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文档简介

旋转练习题1.设点E、F分别在正方形ABCD的边BC、CD上滑动且保持NEAF=450,AP丄EF于点P求证:AP=AB:(2)若AB=5,求AECF的周长。2•如图17,正方形ABCD,E、F分别为BC、CD边上一点.若ZEAF=45°.求证:EF=BE+DF.若/AEF绕A点旋转,保持ZEAF=45°,问ZCEF的周长是否随/AEF位置的变化而变化?如果正方形ABCD的边长为1,ZCEF的周长为2.求ZEAF的度数.B图173.如图①,在正方形ABCD中,E、F分别是BC、CD上的点,且ZEAF=45。,则有结论EF=BE+FD成立;如图②,在四边形ABCD中,AB=AD,ZB=ZD=90°,E、F分别是BC、CD上的点,且ZEAF是ZBAD的一半,那么结论EF=BE+FD是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请说明理由;若将(1)中的条件改为:在四边形ABCD中,AB=AD,ZB+ZD=180°,延长BC到点E,延长CD到点F,使得ZEAF仍然是ZBAD的一半,则结论EF=BE+FD是否仍然成立?若成立,请证明;若不成立,请写出它们之间的数量关系,并证明.4•如图,等腰直角△ABC4•如图,等腰直角△ABC中,ZABC=90°,点D在AC上,将△ABD绕顶点B沿顺时针方向旋转90°后得到△CBE.⑴求ZDCE的度数;⑵当AB=4,AD:DC=1:3时,求DE的长.解:("•.•△CBE是由AABD旋转得到的'.•.△ABD9ACBE,・・・ZA=ZBCE=45°,••・ZDCE=ZDCB+ZBCE=90°.(2)在等腰直角三角形ABC_中,•••AB=4,・・・AC=4../2,又TAD:DC=1:3,・AD=,DC=3'S.由(1)知AD=CE且ZDCE=9O°,.・・DE2=DC2+CE2=2+18=2O,.・・DE=2冷T.把两个三角形按如图1放置,其中ZACB=ZDEC=90。,ZA=45。,ZD=30。,且AB=6,DC=7.把△DCE绕点C顺时针旋转15°得到△D1CE1,如图2,这时AB与CD1相交于点O,与D&相交于点F.求ZACD[的度数;求线段AD]的长;D1若把△D1CE1绕点C顺时针再旋转30°得到△D2CE2,这时点B在△D2CE2的内部、外部、还是边上?请说明理由.D1解:(1)如图所示,上3=15,ZE=90,.•・Z1=Z2=75.又TOC\o"1-5"\h\z1OoZB二45,•:ZOFE=ZB+Z1=45+75=120.o1oOO••(2)ZOFE=120,・・・ZDFO=6O°ZCDE=30,AZ4=9).1o111oo又AC=BC,AB=6,AOA=OB=3.ZACB=90,ACO=1AB=-x6=3.。22又CD=7,AOD=CD-OC=7-3=4.在RtAADO中,AD=Joa2Tod2=打+42=5.11111^1(3)点B在AdCE内部.22理由如下:设BC(或延长线)交DE于点P,则ZPCE=15+30=45.222ooo在RtAPCE中,CP=+'2cE=堕,CB=3迈<公2,即CB<CP,.••点B在厶DCE内部.2222226.如图1已知△ABC中,AB=BC=1,ZABC=90,把一块含30角的直角三角板DEF的直角OO顶点D放在AC的中点上(直角三角板的短直角边为DE,长直角边为DF),将直角三角板DEF绕D点按逆时针方向旋转.在图1中,DE交AB于M,DF交BC于N.证明DM=DN;在这一旋转过程中,直角三角板DEF与厶ABC的重叠部分为四边形DMBN,请说明四边形DMBN的面积是否发生变化?若发生变化,请说明是如何变化的?若不发生变化,求出其面积;继续旋转至如图2的位置,延长AB交DE于M,延长BC交DF于N,DM=DN是否仍然成立?若成立,请给出证明;若不成立,请说明理由;OADEM(3)继续旋转至如图3的位置,延长FD交BC于N,延长ED交AB于M,DM=DN是否仍然成立?请写出结论,不用证明.OADEMDMDNB图2图1ADMDNB图2图1□CNC图3

(1)①证明:连结DB.在Rt△ABC中,AB=BC,AD=DC./.DB=DC=AD,上BDC=90.oTOC\o"1-5"\h\z七、/+•/方法一:ZABD=ZC=45.ZMDB+ZBDN=ZCDN+ZBDN=90,oo.ZMDB=ZNDC..△BMD^△CND..DM=DN.方法二:.ZA=ZDBN=45.ZADM+ZMDB=ZBDN+ZMDB=90.oo.ZADM=ZBDN.:△ADMBDN..DM=DN.②四边形DMBN的面积不发生变化;由①知:△BMD^△CND,.:S=S.△BMD△CND:S=S+S=S+S=S=S=.四边形DMBN△DBN△DMB△DBN△DNC△DBC2△ABC4(2)DM=DN仍然成立,证明:连结DB.在Rt△ABC中,AB=BC,AD=DC,:DB=DC,ZBDC=90.:ZDCB=ZDBC=45..:ZDBM=ZDCN=135.oooZNDC+ZCDM=ZBDM+ZCDM=90,.ZCDN=ZBDM.o::△CDN沁BDM.:DM=DN.(3)DM=DNC5.如图,点O是等边△ABC内一点,ZAOB=110,ZBOC=u.将厶BOC绕点C按顺时针方向旋转60得厶ADC,连接OD.CO(1)求证:△COD是等边三角形;当a=150时,试判断厶AOD的形状,并说明理由;O探究:当a为多少度时,△AOD是等腰三角形?证明:JCO=CD,ZOCD=60°,・•・△COD是等边三角形.解:当a=150°,即ZBOC=150。时,\AOD是直角三角形.*?△BOC今厶ADC,・•・ZADC=ZBOC=150°.又•・•△COD是等边三角形,ZODC=60°.ZADO=90°.即△AOD是直角三角形.ZADO=a—60解:①要使AO=AD,需ZAOD=ZADO.*.*ZZADO=a—60190°—a=a—60°・a=125°要使OA=OD,需ZOAD=ZADO.•/ZOAD=180°—(ZAOD+ZADO)=50°,.・.a—60°=50°.a=110°.要使OD=AD,需ZOAD=ZAOD.190°—a=50°.a=140°.综上所述:当a的度数为125°,或110°,或140。时,△ABC是等腰三角形.

将一张透明的平行四边形胶片沿对角线剪开,得到图①中的两张三角形胶片△ABC和厶DEF.将这两张三角形胶片的顶点B与顶点E重合,把△DEF绕点B顺时针方向旋转,这时AC与DF相交于点O.当厶DEF旋转至如图②位置,点B(E),C,D在同一直线上时,ZAFD与ZDCA的数量关系是,-当厶DEF继续旋转至如图③位置时,(1)中的结论还成立吗?请说明理由.在图③中,连接BO,AD,探索BO与AD之间有怎样的位置关系,并证明.【解】(1)ZAFD=ZDCA(或相等)(2)ZAFD=ZDCA(或成立),理由如下:由△ABC=△DEF,得AB二DE,BC=EF(或BF二EC),ZACBZEFZ:.ZABC-ZFBC=ZDEF-ZCBF,/.ZABF二ZDEC.'AB=DE,在厶ABF和厶DEC中,\zABF=ZDEC,:.△ABF竺厶DEC,ZBAF=ZEDC.BF=EC,.ZBAC-ZBAF=ZEDF-ZEDC,ZFAC=ZCDFZAOD=ZFAC+ZAFD=ZCDF+ZDCA,/ZAFD=ZDCA.(3)如图,BO丄AD.由厶ABCDEF,点B与点E重合,得ZBAC=ZBDF,BA=BD../点B在AD的垂直平分线上,且ZBAD=ZBDA.ZOAD=ZBAD-ZBAC,ZODA=ZBDA-ZBDF,/ZOAD=ZODA./OA=OD,点O在AD的垂直平分线上./直线BO是AD的垂直平分线,BO丄AD.7•已知RtAABC中,ZACB=90。,CA=CB,有一个圆心角为45。,半径的长等于CA的扇形CEF绕点C旋转,且直线CE,CF分别与直线AB交于点M,N.(1)当扇形CEF绕点C在ZACB的内部旋转时,如图①,求证:MN2=AM2+BN2;(2)当扇形CEF(2)当扇形CEF绕点C旋转至图②的位置时,关系式MN2=AM2+BN2是否仍然成立?若成立,请证明;(I)证明将厶ACM沿直线CE对折,得△DCM,连DN,则△DCM◎△ACM.有CD=CA,DM=AM,ZDCM=ZACM,ZCDM=ZA.又由CA=CB,得CD=CB.由ZDCN=ZECF-ZDCM=45。-ZDCM,ZBCN=ZACB-ZECF-ZACM=90。—45o-ZACM=45o-ZACM,得ZDCN=ZBCN.又CN=CN,・•・△CDN今厶CBN.有DN=BN,ZCDN=ZBZMDN=ZCDM+ZCDN=ZA+ZB=90。.・•.在RtAMDN中,由勾股定理,得MN2=DM2+DN2.即MN2=AM2+BN2.(II)关系式MN2=AM2+BN2仍然成立.证明:将厶ACM沿直线CE对折,得△GCM,连GN,则△GCMACM.有CG=CA,GM=AM,ZGCM=ZACM,ZCGM=ZCAM.又由CA=CB,得CG=CB.由ZGCN=ZGCM+ZECF=ZGCM+45。,ZBCN=ZACB—ZACN=90。—(ZECF—ZACM)=45。+ZACM.得ZGCN=ZBCN.又CN=CN,・•・△CGN94CBN.有GN=BN,ZCGN=ZB=45。,ZCGM=ZCAM=180。-ZCAB=135。,ZMGN=ZCGM—ZCGN=135。—45。=90。.・•.在RtAMGN中,由勾股定理,得MN2=GM2+GN2.即MN2=AM2+BN2.&如图,在等腰RtAABC与等腰RtADBE中,ZBDE=ZACB=90°,且BE在AB边上,取AE的中点F,CD的中点G,连结GF.(DFG与DC的位置关系和数量关系是什么?请证明你的结论;(2)若将ABDE绕B点逆时针旋转180°,其它条件不变,请完成下图,并判断(1)中的结论是否仍然成立?请证明你的结论.解:(1)FG丄CD,FG=-CD.2(2)延长ED交AC的延长线于M,连接

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