初三数学旋转综合能力提升训练题

旋转练习题1.设点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上滑动且保持NEAF=450,AP丄EF于点P求证：AP=AB：(2)若AB=5，求AECF的周长。2•如图17,正方形ABCD，E、F分别为BC、CD边上一点.若ZEAF=45°.求证：EF=BE+DF.若/AEF绕A点旋转，保持ZEAF=45°，问ZCEF的周长是否随/AEF位置的变化而变化?如果正方形ABCD的边长为1，ZCEF的周长为2.求ZEAF的度数.B图173.如图①，在正方形ABCD中，E、F分别是BC、CD上的点，且ZEAF=45。，则有结论EF=BE+FD成立；如图②，在四边形ABCD中，AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分别是BC、CD上的点，且ZEAF是ZBAD的一半，那么结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明；若不成立，请说明理由；若将(1)中的条件改为：在四边形ABCD中，AB=AD，ZB+ZD=180°，延长BC到点E,延长CD到点F，使得ZEAF仍然是ZBAD的一半，则结论EF=BE+FD是否仍然成立？若成立，请证明;若不成立，请写出它们之间的数量关系，并证明.4•如图，等腰直角△ABC4•如图，等腰直角△ABC中，ZABC=90°，点D在AC上，将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE.⑴求ZDCE的度数；⑵当AB=4，AD:DC=1:3时，求DE的长.解：（"•.•△CBE是由AABD旋转得到的'.•.△ABD9ACBE,・・・ZA=ZBCE=45°,••・ZDCE=ZDCB+ZBCE=90°.（2）在等腰直角三角形ABC_中，•••AB=4,・・・AC=4../2,又TAD：DC=1：3,・AD=,DC=3'S.由（1）知AD=CE且ZDCE=9O°,.・・DE2=DC2+CE2=2+18=2O,.・・DE=2冷T.把两个三角形按如图1放置，其中ZACB=ZDEC=90。,ZA=45。,ZD=30。，且AB=6,DC=7.把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1，如图2,这时AB与CD1相交于点O，与D&相交于点F.求ZACD［的度数;求线段AD］的长;D1若把△D1CE1绕点C顺时针再旋转30°得到△D2CE2，这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上？请说明理由.D1解：(1)如图所示，上3=15，ZE=90，.•・Z1=Z2=75.又TOC\o"1-5"\h\z1OoZB二45，•:ZOFE=ZB+Z1=45+75=120.o1oOO••(2)ZOFE=120，・・・ZDFO=6O°ZCDE=30，AZ4=9).1o111oo又AC=BC，AB=6，AOA=OB=3.ZACB=90，ACO=1AB=-x6=3.。22又CD=7，AOD=CD-OC=7-3=4.在RtAADO中，AD=Joa2Tod2=打+42=5.11111^1(3)点B在AdCE内部.22理由如下：设BC(或延长线)交DE于点P，则ZPCE=15+30=45.222ooo在RtAPCE中，CP=+'2cE=堕，CB=3迈<公2，即CB<CP，.••点B在厶DCE内部.2222226.如图1已知△ABC中，AB=BC=1，ZABC=90，把一块含30角的直角三角板DEF的直角OO顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE，长直角边为DF)，将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.在图1中，DE交AB于M，DF交BC于N.证明DM=DN；在这一旋转过程中，直角三角板DEF与厶ABC的重叠部分为四边形DMBN，请说明四边形DMBN的面积是否发生变化？若发生变化，请说明是如何变化的？若不发生变化，求出其面积；继续旋转至如图2的位置，延长AB交DE于M，延长BC交DF于N，DM=DN是否仍然成立？若成立，请给出证明；若不成立，请说明理由；OADEM(3)继续旋转至如图3的位置，延长FD交BC于N，延长ED交AB于M，DM=DN是否仍然成立？请写出结论，不用证明.OADEMDMDNB图2图1ADMDNB图2图1□CNC图3

(1)①证明：连结DB.在Rt△ABC中,AB=BC,AD=DC./.DB=DC=AD,上BDC=90.oTOC\o"1-5"\h\z七、/+•/方法一：ZABD=ZC=45.ZMDB+ZBDN=ZCDN+ZBDN=90,oo.ZMDB=ZNDC..△BMD^△CND..DM=DN.方法二：.ZA=ZDBN=45.ZADM+ZMDB=ZBDN+ZMDB=90.oo.ZADM=ZBDN.:△ADMBDN..DM=DN.②四边形DMBN的面积不发生变化；由①知：△BMD^△CND，.:S=S.△BMD△CND:S=S+S=S+S=S=S=.四边形DMBN△DBN△DMB△DBN△DNC△DBC2△ABC4(2)DM=DN仍然成立，证明：连结DB.在Rt△ABC中，AB=BC,AD=DC,:DB=DC,ZBDC=90.:ZDCB=ZDBC=45..:ZDBM=ZDCN=135.oooZNDC+ZCDM=ZBDM+ZCDM=90,.ZCDN=ZBDM.o::△CDN沁BDM.:DM=DN.(3)DM=DNC5.如图，点O是等边△ABC内一点，ZAOB=110,ZBOC=u.将厶BOC绕点C按顺时针方向旋转60得厶ADC，连接OD.CO(1)求证：△COD是等边三角形；当a=150时，试判断厶AOD的形状，并说明理由;O探究：当a为多少度时，△AOD是等腰三角形？证明：JCO=CD,ZOCD=60°,・•・△COD是等边三角形.解：当a=150°,即ZBOC=150。时，\AOD是直角三角形.*?△BOC今厶ADC,・•・ZADC=ZBOC=150°.又•・•△COD是等边三角形，ZODC=60°.ZADO=90°.即△AOD是直角三角形．ZADO=a—60解：①要使AO=AD，需ZAOD=ZADO.*.*ZZADO=a—60190°—a=a—60°・a=125°要使OA=OD，需ZOAD=ZADO.•/ZOAD=180°—(ZAOD+ZADO)=50°,.・.a—60°=50°.a=110°．要使OD=AD，需ZOAD=ZAOD.190°—a=50°.a=140°.综上所述：当a的度数为125°,或110°,或140。时，△ABC是等腰三角形.

将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开，得到图①中的两张三角形胶片△ABC和厶DEF.将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合，把△DEF绕点B顺时针方向旋转，这时AC与DF相交于点O.当厶DEF旋转至如图②位置，点B(E),C,D在同一直线上时，ZAFD与ZDCA的数量关系是，-当厶DEF继续旋转至如图③位置时，(1)中的结论还成立吗？请说明理由.在图③中，连接BO,AD，探索BO与AD之间有怎样的位置关系，并证明.【解】（1）ZAFD=ZDCA（或相等）（2）ZAFD=ZDCA（或成立），理由如下：由△ABC=△DEF，得AB二DE，BC=EF（或BF二EC），ZACBZEFZ:.ZABC-ZFBC=ZDEF-ZCBF，/.ZABF二ZDEC.'AB=DE，在厶ABF和厶DEC中，\zABF=ZDEC，:.△ABF竺厶DEC，ZBAF=ZEDC.BF=EC，.ZBAC-ZBAF=ZEDF-ZEDC，ZFAC=ZCDFZAOD=ZFAC+ZAFD=ZCDF+ZDCA，/ZAFD=ZDCA.（3）如图，BO丄AD.由厶ABCDEF，点B与点E重合，得ZBAC=ZBDF，BA=BD../点B在AD的垂直平分线上，且ZBAD=ZBDA.ZOAD=ZBAD-ZBAC，ZODA=ZBDA-ZBDF，/ZOAD=ZODA./OA=OD，点O在AD的垂直平分线上./直线BO是AD的垂直平分线，BO丄AD.7•已知RtAABC中，ZACB=90。，CA=CB，有一个圆心角为45。，半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转，且直线CE,CF分别与直线AB交于点M，N.(1)当扇形CEF绕点C在ZACB的内部旋转时，如图①，求证：MN2=AM2+BN2;(2)当扇形CEF(2)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时，关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立？若成立，请证明;(I)证明将厶ACM沿直线CE对折，得△DCM，连DN，则△DCM◎△ACM.有CD=CA,DM=AM,ZDCM=ZACM,ZCDM=ZA.又由CA=CB,得CD=CB.由ZDCN=ZECF-ZDCM=45。-ZDCM,ZBCN=ZACB-ZECF-ZACM=90。—45o-ZACM=45o-ZACM，得ZDCN=ZBCN.又CN=CN,・•・△CDN今厶CBN.有DN=BN,ZCDN=ZBZMDN=ZCDM+ZCDN=ZA+ZB=90。.・•.在RtAMDN中，由勾股定理，得MN2=DM2+DN2.即MN2=AM2+BN2.(II)关系式MN2=AM2+BN2仍然成立.证明：将厶ACM沿直线CE对折，得△GCM，连GN，则△GCMACM.有CG=CA,GM=AM,ZGCM=ZACM,ZCGM=ZCAM.又由CA=CB，得CG=CB.由ZGCN=ZGCM+ZECF=ZGCM+45。,ZBCN=ZACB—ZACN=90。—(ZECF—ZACM)=45。+ZACM.得ZGCN=ZBCN.又CN=CN,・•・△CGN94CBN.有GN=BN,ZCGN=ZB=45。,ZCGM=ZCAM=180。-ZCAB=135。,ZMGN=ZCGM—ZCGN=135。—45。=90。.・•.在RtAMGN中，由勾股定理，得MN2=GM2+GN2.即MN2=AM2+BN2.&如图，在等腰RtAABC与等腰RtADBE中，ZBDE=ZACB=90°，且BE在AB边上，取AE的中点F,CD的中点G,连结GF.(DFG与DC的位置关系和数量关系是什么？请证明你的结论；(2)若将ABDE绕B点逆时针旋转180°,其它条件不变，请完成下图,并判断(1)中的结论是否仍然成立?请证明你的结论.解：(1)FG丄CD,FG=-CD.2(2)延长ED交AC的延长线于M,连接