹数，求四种数各有多少个。解：规定顺序即设有顺序(1，5)，(2，4)，(3，6)(1，6)，(2，4)，(3，5)・•.5■A3■A2■A2■A2■2403222［例3］甲班组共十六名工人，从中选出七人参加植树。A必在其中的选法C6■500515A必不在其中的选法C7■643515A、B同时在其中的选法C5■182014A、B至少有一人在其中的选法C7■C7■C6■C6■C5■11440■3432■80081614141414［例4］从1,2,3.100这100个数中，任取两数相乘(不考虑顺序)积可被3整除的有多少个？积可被9整除的有多少个？不能被3整除，67个能被3整除不能被9整除，22个能被9整除，11个C2■C2■273910067C2■C1■C1■C2■126511118922［例5］七名学生站成一排照相(高矮不同)(1)站成一排有多少种不同的站法(2)站成两排(前三后四)有多少种不同站法(3)站成一排，甲乙必须相邻(4)站成一排，甲乙不相邻(5)甲在乙左边(6)甲乙之间间隔两人(7)甲不在左边第一个且乙不在右边第一个(8)从中选出四人站一成一排，左边比右边高答案：(1)A7■50407(2)A3■A4■A7■5040747(3)A2■A6■144026A5■C2■A2■A7■A2■a6■3600562726(5)A7/2■25207(6)A2A2A4■960524(7)A7■A6■A6■A5■A1■C1C1■A5■372076656555(8)C4■357［例6］典型问题：六个球，投入四个盒子，有多少种不同方法。(1)球不同，盒不同(2)球不同，盒不同，每盒不空(3)球相同，盒不同(4)球相同，盒不同，每盒不空(5)球不同，盒相同，每盒不空(6)球相同，盒相同解：(1)46■4096(2)只有(3，1，1，1)，(2，2，1，1)两种・•・C3A4■C2C2A4/2!■156064644(3)C3■849(4)C3■105(5)分组(3，1，1，1)，(2，2，1，1)・•.C3■C2C2/2!■65664(6)9只有(6，0，0，0)，(5，1，0，0)，(4，2，0，0)(4，1，1，0)，(3，3，0，0)，(3，2，1，0)(3，1，1，1)，(2，2，2，0)，(2，2，1，1)［例7］已知f是集合A,b,gd■到集合B■■0,1,21的映射。(1)不同的映射f有多少个？(2)若要求ff-f1fd.4，则不同的映射f有多少个？解析：(1)A中每个元素都可选0、1、2三者之一为像，由分步计数原理，共有34■81(个)不同的映射。(2)根据a,b,c,d对应的像为2的个数来分类，可分为三类：第1类：没有元素的像为2，其和又为4，故其像都为1，这样的映射只有1个；第2类：一个元素的像是2,其余三个元素的像必为0、1、1,这样的映射有■1243（个）；第3类：两个元素的像是2,另两个元素的像必为0,这样的映射有C2■6（个）。4由分类计数原理,共有1+12+6=19（个）［例8］从1到100的自然数中,每次取出不同的两个数,使它们的和大于100,则不同的取法有多少种？解析：从1，2，3，…，97，98，99，100中取出的数中有1，由1+100>100知，取法数为1种；取出2，V2+100>100，2+99>100，取法有2种；取出3,取法数为3种；•…取出50,750+51>100,50+52>100,…，50+100>100,取法有50种；所以取出的数字含1至50时，共得取法数N1=1+2+3+…+50=1275种。第二类，从51至100中任取两个数字，其和都大于100,A有不同取法N=C2■1225250种，故总的取法有N=N1+N2=2500种。［例9］某体育彩票规定：从01至36共36个号中抽出7个号为一注，每注2元。某人想从01至10中选3个连续的号，从11至20中选2个连续的号，从21至30中选1个号，从31至36中选1个号组成一注，则这人把这种特殊要求的号买全，至少要花（）A.3360元B.6720元C.4320元D.8640元答案：D解析：据分步计算原理，买全号共需要8X9X10X6X2=8640元，故选D。［例10］球台上有4个黄球，6个红球，击黄球入袋记2分，击红球入袋记1分，欲将此十球中的4球击入袋中，但总分不低于5分，击球方法有几种？■X■y■4解析：设击入黄球x个，红球y个符合要求，则有.二.<（x,y■N），得1■x■4■2x■y■5.IX■1IX■2IX■3IX■4■■y■3,■■y■2,■■y■1,■■y■0相应每组解（x,y）,击球方法数分别为C1C3,C2C2,C3C1,C4CoTOC\o"1-5"\h\z46464646共有不同击球方法数为C1C3■C2C2■C3C1■C4C0■19546464646［例11］已知集合A={x11■x■9,且x■N},若p,q■A,e■logq，则以e为离心率p的不同形状的椭圆有（）A.25个B.26个C.27个D.28个答案：B解析：由于e■10,e.,.9■p■q■1当q■2时，p・3、4、…、9,椭圆的不同形状有7个;当q■3时，p・4、5、…、9,椭圆的不同形状有6个;当q■4时，p■、6、…、9,椭圆的不同形状有5个；当q=5时，p=6、7、8、9,椭圆的不同形状有4个；当q=6时，p=7、8、9,椭圆的不同形状有3个；当q=7时，p=8、9,椭圆的不同形状有2个；当q=8时，p=9,椭圆的不同形状有1个；其中log2■log3,log2■log44939，共有（7+6+5+4+3+2+1）—2=26个点评：上面用的枚举解法，也可由p,q■A,e■logq■■051■口9■p■q■1,因p此问题成为从2至9这8个数字中任取两个数字并作一组的不同取法。•・有C2■2■26个。8[例12]已知20Cn■4n-4■Cn・■15A2，则n■。n15nIEnIE解：・・・20Cn■4,■41Cn■■20[C5■-n■4IC4]n15nIEnIE5nIE20C5■C5，20C4nH5n*n*•.20C4■15A2n*nIE20・.4m311nl211nl1"■.■即■15n■3，r214!解得n■2（n舍去）填2点评：（1）本题是组合数公式的应用,关键是公式的选择,还要注意组合数性质在化简中的功能。n（2）特别注意：①Cm■Cm■■Cm11:②Cm■—Cm,;③Am■Cmim!nnnHnmn■nn[例13]3个人坐在一排8个座位上，若每人的两边都要有空位，则不同的坐法种数为。解析：把5个空位看作5个1,3个人为2、3、4,问题变为这8个数字排一列，2、3、4不相邻,且不排在两头,只须在5个1形成的4个空位中选3个排上2、3、4。•・共A3■24种排法。4答案：24[例14]一条街道上共有10盏路灯,为节约用电又不影响照明,决定每天晚上10点熄灭其中的4盏,并且不能熄灭相邻两盏也不能熄灭两头两盏,问不同熄灯方法有多少种。解析：记熄灭的灯为0,亮灯为1,则问题是4个0和6个1的一个排列,并且要求0不相邻,且不排在两端,故先将1排好,在6个1形成的5个空中,选取4个插入0,共有方法数C5■5种。[例15]在由数字1,2,3,4,5组成的所有没有重复数字的5位数中,大于23145且小于

43521的数共有（）A.56个B.57个C.58个D.60个解答：本题主要考查排列知识及分类计数原理。比23145大且比43521小的数可以分为三类一类以3开头的数有：A4■24种4二类以2开头的数有：A3■A3■.3・1.17种333三类以4开头的数有：A3■A3■■13・1.17种333据分类计数原理共有24+17+17=58种。故选C。[例16]某中学拟于下学年在高一年级开设《矩阵与变换》、《信息安全与密码》、《开关电路与布尔代数》等三门数学选修课程。在计划任教高一的10名数学教师中，有3人只能任教《矩阵与变换》，有2人只能任教《信息安全与密码》，另有3人只能任教《开关电路与布尔代数》，这三门课程都能任教的只有2人。现要从这10名教师中选出9人，分别担任这三门选修课的任课教师，且每门课程安排3名教师任教，则不同的安排方案共有（）A.8种B.12种C.14种D.16种解答：按逻辑顺序作出如下图所示的文氏图表，从中选出9人，因为只去掉一位教师，可考虑到哪位教师没有任教，共分4类，第一类只能任教信息安全与密码的2位教师中有1位没有任教，则必须由中间的两人补充信息安全与密码课程，有C1种选法；第二类中间两人中有1位教师没有任教，则还有1人只能去任教信息安全与密码课程，有C1种选法；第三类只能任教矩阵与变换的3位教师中有1位没有任教，则必须在中间2位中选1位来补充，共有Ci■C1种选法；第四类只能任教开关电路与布尔代数的3位教师中有1位没有任教，32则必须在中间2位中选则必须在中间2位中选1位来补，共有Ci■Ci种选法，故共有Ci■Ci■Ci■Ci■Ci3222232■CI-16种选法，即应选D。开关电胳3\与布六代功【模拟试题】（答题时间：45分钟）.甲、乙、丙3位同学选修课程，从4门课程中，甲选修2门，乙、丙各选修3门，则不同的选修方案共有（）A.36种B.48种C.96种D.192种.在下图的1X6矩形长条中涂上红、黄、蓝三种颜色，每种颜色限涂两格，且相邻两格不同色，则不同的涂色方法共有（）A.90种B.54种C.30种D.45种

.在ax・1・展开式中含x4项的系数为一35,则a为（）D.■D.■2A.■1B.-1C.■一2.6人站成一排，若调换3个人的位置，有多少种不同的换法（）A.40B.60C.120D.240.如图所示的阴影部分是由方格纸上的4个相邻的方格组成的T形图案，那么在由4X5个小方格组成的方格纸上可以画出不同位置的T形图案的个数是（）A.17个B.34个C.32个D.16个6.在■1■6.在■1■xx・・％x■的展开式中，x4的系数是通项公式为a■3n■5的数列的（）A.第20项B.第18项C.第11项D.第3项7.已知函数y■ax2■bx■c,其中a,b,c■.1,2,3,4.则不同的二次函数的个数共有（）A.125B.15C.100D.10.一个口袋内有4个不同的红球,6个不同的白球,若取一个红球记2分,取一个白球记1分,从中任取5个球,使总分不少于8分的取法有（）A.6种B.60种C.66种D.186种.3名医生和6名护士被分配到3所学校为学生体检,每校分配1名医生和2名护士,不同的分配法共有（）A.90种B.180种C.270种D.540种.已知.2■上II的展开式中第三项与第五项的系数之比为■3-，其中i2■■，则■xI14展开式中常数项是（）A.■45iB.45iC.■45D.45.若Ex■-■展开式中含—项的系数与含—项的系数之比为一5,则n等于（）■x■x2x4A.4B.6C.8D.10.集合A■%x■Ci,n是非负整数■，集合B=.2,3,4■则下列结论正确的是（）4A.A■B■{0,1,2,3,4}b.AIB

C.A■B■{1,4}D.AIB安排7位工作人员在5月1日至5月7日值班，每人值班一天，其中甲、乙二人都不安排在5月1D.AIB42X2■的展开式中常数项为。（用数字作答）■x■15.将数字1,2,3,4,5,6排成一列，记第i个数为a.1,2,■,6.若a■1,a■3，i13a■5,a■a■a，则不同的排列方法有种。（用数字作答）5135.如图所示，某小花园中间为喷水池，喷水池周围的A、B、C、D区域种植4种不同颜色的草皮，且相邻的区域不种同一种颜色的草皮，则共有种不同的种植方法。（以数字作答）o.有6本不同的书。（1）甲、乙、丙3人每人2本,有多少种不同的分法？（2）分成3堆,每堆2本,有多少种不同的分堆方法？（3）分成3堆,一堆1本,一堆2本,一堆3本,有多少种不同的分堆方法？（4）分给甲、乙、丙3人,一人1本,一人2本,一人3本,有多少种不同的分配方法？（5）分成3堆,有2堆各1本,另一堆4本,有多少种不同的分堆方法？（6）摆在3层书架上,每层2本,有多少种不同的摆法？.现有A、B、C、D、E、F、G、H共8位同学站成一排照像，要求学生A、B相邻，C、D相邻，而G、H不相邻，这样的排队照像方式有（）A.36种B.48种C.42种D.1920种.某车间有11个工人,其中5名男工是钳工,4名女工是车工,另外2位老师傅既能当钳工又能当车工。现在从这11名工人中选派4名钳工和4名车工修理一台机床,有多少种不同的选派方法？.四面体ABCD的顶点和各棱的中点共10个点。（1）设一个顶点为A,从其它9点中取3个点，使它们和点A在同一平面上，不同的取法有多少种？（2）在这10点中取4个不共面的点,不同的取法有多少种？【试题答案】C2.C3.A4.A5.B6.A7.C8.C9.D10.DB12.C13.240014.－4215.3016.8417.解答：（1）在6本书中,先取2本给甲,再从剩下4本书中取2本给乙,最后2本给丙，共有C2C2C2■90（种）。642C2C2(2)6本书平均分3堆，用上述方法重复了A3倍，故共有—d■15(种)3A33(3)从6本书中，先取1本作一堆，再在剩下的5本中取2本作一堆，最后3本作一堆，共有CiC2■60(种)65(4)在(3)的分堆中，甲、乙、丙3人各取1堆，共有CiC2A3■360(种)653CiCi(5)平均分堆要除以堆数的全排列数，不平均分堆则不除，故共有土」■15(种)A22(6)本题即为6本书放在6个位置上，共有A6■720(种)6.解析：把A，B看成是一个整体有A2种站法，c，d也看成一个整体有A2种站法，再22把AB、CD、E、F四