浙江专版2022学年高中数学第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义学案新人教A版必修4

（浙江专版）2021学年高中数学第二章平面向量2.2.2向量减法运算及其几何意义学案新人教A版必修4

PAGE

PAGE

20

2．2.2向量减法运算及其几何意义

预习课本P85～86，思考并完成以下问题

(1)a的相反向量是什么？

(2)向量的减法运算及其几何意义是什么？

eq\a\vs4\al([新知初探])

1．相反向量

与a长度相等、方向相反的向量，叫做a的相反向量，记作－a.

(1)规定：零向量的相反向量仍是仍是零向量；

(2)－(－a)＝a；

(3)a＋(－a)＝(－a)＋a＝0；

(4)若a与b互为相反向量，则a＝－b，b＝－a，a＋b＝0.

[点睛]相反向量与相等向量一样，从“长度”和“方向”两方面进行定义，相反向量必为平行向量．

2．向量的减法

(1)定义：a－b＝a＋(－b)，即减去一个向量相当于加上这个向量的相反向量．

(2)几何意义：以O为起点，作向量＝a，＝b，则＝a－b，如图所示，即a－b可表示从向量b的终点指向向量a的终点的向量．

[点睛]在用三角形法则作向量减法时，只要记住“连接向量终点，箭头指向被减向量”即可．

eq\a\vs4\al([小试身手])

1．判断下列命题是否正确．(正确的打“√”，错误的打“×”)

(1)两个向量的差仍是一个向量．()

(2)向量的减法实质上是向量的加法的逆运算．()

(3)向量a与向量b的差与向量b与向量a的差互为相反向量．()

(4)相反向量是共线向量．()

答案：(1)√(2)√(3)√(4)√

2．非零向量m与n是相反向量，下列不正确的是()

A．m＝n B．m＝－n

C．|m|＝|n| D．方向相反

答案：A

3．化简－＋＋的结果等于()

A．B．C．D．

答案：B

4．在平行四边形ABCD中，向量的相反向量为______．

答案：，

向量的减法运算

[典例]化简：(1)(－)－(－)；

(2)(＋＋)－(－－)．

[解](1)(－)－(－)

＝(＋)－(＋)＝－＝0.

(2)(＋＋)－(－－)

＝(＋)－(－)＝－＝0.

(1)向量减法运算的常用方法

(2)向量加减法化简的两种形式

①首尾相连且为和；

②起点相同且为差．

做题时要注意观察是否有这两种形式，同时要注意逆向应用．

[活学活用]

化简下列各式：

(1)－－；

(2)＋－；

(3)－－.

解：(1)－－＝＋＝.

(2)＋－＝－＝.

(3)－－＝＋＋＝＋＋＝.

向量的减法及其几何意义

[典例]如图，已知向量a，b，c不共线，求作向量a＋b－c.

[解]法一：如图①所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，则＝a＋b－c.

法二：如图②所示，在平面内任取一点O，作＝a，＝b，则＝a＋b，再作＝c，连接OC，则＝a＋b－c.

求作两个向量的差向量的两种思路

(1)可以转化为向量的加法来进行，如a－b，可以先作－b，然后作a＋(－b)即可．

(2)也可以直接用向量减法的三角形法则，即把两向量的起点重合，则差向量为连接两个向量的终点，指向被减向量的终点的向量．

[活学活用]

在本例的条件下作出向量：

①a－b＋c；②a－b－c.

解：如图所示．

利用已知向量表示未知向量

[典例]如图所示，四边形ACDE是平行四边形，B是该平行四边形外一点，且＝a，＝b，＝c，试用向量a，b，c表示向量，，.

[解]因为四边形ACDE是平行四边形，

所以＝＝c，＝－＝b－a，

故＝＋＝b－a＋c.

[一题多变]

1．[变设问]本例条件不变，试用向量a，b，c表示与.

解：＝－＝c－a，

＝－＝c－b.

2．[变条件]

本例中的条件“点B是该平行四边形ACDE外一点”若换为“点B是平行四边形ACDE内一点”，其他条件不变，其结论又如何呢？

解：因为四边形ACDE是平行四边形，

所以＝＝c，＝－＝b－a，

＝＋＝b－a＋c.

用几个基本向量表示其他向量的一般步骤

(1)观察待表示的向量位置；

(2)寻找相应的平行四边形或三角形；

(3)运用法则找关系，化简得结果．

层级一学业水平达标

1．在三角形ABC中，＝a，＝b，则＝()

A．a－b B．b－a

C．a＋b D．－a－b

解析：选D＝－＝－－＝－a－b.

2．在△ABC中，||＝||＝||＝1，则|－|的值为()

A．0 B．1

C.

eq\r(3)

D．2

解析：选B|－|＝|＋|＝||＝1.

3．若O，E，F是不共线的任意三点，则以下各式中成立的是()

A．＝＋ B．＝－

C．＝－＋ D．＝－－

解析：选B＝＋＝－.故选B.

4．已知一点O到▱ABCD的3个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，则向量等于()

A．a＋b＋c B．a－b＋c

C．a＋b－c D．a－b－c

解析：选B如图，点O到平行四边形的三个顶点A，B，C的向量分别是a，b，c，结合图形有＝＋＝＋＝＋－＝a－b＋c.

5．下列各式能化简为的个数是()

①(－)－

②－(＋)

③－(＋)－(＋)

④－－＋

A．1 B．2

C．3 D．4

解析：选C①中，(－)－＝＋＋＝＋＝；

②中，－(＋)＝－0＝；

③中，－(＋)－(＋)＝－－－＝＋－＝；

④中，－－＋＝＋＋＝＋2.

6．下列四个等式：

①a＋b＝b＋a；②－(－a)＝a；③＋＋＝0；

④a＋(－a)＝0，

其中正确的是______(填序号)．

解析：由向量的运算律及相反向量的性质可知①②④是正确的，③符合向量的加法法则，也是正确的．

答案：①②③④

7．若a，b为相反向量，且|a|＝1，|b|＝1，则|a＋b|＝__________，|a－b|＝________.

解析：若a，b为相反向量，则a＋b＝0，∴|a＋b|＝0，

又a＝－b，∴|a|＝|－b|＝1，∵a与－b共线，∴|a－b|＝2.

答案：02

8．在△ABC中，D是BC的中点，设＝c，＝b，＝a，＝d，则d－a＝______，d＋a＝______.

解析：根据题意画出图形，如图所示，则d－a＝－＝＋＝＝c；

d＋a＝＋＝＋＝＝b.

答案：cb

9．化简：

(1)－＋－；

(2)＋＋－.

解：(1)－＋－

＝(＋)－(＋)

＝－＝0.

(2)＋＋－＝(＋)＋(－)

＝＋＝0.

10．设O是△ABC内一点，且＝a，＝b，＝c，若以线段OA，OB为邻边作平行四边形，第四个顶点为D，再以OC，OD为邻边作平行四边形，其第四个顶点为H.试用a，b，c表示，，.

解：由题意可知四边形OADB为平行四边形，

∴＝＋＝a＋b，

∴＝－＝c－(a＋b)＝c－a－b.

又四边形ODHC为平行四边形，

∴＝＋＝c＋a＋b，

∴＝－＝a＋b＋c－b＝a＋c.

层级二应试能力达标

1．已知＝a，＝b，＝c，＝d，且四边形ABCD为平行四边形，则()

A．a＋b＋c＋d＝0 B．a－b＋c－d＝0

C．a＋b－c－d＝0 D．a－b－c＋d＝0

解析：选B

如图，a－b＝－＝，c－d＝－＝，又四边形ABCD为平行四边形，则＝，即－＝0，所以＋＝0，即a－b＋c－d＝0.故选B.

2．平面上有三点A，B，C，设m＝＋，n＝－，若m，n的长度恰好相等，则有()

A．A，B，C三点必在同一直线上

B．△ABC必为等腰三角形且∠B为顶角

C．△ABC必为直角三角形且∠B＝90°

D．△ABC必为等腰直角三角形

解析：选C

∵|m|＝|n|，＋＝－，－＝＋，

∴|－|＝|＋|，如图．

即▱ABCD的对角线相等，

∴▱ABCD是矩形，∴∠B＝90°，选C.

3．在菱形ABCD中，∠DAB＝60°，||＝2，则|＋|＝()

A.

eq\r(3)

B．2

eq\r(3)

C.

eq\r(2)

D．2

eq\r(2)

解析：选B如图，设菱形对角线交点为O，

∵＋＝＋＝，

∠DAB＝60°，

∴△ABD为等边三角形．

又∵AB＝2，

∴OB＝1.在Rt△AOB中，

||＝

eq\r(|AB―→|2－|OB―→|2)

＝

eq\r(3)

，

∴||＝2||＝2

eq\r(3)

.

4．已知△ABC为等腰直角三角形，且∠A＝90°，给出下列结论：

(1)|－|＝|＋|；

(2)|－|＝|－|；

(3)|－|＝|－|；

(4)|－|2＝|－|2＋|－|2.

其中正确的个数为()

A．1B．2C．3D．4

解析：选D如图，以AB，AC为邻边作平行四边形ABDC，则它是正方形，根据向量加减法的几何意义可知题中四个结论都正确．

5.如图，已知ABCDEF是一正六边形，O是它的中心，其中＝b，＝c，则等于________．

解析：＝＝＝－＝b－c.

答案：b－c

6．对于向量a，b，当且仅当____________________________________________时，有|a－b|＝||a|－|b||.

解析：当a，b不同向时，根据向量减法的几何意义，知一定有|a－b|＞||a|－|b||，所以只有两向量共线且同向时，才有|a－b|＝||a|－|b||.

答案：a与b同向

7.如图，已知＝a，＝b，＝c，＝d，＝e，＝f，试用a，b，c，d，e，f表示以下向量：

(1)；(2)；(3)＋＋.

解：(1)＝－＝c－a.

(2)＝＋＝－＋＝－a＋d.

(3)