2023版高三一轮总复习数学新教材新高考第1章 第2节常用逻辑用语

7/7常用逻辑用语[考试要求]1.通过典型数学命题，理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件的关系，性质定理与必要条件的关系，理解数学定义与充要条件的关系.2.通过实例，理解全称量词命题与存在量词命题的意义，能正确对两种命题进行否定．1．充分条件、必要条件与充要条件的概念若p⇒q，则p是q的充分条件，q是p的必要条件p是q的充分不必要条件p⇒q且qpp是q的必要不充分条件p且q⇒pp是q的充要条件p⇔qp是q的既不充分也不必要条件p且qp2.全称量词与存在量词(1)全称量词：短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示．(2)存在量词：短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示．3．全称量词命题和存在量词命题名称全称量词命题存在量词命题结构将含有变量x的语句用p(x)，q(x)，r(x)，…表示，变量x的取值范围用M表示对M中任意一个x，p(x)成立存在M中的元素x，p(x)成立简记∀x∈M，p(x)∃x∈M，p(x)否定∃x∈M，¬p(x)∀x∈M，¬p(x)提醒：含有一个量词的命题的否定的规律是“改量词，否结论”．eq\o([常用结论])设p，q成立的对象构成的集合分别为A，B．(1)p是q的充分不必要条件⇔AB；(2)p是q的必要不充分条件⇔AB；(3)p是q的充要条件⇔A＝B；(4)p是q的既不充分也不必要条件⇔A与B没有包含关系．一、易错易误辨析(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)当p是q的充分条件时，q是p的必要条件． ()(2)“x>1”是“x>0”的充分不必要条件．(3)“三角形的内角和为180°”是存在量词命题． ()(4)写全称量词命题的否定时，全称量词变为存在量词． ()[答案](1)√(2)√(3)×(4)√二、教材习题衍生1．“(x－1)(x＋2)＝0”是“x＝1A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B[若x＝1，则(x－1)(x＋2)＝0显然成立，但反之不成立，即若(x－1)(x＋2)＝0，则x的值也可能为－2.故选B．]2．(多选)下列命题是真命题的是()A．∀x∈R，x2－x＋1>0B．∃x∈R，sinx＝2C．存在一个无理数，它的平方是有理数D．平面内，到A，B两点距离相等的点都在线段AB的垂直平分线上[答案]ACD3．“等边三角形都是等腰三角形”的否定是_______________．[答案]存在一个等边三角形，它不是等腰三角形4．设p，r都是q的充分条件，s是q的充要条件，t是s的必要条件，t是r的充分条件，那么p是t的________条件，r是t的________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空)充分不必要充要[由题意知p⇒q，q⇔s，s⇒t，又t⇒r，r⇒q，故p是t的充分不必要条件，r是t的充要条件．]考点一充分、必要条件的判定 1．(2021·湖南高三月考)设a∈R，则“a≤2”是“a2－3a＋2≤A．充分不必要条件 B．必要不充分条件C．充要条件 D．既不充分也不必要条件B[解不等式a2－3a＋2≤0得1≤a≤因为[1，2](－∞，2]，所以“a≤2”是“a2－3a＋2≤2．(多选)(2021·辽宁实验中学二模)下列四个选项中，q是p的充分必要条件的是()A．p：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝0,b＝0))，q：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝0,ab＝0))B．p：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1,b＝1))，q：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b＝2,ab＝1))C．p：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>0,b>0))，q：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b>0,ab>0))D．p：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a>1,b>1))，q：eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＋b>2,ab>1))ABC[A．由a＝0，b＝0，可得a＋b＝0，ab＝0，反之也成立，∴q是p的充分必要条件；B．由a＝1，b＝1，可得a＋b＝2，ab＝1；反之也成立，∴q是p的充分必要条件；C．由a>0，b>0，可得a＋b>0，ab>0；反之也成立，∴q是p的充分必要条件；D．由a>1，b>1，可得a＋b>2，ab>1；反之不成立，例如取a＝6，b＝eq\f(1,2).∴q是p的必要不充分条件．故选ABC．]3．(2021·珠海第二中学模拟)《墨子·经说上》上说：“小故，有之不必然，无之必不然，体也，若有端，大故，有之必然，若见之成见也．”这一段文字蕴含着十分丰富的逻辑思想，那么文中的“小故”指的是逻辑中的________．(选“充分条件”“必要条件”“充要条件”“既不充分也不必要条件”之一填空)必要条件[由“小故，有之不必然，无之必不然”，知“小故”是导致某个结果出现的几个条件中的一个或一部分条件，故“小故”指的是逻辑中的必要条件．]充分条件、必要条件的两种判定方法考点二充分、必要条件的应用 eq[典例1]已知集合A＝{x|x2－8x－20≤0}，非空集合B＝{x|1－m≤x≤1＋m}．若x∈A是x∈B的必要条件，求m的取值范围．[解]由x2－8x－20≤0，得－2≤x≤10，∴A＝{x|－2≤x≤10}．由x∈A是x∈B的必要条件，知B⊆A．则eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m≤10，))∴0≤m≤3.∴当0≤m≤3时，x∈A是x∈B的必要条件，即所求m的取值范围是[0,3]．[母题变迁]1．若将本例中条件改为“若x∈A是x∈B的必要不充分条件”，求m的取值范围．[解]由x∈A是x∈B的必要不充分条件，知BA，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≥－2，,1＋m<10))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m>－2，,1＋m≤10，))解得0≤m≤3或0≤m<3，∴0≤m≤3，故m的取值范围是[0,3]．2．本例条件不变，若x∈A的必要条件是x∈B，求m的取值范围．[解]由原题知A＝{x|－2≤x≤10}，∵x∈A的必要条件是x∈B，即x∈B是x∈A的必要条件，∴A⊆B，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m≤1＋m，,1－m≤－2，,1＋m≥10，))∴解得m≥9.故m的取值范围是[9，＋∞)．3．本例条件不变，问是否存在实数m，使x∈A是x∈B的充要条件？并说明理由．[解]不存在．由原题知A＝{x|－2≤x≤10}．若x∈A是x∈B的充要条件，则A＝B，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－m＝－2，,1＋m＝10，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(m＝3，,m＝9，))所以m不存在．利用充要条件求参数的两个关注点(1)巧用转化求参数：把充分条件、必要条件或充要条件转化为集合之间的关系，然后根据集合之间的关系列出关于参数的不等式(或不等式组)求解．(2)端点取值慎取舍：在求参数范围时，要注意边界或区间端点值的检验，从而确定取舍．eq\o([跟进训练])1．(1)(多选)使不等式1＋eq\f(1,x)>0成立的一个充分不必要条件是()A．x>2 B．x≥0C．x<－1或x>1 D．－1<x<0(2)关于x的方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是________．(1)AC(2)ac＜0[(1)不等式1＋eq\f(1,x)>0⇔eq\f(x＋1,x)>0⇔(x＋1)x>0，故不等式的解集为(－∞，－1)∪(0，＋∞)．A，B，C，D四个选项中，只有A，C对应的集合为(－∞，－1)∪(0，＋∞)的真子集．故选AC．(2)ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有一个正根和一个负根的充要条件是eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝b2－4ac>0，,\f(c,a)<0，))即ac<0.]考点三全称量词与存在量词 含量词命题的否定[典例2－1](2021·泰安三模)命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是()A．所有奇函数的图象都不关于原点对称B．所有非奇函数的图象都关于原点对称C．存在一个奇函数的图象不关于原点对称D．存在一个奇函数的图象关于原点对称C[全称量词命题“所有奇函数的图象关于原点对称”的否定是存在量词命题，所以命题“奇函数的图象关于原点对称”的否定是“存在一个奇函数的图象不关于原点对称”．故选C．]含量词命题的真假判断eq[典例2－2](多选)下列命题中是真命题的有()A．∀x∈R，2x－1＞0B．∀x∈N*，(x－1)2＞0C．∃x∈R，lgx＜1D．∃x∈R，tanx＝2ACD[当x＝1时，(x－1)2＝0，故B为假命题，其余都是真命题，故选ACD．]含量词命题的应用eq[典例2－3]若命题p：“∃x∈R，x2－mx－m≤0”为假命题，则实数m的取值范围是________.[四字解题]读想算思命题p：∃x∈R，x2－mx－m≤0为假命题若p为真命题计算判别式Δ≥0补集思想若¬p为真命题计算判别式Δ<0转化化归(－4,0)[法一：若p为真命题，即∃x∈R，x2－mx－m≤0，∴Δ＝m2＋4m≥0，∴m≥0或m≤∴当p为假命题时－4<m<0.法二：∵p为假命题，∴¬p：∀x∈R，x2－mx－m>0为真命题，即Δ＝m2＋4m<0，∴－4<m1.判定全称量词命题“∀x∈M，p(x)”是真命题，需要对集合M中的每一个元素x，证明p(x)成立；要判定存在量词命题“∃x∈M，p(x)”是真命题，只要在限定集合内找到一个x，使p(x)成立即可．2．由命题真假求参数的范围，一是直接由命题的真假求参数的范围；二是可利用等价命题，即p与¬p的关系，转化成¬p的真假求参数的范围．eq\o([跟进训练])2．(1)已知命题“∀x∈R，ax2＋4x＋1>0”是假命题，则实数aA．(4，＋∞) B．(0,4]C．(－∞，4] D．[0,4)(2)已知f(x)＝x2，g(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)))eq\s\up12(x)－m.若对∀x1∈[0,3]，∃x2∈[1,2]，使得f(x1)≥g(x2)，则