2023版高三一轮总复习数学新教材新高考第7章 第4节空间直线、平面的垂直

11/11空间直线、平面的垂直[考试要求]从定义和基本事实出发，借助长方体，通过直观感知，了解空间中直线与直线、直线与平面、平面与平面的垂直关系．1．异面直线所成的角(1)定义：已知两条异面直线a，b，经过空间任一点O分别作直线a′∥a，b′∥b，我们把直线a′与b′所成的角叫做异面直线a与b所成的角(或夹角)．(2)异面直线所成的角θ的取值范围：0°<θ≤90°.(3)当θ＝90°时，a与b互相垂直，记作a⊥b.2．直线与平面垂直(1)定义：一般地，如果直线l与平面α内的任意一条直线都垂直，就说直线l与平面α互相垂直．(2)直线与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一条直线与一个平面内的两条相交直线垂直，那么该直线与此平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥a,l⊥b,a∩b＝O,a，b⊂α))⇒l⊥α性质定理垂直于同一个平面的两条直线平行eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))⇒a∥b(3)直线和平面所成的角①定义：平面的一条斜线和它在平面上的射影所成的角，叫做这条直线和这个平面所成的角．②范围：[0°，90°].3．二面角(1)从一条直线出发的两个半平面所组成的图形叫做二面角．以二面角的棱上任一点为端点，在两个半平面内分别作垂直于棱的两条射线，这两条射线所成的角叫做二面角的平面角．(2)二面角的平面角的范围：[0°，180°]．4．平面与平面垂直(1)定义：两个平面相交，如果它们所成的二面角是直二面角，就说这两个平面互相垂直．(2)平面与平面垂直的判定定理与性质定理：文字语言图形语言符号语言判定定理如果一个平面过另一个平面的垂线，那么这两个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(l⊥α,l⊂β))⇒α⊥β性质定理两个平面垂直，如果一个平面内有一直线垂直于这两个平面的交线，那么这条直线与另一个平面垂直eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝a,l⊥a,l⊂β))⇒l⊥α提醒：两平面垂直的性质定理是把面面垂直转化为线面垂直的依据，运用时要注意“平面内的直线”这一条件．eq\o([常用结论])直线与平面垂直的五个结论(1)若一条直线垂直于一个平面，则这条直线垂直于这个平面内的任意直线.(2)若两条平行线中的一条垂直于一个平面，则另一条也垂直于这个平面．(3)垂直于同一条直线的两个平面平行．(4)一条直线垂直于两平行平面中的一个，则这条直线与另一个平面也垂直．(5)两个相交平面同时垂直于第三个平面，它们的交线也垂直于第三个平面．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)垂直于同一个平面的两平面平行． ()(2)若α⊥β，a⊥β⇒a∥α. ()(3)若两平面垂直，则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面． ()(4)若平面α内的一条直线垂直于平面β内的无数条直线，则α⊥β. ()[答案](1)×(2)×(3)×(4)×二、教材习题衍生1．(多选)若平面α⊥平面β，且α∩β＝l，则下列命题中正确的是()A．平面α内的直线必垂直于平面β内的任意一条直线B．平面α内的已知直线必垂直于平面β内的无数条直线C．平面α内的任一条直线必垂直于平面βD．过平面α内任意一点作交线l的垂线，则此垂线必垂直于平面βBD[对于A，如图①，a⊂α，b⊂β，且a，b与l都不垂直，则a，b不一定垂直，故A错误；对于B，如图②，a⊂α，作b⊥l，则b⊥α，则β内所有与b平行的直线都与a垂直，故B正确；图①图②对于C，如图③，a⊂α，但a与l不垂直，则a与β不垂直，故C错误；对于D，如图④由两平面垂直的性质定理可知D正确，故选BD．]图③图④2．如图，正方形SG1G2G3中，E，F分别是G1G2，G2G3的中点，D是EF的中点，现在沿SE，SF及EF把这个正方形折成一个四面体，使G1，G2，G3三点重合，重合后的点记为GA．SG⊥△EFG所在平面 B．SD⊥△EFG所在平面C．GF⊥△SEF所在平面 D．GD⊥△SEF所在平面A[四面体S­EFG如图所示：由SG⊥GE，SG⊥GF，且GE∩GF＝G得，SG⊥△EFG所在的平面．故选A．]3．如图，在长方体ABCD­A1B1C1D1中，AB＝BC＝2，AA1＝1，则AC1与平面A1B1C1Deq\f(1,3)[∠AC1A1为AC1与平面A1B1C1D1所成的角．因为AB＝BC＝2，所以A1C1＝AC＝2eq\r(2)，又AA1＝1，所以AC1＝3，所以sin∠AC1A1＝eq\f(AA1,AC1)＝eq\f(1,3).]4．在三棱锥P­ABC中，点P在平面ABC上的射影为点O.(1)若PA＝PB＝PC，则点O是△ABC的________心；(2)若PA⊥PB，PB⊥PC，PC⊥PA，则点O是△ABC的________心．(1)外(2)垂[(1)如图①，连接OA，OB，OC，OP，在Rt△POA，Rt△POB和Rt△POC中，PA＝PC＝PB，所以OA＝OB＝OC，即O为△ABC的外心．图①图②(2)如图②，延长AO，BO，CO分别交BC，AC，AB于点H，D，G.∵PC⊥PA，PB⊥PC，PA∩PB＝P，PA，PB⊂平面PAB，∴PC⊥平面PAB，又AB⊂平面PAB，∴PC⊥AB．∵AB⊥PO，PO∩PC＝P，PO，PC⊂平面PGC，∴AB⊥平面PGC，又CG⊂平面PGC，∴AB⊥CG，即CG为△ABC边AB上的高．同理可证BD，AH分别为△ABC边AC，BC上的高，即O为△ABC的垂心．]考点一直线与平面垂直的判定与性质 eq[典例1]如图，在四棱锥P­ABCD中，PA⊥底面ABCD，AB⊥AD，AC⊥CD，∠ABC＝60°，PA＝AB＝BC，E是PC的中点．证明：(1)CD⊥AE；(2)PD⊥平面ABE.[证明](1)在四棱锥P­ABCD中，∵PA⊥底面ABCD，CD⊂平面ABCD，∴PA⊥CD，又∵AC⊥CD，且PA∩AC＝A，∴CD⊥平面PAC．又AE⊂平面PAC，∴CD⊥AE.(2)由PA＝AB＝BC，∠ABC＝60°，可得AC＝PA．∵E是PC的中点，∴AE⊥PC．由(1)知AE⊥CD，且PC∩CD＝C，∴AE⊥平面PCD．又PD⊂平面PCD，∴AE⊥PD．∵PA⊥底面ABCD，AB⊂平面ABCD，∴PA⊥AB．又∵AB⊥AD，且PA∩AD＝A，∴AB⊥平面PAD，又PD⊂平面PAD，∴AB⊥PD．又∵AB∩AE＝A，∴PD⊥平面ABE.判定线面垂直的四种方法eq\o([跟进训练])1．如图，在直三棱柱ABC­A1B1C1中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，D是A1B1的中点，F在BB1(1)求证：C1D⊥平面AA1B1B；(2)在下列给出的三个条件中选取哪两个条件可使AB1⊥平面C1DF？并证明你的结论．①F为BB1的中点；②AB1＝eq\r(3)；③AA1＝eq\r(2).[解](1)证明：∵ABC­A1B1C1是直三棱柱，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°∴A1C1＝B1C1＝1，且∠A1C1B1＝90又D是A1B1的中点，∴C1D⊥A1B1.∵AA1⊥平面A1B1C1，C1D⊂平面A1B1C∴AA1⊥C1D，又A1B1∩AA1＝A1，∴C1D⊥平面AA1B1B．(2)选①③能证明AB1⊥平面C1DF.如图，连接DF，A1B，∴DF∥A1B，在△ABC中，AC＝BC＝1，∠ACB＝90°，则AB＝eq\r(2)，又AA1＝eq\r(2)，则A1B⊥AB1，∴DF⊥AB1.∵C1D⊥平面AA1B1B，AB1⊂平面AA1B1B，∴C1D⊥AB1.∵DF∩C1D＝D，∴AB1⊥平面C1DF.考点二平面与平面垂直的判定与性质 [典例2]在矩形ABCD中，AB＝2AD＝4，E是AB的中点，沿DE将△ADE折起，得到如图所示的四棱锥P­BCDE.(1)若平面PDE⊥平面BCDE，求四棱锥P­BCDE的体积；(2)若PB＝PC，求证：平面PDE⊥平面BCDE.[解](1)如图所示，取DE的中点M，连接PM，由题意知，PD＝PE，∴PM⊥DE，又平面PDE⊥平面BCDE，平面PDE∩平面BCDE＝DE，PM⊂平面PDE，∴PM⊥平面BCDE，即PM为四棱锥P­BCDE的高．在等腰直角三角形PDE中，PE＝PD＝AD＝2，∴PM＝eq\f(1,2)DE＝eq\r(2)，而梯形BCDE的面积S＝eq\f(1,2)(BE＋CD)·BC＝eq\f(1,2)×(2＋4)×2＝6，∴四棱锥P­BCDE的体积V＝eq\f(1,3)PM·S＝eq\f(1,3)×eq\r(2)×6＝2eq\r(2).(2)证明：取BC的中点N，连接PN，MN，则BC⊥MN，∵PB＝PC，∴BC⊥PN，∵MN∩PN＝N，MN，PN⊂平面PMN，∴BC⊥平面PMN，∵PM⊂平面PMN，∴BC⊥PM，由(1)知，PM⊥DE，又BC，DE⊂平面BCDE，且BC与DE是相交的，∴PM⊥平面BCDE，∵PM⊂平面PDE，∴平面PDE⊥平面BCDE.证明面面垂直的两种方法eq\o([跟进训练])2.如图，在三棱锥V­ABC中，平面VAB⊥平面ABC，△VAB为等边三角形，AC⊥BC，且AC＝BC＝eq\r(2)，O，M分别为AB，VA的中点．(1)求证：平面MOC⊥平面VAB；(2)求三棱锥B­VAC的高．[解](1)证明：因为AC＝BC，O为AB的中点，所以OC⊥AB．因为平面VAB⊥平面ABC，平面VAB∩平面ABC＝AB，OC⊂平面ABC，所以OC⊥平面VAB．因为OC⊂平面MOC,所以平面MOC⊥平面VAB．(2)在等腰直角三角形ACB中，AC＝BC＝eq\r(2)，所以AB＝2，OC＝1，所以等边三角形VAB的面积为S△VAB＝eq\f(1,2)×22×sin60°＝eq\r(3)，又因为OC⊥平面VAB，所以OC⊥OM.在△AMC中，AM＝1，AC＝eq\r(2)，MC＝eq\r(2)，所以S△AMC＝eq\f(1,2)×1×eq\f(\r(7),2)＝eq\f(\r(7),4)，所以S△VAC＝2S△MAC＝eq\f(\r(7),2).由三棱锥B­VAC的体积与三棱锥C­VAB的体积相等，即eq\f(1,3)S△VAC·h＝eq\f(1,3)S△VAB·OC,所以h＝eq\f(\r(3)×1,\f(\r(7),2))＝eq\f(2\r(21),7)，即三棱锥B­VAC的高为eq\f(2\r(21),7).考点三平行与垂直的综合问题 eq[典例3]如图，在四棱锥P­ABCD中，底面ABCD为矩形，平面PAD⊥平面ABCD，PA⊥PD，PA＝PD，E，F分别为AD，PB的中点．求证：(1)PE⊥BC；(2)平面PAB⊥平面PCD；(3)EF∥平面PCD．[证明](1)因为PA＝PD，E为AD的中点，所以PE⊥AD．因为底面ABCD为矩形，所以BC∥AD．所以PE⊥BC．(2)因为底面ABCD为矩形，所以AB⊥AD．又因为平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，AB⊂平面ABCD，所以AB⊥平面PAD．又PD⊂平面PAD，所以AB⊥PD．又因为PA⊥PD，且PA∩AB＝A，所以PD⊥平面PAB．又PD⊂平面PCD，所以平面PAB⊥平面PCD．(3)如图，取PC中点G，连接FG，DG.因为F，G分别为PB，PC的中点，所以FG∥BC，FG＝eq\f(1,2)BC．因为ABCD为矩形，且E为AD的中点，所以DE∥BC，DE＝eq\f(1,2)BC．所以DE∥FG，DE＝FG.所以四边形DEFG为平行四边形．所以EF∥DG.又因为EF⊄平面PCD，DG⊂平面PCD，所以EF∥平面PCD．垂直与平行的结合问题，求解时应注意平行、垂直的性质及判定的综合应用．如果有平面垂直时，一般要用性质定理，在一个平面内作交线的垂线，使之转化为线面垂直，然后进一步转化为线线垂直．eq\o([跟进训练])3.在平行六面体ABCD­A1B1C1D1中，AA1＝AB，AB1⊥B1C求证：(